陕西省汉中市宁强县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

陕西省汉中市宁强县2023-2024学年九年级上学期期末数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

i.要使代数式7T5有意义，则》的取值范围是（）

A.B.x>2C.x>2D.x<2

2.下列方程是一元二次方程的是（

A.%2+%-3；=0B.ax2+2%-3=0

C.%2+2x+5=%3D.x2-l=0

3.下列计算正确的是（）

A.3+百=3/B.2出-石=2

C.75x73=715D.764-73=2

4.下列事件中，属于不确定事件的是（

A.在ABC中，ZA+ZS+ZC=18O°

B.在ABC中，ZA+ZB+ZC<180°

C.a,夕是对顶角，«+^=180°

D.a,4是对顶角，a=（3

5.如图，在ABC中，/ACB=90。，AC=12,8C=5,CD是ABC的高，贝UcosN3CD

的值是（）

6.电影《志愿军：雄兵出击》于2023年9月28日上映，首周票房约2.5亿，第三周票

房约3.6亿，若每周票房按相同的增长率增长，设增长率为x,则根据题意可列方程为（）

A.2.5（1+尤）=3.6B.2.5（1+x）2=3.6

C.2.5+2.5（l+x）=3.6D.2.5+2.5（l+x）+2.5（l+x）2=3.6

7.如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段A8.已

知斜坡A3的坡比接近3:4,坡长A3为w米，则坡A8的铅垂高度约为（）

B.平

8.如图，二次函数y=ox2+6x+c（aw0）的图象与x轴交于A、8两点，与y轴交于C

点，且对称轴为直线x=l,点8坐标为则下面的五个结论：

^]O]pVx

①而《<0

②4a+26+c>0；

③当”0时，x<-l或x>3；

④2c+3b=0；

⑤（%为实数），其中正确的结论有（）个

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

9.如果最简二次根式后二T与g是同类二次根式，那么尤的值为.

10.已知y=（m+l）J冲4+2x-3是二次函数，则根的值为

11.如图，在：ASC中，AC=10,D、E分别是AB、AC的中点.尸是DE上一点,

连接AF、CF.若NAFC=90。，DF=1,则8c的长为

12.“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自

然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，尸为A3的黄金分

试卷第2页，共6页

割点（AP>P3）,如果48的长度为8cm,那么AP的长度是cm.

13.如图，在正方形ABC。中，歹为48上一点，E是BC延长线上一点，S.AF=EC,

连接EF、DE、DF,M是所的中点，连接MC、BD,所与和DC分别相交于

点G和N,则下列四个结论：①QFGDS.BGE；②若3尸=4,则

CE=20③NCME=NCDE；@DG2=GNGE；其中正确的是.

三、解答题

14.计算：（-3）2+*_卜_2虚卜（而_3）°

15.解方程2（x-2）2=6-3x

16.在AFC中，已知2sinA—1|+|——cosB=0,求NC的值.

17.如图，平面直角坐标系中，ABC的顶点都在正方形网格的格点上.

⑴以。点为位似中心，在第四象限将J15C放大得44月G，使位似比为2；

⑵若ASC,AdAG的面积分别为S、E，直接写出s与S］的数量关系.

18.如图，在矩形ABCQ中，E是边8C的中点，小，隹于点£

AFAD

求证:

(1)BE~AE

(2)若AB=4,BC=6,求AF的长.

19.已知关于尤的方程无2+(27〃-l)X+7〃2=0.

(1)当该方程有实数根时，求加的范围；

(2)若该方程的两个根不，%满足网+无2=%，尤2，求机的值.

20.第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥

物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套.为了喜迎亚运会，商场

决定采取适当的降价措施回馈大众.经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平

均每天将多销售2套.商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场

销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？

21.国庆假期，小西和同学小婷去大唐不夜城玩，漂亮的团扇吸引了她们的注意力，团

扇上不止有唯美的图案，更有古诗，她们喜欢的四把团扇上印的古诗分别是李白的《闻

王昌龄左迁龙标遥有此寄》、《渡荆门送别》，杜甫的《春望》以及崔颍的《黄鹤楼》.因

为都非常美，她们想通过随机抽选的方法来确定买哪个，具体方案如下：她们把四首古

诗分别写在四张卡片的正面，记为A,B,C,D(这四张卡片的背面都相同)，将这

四张卡片背面朝上，洗匀.

