新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习

-3-第六章实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“”。（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。考点三、实数的性质有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。1、相反数（1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。2、绝对值（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。（2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。（3）3、倒数（1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a的倒数是1/a（a≠0）（2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点四、实数的三个非负性及性质1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。2、非负数有三种形式（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；（2）任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；公式一:∵======∴=有关练习：1.==2.如果=a-3，则a的取值范围是；如果=3-a,则a的取值范围是3.数a,b在数轴上的位置如图：化简：+|c+a|babaC0公式二：∵（）2=（）2=（）2=∴=(a≥0)综合公式一和二，可知，当满足a条件时，=公式三：∵======∴=；随堂练习：化简：当1＜a＜3时，+公式四：∵（）3=（）3=（）3=∴=综合公式三和四，可知，当满足a条件时，=公式五：=知识点五：实数定义及分类无理数的定义：实数的定义：实数与上的点是一一对应的1、判断下列说法是否正确：（1）实数不是有理数就是无理数。（）（2）无限小数都是无理数。（）（3）无理数都是无限小数。（）（4）根号的数都是无理数。（）一、选择题(每题3分,共36分)1.下列等式正确的是（）（A）＝－3（B）＝±12（C）＝－2（D）－＝－52.算术平方根等于3的是（）（A）（B）3（C）9（D）3.下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）a2的算术平方根是a；（4）（－4）2的算术平方根是－4；（5）算术平方根不可能是负数。其中不正确的有（）（A）5个（B）4个（C）3个（D）2个4.若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）（A）0（B）1（C）－1（D）±1,05.若=x，则实数x是（）(A)负实数（B）所有正实数（C）0或1（D）不存在6.若=-a，则实数a在数轴上的对应点，一定在（）(A)原点左侧（B）原点右侧（C）原点或原点左侧（D）原点或原点右侧6.在实数0．3，0，，，0．123456…中，无理数的个数是（）(A)2 （B）3 （C）4 （D）57.下列各式中，无意义的是（）(A). （B）. （C）. （D）.8.4、、15三个数的大小关系是（）(A).4<15< （B）<15<4（C）4<<15 （D）<4<159.化简的结果是（）(A).－4 （B）.4 （C）±4 （D）无意义二、填空题(每题3分,共24分)10.如果=2,那么(x+3)2=______11.若与|b+2|是互为相反数，则(a－b)2=______.13.一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则其边长扩大为原来的倍。16.点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则AB之间的距离为________14.一个三角形的三边分别是a，b，c，则=________．15.a是一个两位数的十位数字，b是它的个位数字，则这个数可表示为.16.的算术平方根是______，的平方根是______，—8的立方根是_______．17.已知│a+2│+4=________．三、解答