2024届陕西省商洛市洛南县高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届陕西省商洛市洛南县高一数学第二学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如下图所示（单位：cm）则该几何体的表面积（单位：）是（）A． B． C． D．2．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．3．为奇函数，当时，则时，A． B．C． D．4．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下列命题正确是（）A．m∥n，m∥α⇒n∥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β6．已知数列的前项和为，令，记数列的前项为，则（）A． B． C． D．7．已知函数()的最小正周期为，则该函数的图象()A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称8．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．9．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A． B．C． D．10．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为()．A．25 B．576 C．624 D．625二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.12．已知，为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为_____.13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．14．在中，若，则____；15．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．16．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若的最大值为，则实数__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。（1）在无穷数列中，，，求数列的通项公式；（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；（3）已知无穷数列为等差数列，且，（），求证：数列为“等比源数列”.19．已知关于的函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.20．已知圆,直线（1）求证：直线过定点；（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值；（3）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．21．已知数列{}的首项.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，若，求最大正整数.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

通过三视图的观察可得到该几何体是由一个圆锥加一个圆柱得到的，表面积由一个圆锥的表面积和一个圆柱的侧面积组成【详解】圆柱的侧面积为，圆锥的表面积为，其中，，。选C【点睛】几何体的表面积一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在2、D【解析】

根据三视图还原几何体，由三棱锥的几何特征即可求出其外接球表面积．【详解】根据三视图可知，该几何体如图所示：所以该几何体的外接球，即是长方体的外接球．因为，所以外接球直径．故该三棱锥的外接球表面积为．故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并计算其外接球的表面积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．3、C【解析】

利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论．【详解】又，时，，故选：C．【点睛】本题考查奇函数的定义、反三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．4、C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．5、D【解析】

在A中，n∥α或n⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．【详解】由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故A错误；在B中，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故B错误；在C中，α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6、B【解析】

由数列的前项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前项和求解．【详解】因为，当时，得；当，且时，，不满足上式，∴，所以，当时，；当是偶数时，为整数，则，所以；故对于任意正整数，均有：因为，所以．因为为偶数，所以，而，所以.故选：B．【点睛】本题考查数列的函数概念与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和，解题的关键是当时，，和的推导，本题属于难题．7、D【解析】∵函数()的最小正周期为，∴，，令，，，，显然A，B错误；令，可得：，，显然时，D正确故选D8、C【解析】

根据列方程，结合向量数量积的运算以及特殊角的三角函数值，求得与的夹角.【详解】由于，故，所以，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积运算，考查特殊角的三角函数值，考查两个向量夹角的求法，属于基础题.9、D【解析】试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．10、C【解析】an＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，考点：三视图点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．12、.【解析】

由题意设，，，由得出，它表示圆，由，利用向量的模的几何意义从而得到最小值.【详解】由题意设，，，因，即，所以，它表示圆心为，半径的圆，又，所以，而表示圆上的点与点的距离的平方，由，所以，故的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与应用问题，属于中档题.13、（-4，2）【解析】试题分析：因为当且仅当时取等号，所以考点：基本不等式求最值14、【解析】试题分析：因为，所以．由正弦定理，知，所以＝＝．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、正弦定理．15、【解析】

先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得.所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、1或；【解析】

要使最大，则最小．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为．∵若的最大值为，∴，解得或．故答案为1或．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题思路是平面上对圆的张角问题，显然在点固定时，圆外的点作圆的两条切线，这两条切线间的夹角是最大角，而当点离圆越近时，这个又越大．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）先由题意得到，求出，再由，作出，得到数列为等比数列，进而可求出其通项公式；（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】解：（1）由题可得.当时，，即.由题设，，两式相减得.所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.（2）由（1）可得，所以，.两边同乘以得.上式右边错位相减得.所以.化简得.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的前项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.18、（1）；（2）不是，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】

（1）由，可得出，则数列为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可间接求出；（2）假设数列为“等比源数列”，则此数列中存在三项成等比数列，可得出，展开后得出，然后利用数的奇偶性即可得出结论；（3）设等差数列的公差为，假设存在三项使得，展开得出，从而可得知，当，时，原命题成立.【详解】（1），得，即，且.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，因此，；（2）数列不是“等比源数列”，下面用反证法来证明.假设数列是“等比源数列”，则存在三项、、，设.由于数列为单调递增的正项数列，则，所以.得，化简得，等式两边同时除以得，，且、、，则，，，，则为偶数，为奇数，等式不成立.因此，数列中不存在任何三项，按一定的顺序排列构成“等比源数列”；（3）不妨设等差数列的公差.当时，等差数列为非零常数列，此时，数列为“等比源数列”；当时，，则且，数列中必有一项，为了使得数列为“等比源数列”，只需数列中存在第项、第项使得，且有，即，，当时，即当，时，等式成立，所以，数列中存在、、成等比数列，因此，等差数列是“等比源数列”.【点睛】本题考查数列新定义“等比源数列”的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，也考查“等比源数列”的证明，考查计算能力与推理能力，属于难题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（Ⅱ）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，当时，函数，由，即，解得或，所以不等式的解集为.（Ⅱ）因为对任意的恒成立，即，又由，当且仅当时，即时，取得最小值，所以，即实数的最大值为.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、（1）直线过定点（2）.（3）在直线上存在定点，使得为常数.【解析】分析：（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知，r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．（Ⅲ）由题知，直线MC的方程为，假设存在定点N满足题意，则设P（x，y），，得，且，求出λ，然后求解比值．详解：（Ⅰ）依题意得，令且，得直线过定点（Ⅱ）当时，所截得弦长最短，由题知，，得，由得（Ⅲ）法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，则设，，得，且整理得，上式对任意恒成立，且解得,说以（舍去，与重合），综上可知，在直线上存在定点，使得为常数点睛：过定点的直线系A1x＋B1y＋C1