(1)从中随机抽取一张，抽得的卡片所代表的古诗是《黄鹤楼》的概率是.

(2)若小西从这四张卡片中随机抽取一张,不放回，小婷再从剩余的三张中随机抽取一张,

请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的概率.

22.随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时

俱进.某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A,B两点之间的距离(A,B

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位于同一水平地面上)，如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰

角为a,无人机的飞行高度为41.6m,并且无人机C测得湖岸边8处的俯角为60。，若

小婉的身高，AD=1.6m,CD=50m(点A,B,C,。在同一平面内).求A、B两点

之间的距离.(结果精确到1m,73-1.7)

23.已知抛物线的顶点为C(-l,-4),交x轴于点A、3且过点(0,-3).

(1)求抛物线的解析式:

(2)直线'交抛物线于8、D,求点。的坐标;

24.请阅读下列材料：问题：已知X=6+2,求代数式尤2一以-7的值.

小敏的做法是：根据尤=君+2得(x-2)2=5,x2—4x+4=5,得：x2—4.v=l.

把d-4x作为整体代入：得尤2-4彳-7=1-7=-6.即：把已知条件适当变形，再整体

代入解决问题.

请你用上述方法解决下面问题：

(1)已知了=石-2,求代数式d+4x-10的值；

(2)已知丈二存1,求代数式尤2+尤+1的值

25.如图，在等腰ABC中，AB=AC=IO,3c=12,有两动点P、。分别在边

AB、3C上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度,

它们分别从点A和点8同时出发，点尸沿线段A3按A-3方向向终点B运动，点。沿

线段BC按B7C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止

运动，设运动时间为f秒，请解答下列问题：

A

p,

——>Q~~*

⑴当r为何值时，尸。〃AC；

⑵当r为何值时，以点尸、B、。为顶点的三角形与ABC相似.

26.某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的

铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重

就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好.

小组讨论后，同学们做了以下试验：

⑴在图案①中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB为1m,

窗框ABCZ)的面积是m2;

(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m,试探究AB长为多少时，窗框ABCD的

面积最大，最大为多少？

(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验

证：当总长还是6m时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积.

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参考答案：

1.B

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出*-220,求解即可，熟练掌握

二次根式的被开方数大于等于零是解此题的关键.

【详解】解：要使代数式A/T下有意义，则x的取值范围是》-220,即x»2,

故选：B.

2.D

【分析】根据一元二次方程的定义判定即可.本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握“只

含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键.

【详解】解：A、尤2+x-y=0是二元二次方程，不符合题意；

B、当时，依2+2彳-3=0是一元二次方程，不符合题意；

C、方程整理得：X3-X2-2X-5=0,是三元一次方程，不符合题意；

D、尤2T=。是一元二次方程，符合题意.

故选：D.

3.C

【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即可解答；掌握二次根式的

相关运算法则是解题的关键.

【详解】解：A、3和6不是同类项，不能合并，即不满足题意；

B、2A/3-A/3=A/3,即不满足题意；

C、75x73=715,计算正确，符合题意；

D、娓+咫）=逝,,即不满足题意.

故选C.

4.C

【分析】此题考查不确定事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能

不发生的事件，结合三角形内角和定理和对顶角的概念判断即可.

【详解】解：A、在ABC中，ZA+ZB+ZC=180°,属于必然事件，是确定性事件，故此

选项不符合题意；

B、在ABC中，ZA+ZB+ZC<180°,属于不可能事件，是确定性事件，故此选项不符合

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题意；

C、若a,4是对顶角，则夕=力，可能会出现々+尸=180。，属于随机事件，是不确定性事

件，故此选项符合题意；

D、a,夕是对顶角，a=（3,属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；

故选：C.

5.A

【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出8,即可求解.

【详解】解：,.•/ACB=90。，AC=12,BC=5,

；•AB=VAC2+sc2=13-

：.-ACBC=-ABCD,解得：CD=—,

2213

CD12

cos/BCD=—=—,

BC13

故选：A.

6.B

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设增长率为x,根据题意列出一元二次方程，即

可求解.

【详解】解：设增长率为X,根据题意得，

2.5（1+尤）2=3.6,

故选：B.

7.D

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡比的意义设=米，可知=米，

在RtAB”中，利用勾股定理构建方程求出无即可得到A".

【详解】解：・斜坡A2的坡比接近3:4,

设=米，则3"=4%米，

在RtAB”中，

AB2=AH2+BH2,

（3x）2+（4x）2=〃2,解得x2=-^（舍去），

…cH3〃

二.AH=3x—=—.

55

故选：D.

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8.C

【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系.开口方向，对称轴，与y轴的交点坐

标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判

断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键.

【详解】解：..•抛物线的开口向下，

••。<0，

h

对称轴为x=--=1，

2a

b=-2a>0,

•・,抛物线与y轴交于正半轴，

c>0,

abc<0,故①正确；

•・•对称轴为x=l,

・・.x=2与％=0的函数值相等，即：4〃+2b+c=c>0,故②正确；

・・,点(-1,0)关于1=1的对称点为(3,0),

・•・当y<0时，x<—l或%>3；故③正确；

:图象过点(—1,0),b=-2a,

•八3b

・・u—bc=—1b,—b,+c=-----Fc—(nJ,

22

2c-36=0；故④错误；

:抛物线的开口向下，

...当x=l时，函数值最大，

即：a+b+c>anr+bm+c,

a+b>m(am+b)；故⑤正确；

综上，正确的有4个；

故选：C.

9.2

【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，被开方数中不含字母，并且被开方数中

所有因式的暴的指数都小于2,这样的二次根式称为最简二次根式，几个二次根式化成最简

二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，根据最简二次根式和

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根式的定义进行解答即可.

【详解】解：、厄=26，最简二次根式与g是同类二次根式，

2x—l=3,

..x=2,

故答案为：2.

10.1

【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可.掌握

形如丁=改2+乐+。（々。。）的函数，是二次函数，是解题的关键.

【详解】解：・・・y=（机+l）?^+2x—3是二次函数，

加+1+0且同+1=2,

解得m=l.

故答案为：1.

11.12

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出

EF,得到OE的长，根据三角形中位线定理解答，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，

并且等于第三边的一半是解题的关键.

【详解】解：在Rt^AFC中，点E是AC的中点，

EF=-AC=5

2f

;DF=1,

：.DE=l+5=6,

•ID、石分别是A3、AC的中点，

JBC=2DE=12,

故答案为：12.

12.（4^-4）

【分析】本题考查了黄金分割，难度较小，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.根据黄

金分割的定义，可得4尸=或二'AB,然后进行计算即可解答.

2

【详解】解：；尸为A2的黄金分割点（”＞钻），A3的长度为8cm,

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p-1、

AP=x8cm=（4人-4）cm

2

7

故答案为（4石-4）.

13.①③④

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，三角

形的中位线性质；根据SAS证明.ZMf1丝3OCE得到ZADF=ZCDE,DE=DF,再证明

DEF是等腰直角三角形，可得NDEF=/DFE=45。,由30是正方形的对角线可得

ZDBC=45,得ZDFG=NEBG=45。,又ZFGD=ZBGE,故可得FG*BGE,故①

正确；连接。M、BM,过点/作MH，3c于点证明是ABEF的中位线，求出

MH=2,根据直角三角形的性质得到=根据SSS证明.DCMqBCM,得到

ZBCM=ZDCM=|ZBCD=45°,得出CM=20，故②错误；根据三角形内角和定理

可得③正确；证明iDGNs,EGD可判断④正确；熟记各性质与定理并作出辅助线是解题

的关键.

【详解】解：：四边形ABCD是正方形中，

AAD^CD,ZA=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,

：.ZDCE=ZA=90。,

又•:AF=CE,

：..CED(SAS),

：.ZADF=NCDE,DE=DF,

：.NCDE+ZFDC=ZADF+NFDC=ZADC=90°,

即/EOF=90°,

又DE=DF,

：.ZDFE=ZDEF=45°,

BO是正方形ABC。的对角线，

ZDBC=45°,

：.NDFG=NCBG=45。，

*.•ZFGD=ZBGE,

...一FGD~.BGE,故①正确；

答案第5页，共16页

连接DM、BM,过点〃作MW，5c于点H,如图,

MH//BF,

.EMEH

,•MF~HB'

是跖的中点,

:.EM=MF,

.••里=1,

HB

即&7=HB,

，H是£B的中点，

•*.MH是ABEF的中位线，

：.MH=-BF=2,

2

：M是E产的中点，

MD=-EF,BM=-EF,

22

：.MD=MB,

在ADCM与；BCM中，

DM=MB

<BC=CD,

CM=CM

.DCM^BCM(SSS),

ZBCM=DCM=-/BCD=45°,

2

ZHMC=ZMCH=45°,

CM=yf2MH=2-j2,

由于无法判断CM=CE,故②说法错误；

ZMCN+ZCNM+ZCMN=180°,ADEN+ZDNE+ZEDN=180°,

答案第6页，共16页

又•；ZMCN=/DEN=45。,ZMNC=/DNE,

；./CME=/CDE,故③正确；

■:/GDN=/DEG=450,/DGN=/EGD,

:.DGNS-EGD,

.DGGN

・•正一丽‘

DG2=GNGE,故④正确；

综上，正确的是①③④，

故答案为：①③④.

14.9

【分析】本题考查了二次根式的加减运算，零指数幕，化简绝对值，准确熟练地化简各式是

解题的关键.先化简各式，然后再进行计算即可解答.

【详解】解：（-3）2+血—卜——3）

=9+2A/2-（2A/2-1）-1

=9+272-272+1-1

=9.

15.石=2,%2=~

【分析】本题考查了解一元二次方程.根据因式分解法解一元二次方程，即可求解.

【详解】解：整理得2（%-2）2=-3（尤-2）,

移项得2（无一2）2+3（尤一2）=0,

因式分解得（x—2）[2（x-2）+3]=0,gp（x-2）（2x-l）=0,

解得玉=2,x2.

16.105°

【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定

理，利用非负数和为零得出2sinA-l=0,1a-cosB=0,求出NA、NB度数，再由三角形内

2

角和定理求解即可.

叵

【详解】解：2sinA—1|+|—cosB=0

答案第7页，共16页

2sinA—1=0,----cosS=0,

2

..1八志

..sinA——,cosB——,

22

ZA=30°,/B=45。,

：.ZC=180°-ZA-ZB=105°.

17.(1)图见解析

(2)45=5,

【分析】本题考查的是在坐标系内画位似图形，位似图形的性质，熟记位似图形的性质并应

用于画图是解本题的关键.

(1)分别确定A,B,C的位似对应点4，耳，G，再顺次连接即可；

(2)由位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案.

【详解】(1)解：如图所示：AA4G即为所求；

(2)解：由以。点为位似中心，位似比为2,将A5C放大为△A4G，ABC,△A与G

的面积为S、H，

则S,'的数量关系为：4s=5.

18.⑴见解析

(2)AF=y

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，

(1)根据矩形的性质可得/fi=/AFD=90。，根据等角的余角相等可得NS4E=NADF,即

可证明AADF^AEAB，根据相似三角形的性质即可得证；

答案第8页，共16页

(2)勾股定理求得AE=5,由(1)的比例式即可求解.

掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【详解】(1)证明：：四边形ABCD为矩形，DF±AE,

：.ZB=ZAFD=90°,ZBAE+ZEAD=ZEAD+ZADF=90°

；•ZBAE=ZADF,

AADF^AEAB，

.AF_AD

"BE-AE；

(2)为BC的中点，

BE=-BC=3,

2

AE=7AB2+BE2=5■

AD

..AF---

BEAE

,AF6

—一,

35

_18

AF

,

19.(l)m<|

(2)m=-1—A/2

［分析］本题考查了一元二次方程分°+.+c=。(〃w。)的根的判另lj式A=/一4"：当A>0,

方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数

根.也考查了一元二次方程根与系数的关系.

(1)根据A20,解不等式即可；

(2)由根与系数的关系得出国+%和占的值，再代入求解即可.

【详解】(1)解：关于x的方程/+(2%-1)尤+疗=0有实数根，

A=(2m-1)2-W>0,

解得：m<\.

4

故加的取值范围是加工!.

答案第9页，共16页

(2)解：x2+(2m-V)x+m2=0

X]+%——(2m—1),%•％二根2,

西+々=西•尤2，

-(2m-1)=m2,

解得小=—1+=—1—V2,

又根工1,

4

••m=—l—5/2•

20.每套徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.根据利润=单件利润X销售量列出方程

求解即可.

【详解】解：设每套吉祥物徽章降价X元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元，

根据题意得：(40-x)(20+2x)=1200,

整理得：x2-30x+200=0,

解得玉=10,x2=20,

题目要求尽快减少库存，

再=10(舍去)，

x-20,

答：每套徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元.

21.(1)7

4

⑵々李白所写)=不

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，列表法或树状图法求解概率.

(1)根据概率公式求解即可；

(2)采用列表法列举即可作答.

【详解】(1)1+4=1，

4

答案第10页，共16页

故答案为」；

（2）列表如下:

小西

ABcD

小婷

A(民A)(CA)(RA)

B(A3)(GB)(D,B)

C(AC)(BQ（D，C）

D(AD)(BQ)（C，。）

由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上所代表的古诗均为李白所写

的结果数有2种，

21

，两张卡片上所代表的古诗是李白所写的概率为々李白所写）=二=二•

126

22.54m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解题的关键是根据题意画出几何

图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为

直角三角形中边角关系问题加以解决.

【详解】如图所示，作交42于点E,作交CE于点尸，

:无人机的飞行高度为41.6m,

CE=41.6m,

由题意可得，四边形AEFD是矩形,

答案第11页，共16页

EF=AD=1.6m,

;.CF=CE—EF=40m,

DF±CE,CD=5Qm,

DF=VCD2-CF2=30m，

,四边形AEFD是矩形，

AE=DF=30m,

・・・无人机C测得湖岸边3处的俯角为60°,

:.NCBE=6U,

CF

tanZCBE=tan60°=—,

BE

即凤町士

BE

解得BEx24,

.•.AB=AE+3E=30+24=54m,

A,B两点之间的距离54m.

23.(l)y=f+2x-3

(2)(-2,-3)

【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用方程求交点坐标，解题的关键是掌握待定

系数法求函数解析式.

(1)运用待定系数法求二次函数解析式；

(2)运用待定系数法求一次函数解析式，然后解方程求交点坐标即可.

【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x+l)2-4,

把(0,-3)代入得，a-4=-3,

解得：a-1,

y=(尤+1)2—4=尤？+2x—3；

(2)解：令y=。，贝!|(尤+1)2-4=0,解得：西=LX2=-3,

；•点B的坐标为(1,0),

答案第12页，共16页

把(l，o)代入丁二龙+如得1+加=0,

解得加二一1,

y=x-l,

y=x-i(x=i、"-2

解方程组V(x+lp一4得［y=0或］、=一3,

y=

.•.点O的坐标为(-2,-3).

24.(1)-9

⑵2

【分析】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值,解题的关键是熟练掌握运算法则.

(1)先由条件得到x+2=有，再把d+4x-10化为(X+2)2-14,再整体代入计算即可;

(2)先计算再把f+x+i化为［+再整体代入计算即可;

【详解】(1)解：.了=非-2,

x+2=,

则原式=，+4x+4)-14

=(X+2)2-14

=(A/5)2-14

=5—14

=-9；

(2),.,1=垦1,

2

1353c

••+x+1=+-=-+-=2.

I444

25.⑴”?

答案第13页，共16页

(2"=’或50

17

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定:

(1)根据题意可得4尸=4BQ=2t,则3P=107,当PQAC时，可证明-8PQs_胡。,

贝1襄=饕，即W=解之即可得到答案；

BABC1012

(2)当BPQsB4c时，贝|］竺=些，当乙BPQs^BCA,则生=些，两种情况建立

BABCBCBA

方程求解即可.

【详解】(1)解；由题意得，AP=tfBQ=2t,

：.BP=AB-AP=10-tf

,：PQAC,

：.BPQsBAC,

.BPBQ10T2t

..--=---,即----=—