2020-2021学年上海市宝山区行知中学高一下学期期中考试数学试题

20202021学年上海市宝山区行知中学高一下学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则．2．（4分）若，则．3．（4分）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为．4．（4分）已知，，，，则．5．（4分）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则．6．（4分）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，，计算（1）（2）（3）．7．（5分）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是．8．（5分）已知函数，则不等式的解集为．9．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，，若，则折痕的长度为．10．（5分）在锐角中，，，的取值范围为．11．（5分）设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为．12．（5分）函数仅有一个零点，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，満分20分，每题5分）每题铕且只有一个正选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黒．13．（5分）下列函数中最小正周期为的函数是A． B． C． D．14．（5分）已知非零向量，，共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．（5分）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是A． B． C． D．16．（5分）对于函数，若集合，中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是A． B．， C．， D．，三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．18．（14分）如图，是半圆的直径，，是弧三等分点，，是线段的三等分点，若．（1）求的值；（2）求与的夹角（用符号“”表示）．19．（14分）已知函数．（1）求的单调增区间；（2）求在区间上的最小值；（3）如果在上有两个解，求的取值范围．20．（16分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．21．（18分）已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数．（1）已知是，上的周期为1的级类周期函数，且是，上的严格增函数，当，时，，求实数的取值范围；（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当，时，．若对任意，，都有，求的取值范围；（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．20202021学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则4．【考点】：平面向量的基本定理【专题】：平面向量及应用【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于、的方程组，解之得且，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得，，，解之得且因此，故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示，求系数、的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．2．（4分）若，则．【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；数学运算【分析】由已知结合倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3．（4分）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为．【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；解三角形【分析】利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．【解答】解：由余弦定理有，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．4．（4分）已知，，，，则．【考点】两角和与差的三角函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换，差角的正弦的应用求出结果．【解答】解：已知，，，，所以，，由于，，所以，故，整理得．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，差角的正弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．（4分）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则．【考点】任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角差的正弦公式，求得的值．【解答】解：角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则，，则，故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角差的正弦公式，属于中档题．6．（4分）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，，计算（1）（2）（3）1．【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到是周期函数，结合函数的解析式分析可得（1）（2）（3），据此可得（1）（2），计算可得答案．【解答】解：根据题意，的图象关于对称，则有，又由函数是上的奇函数，则，则，即，故函数是周期为4的周期函数，则，（1），（2），（3）（1），（4），（1）（2）（3），即（1）（2）（1）；故答案为：1．【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的判断，属于基础题．7．（5分）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是．【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的奇偶性和对称性【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】根据条件化简，然后由已知求出得到值，则函数的最值可求．【解答】解：（其中，又是函数的一条对称轴，，即，．由，得．函数的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的恒等变换应用，正弦型函数的图象和性质，是中档题．8．（5分）已知函数，则不等式的解集为，或．【考点】指、对数不等式的解法；其他不等式的解法【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，求得不等式的解集．【解答】解：函数为偶函数，当时，函数单调递增，（1），则不等式的解集为，故当时，不等式的解集为，综上，可得不等式的解集为，或，故答案为：，或．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．9．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，，若，则折痕的长度为．【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算【分析】根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解，由，求解即可．【解答】解：由已知及对称性知，，，又，，又由得：．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）在锐角中，，，的取值范围为．【考点】：三角形中的几何计算【专题】35：转化思想；58：解三角形【分析】由条件可得，且，故，，由正弦定理可得，从而得到的取值范围．【解答】解：在锐角中，，，，且，故，故．由正弦定理可得：，，，即．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用．正弦定理的应用．11．（5分）设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为．【考点】向量数乘和线性运算；数量积表示两个向量的夹角【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算【分析】延长至，使；延长至，使，可得是△的重心，利用三角形重心的性质，即可得到结论．【解答】解：延长至，使；延长至，使则，是△的重心，延长，交于，延长，交于，延长，交’于，则，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法法则，体现了向量在解决有关平面图形问题题中的优越性，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．12．（5分）函数仅有一个零点，则的取值范围为．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算；计算题【分析】函数的零点转化为方程即的根，先对参数的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．【解答】解：由题意，当时，函数定义域是，当时，函数定义域是，函数仅有一个零点，只有一个根，当时，，，，即在仅有一个解，在仅有一个解，令，又当时，，△，，舍，或4，时无意义，舍去，，当时，函数定义域是，函数是一个递减过与的线段，函数在递增且过两点与，此时两曲线段恒有一个交点，故符合题意，的取值范围为：．故答案为：．【点评】本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，満分20分，每题5分）每题铕且只有一个正选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黒．13．（5分）下列函数中最小正周期为的函数是A． B． C． D．【考点】：三角函数的周期性【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质；65：数学运算【分析】找出选项中的函数解析式中的值，代入周期公式，可求出选项中函数的最小正周期．【解答】解：、函数的最小正周期，不满足条件；、函数的最小正周期为，不满足条件；、的最小正周期为，不满足条件；、的周期，满足条件．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性，属于基础题．14．（5分）已知非零向量，，共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】常规题型；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】利用数量积为数，以及数量积的运算法则，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：①若，，，又，．②若，，都是数，设，，，，又，，，共线，即．综上所述：是的充要条件．故选：．【点评】本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．【解答】解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．，，当，则，求得；当，，方程在区间上有1个根，不满足题意；当，，求得；当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，，当，，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意．综上，可得，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16．（5分）对于函数，若集合，中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是A． B．， C．， D．，【考点】分段函数的应用【专题】计算题；对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据新定义，分类讨论，即可求出的取值范围．【解答】解：函数是“2阶准偶函数”，则集合，中恰有2个元素，当时，，则，即，解得或，此时函数是“2阶准偶函数”，当，如图所示，由于，当无解，由于，即，解得或，此时函数是“2阶准偶函数”，则，即，当时，如图所示由于，当无解，而有无数个解，故函数不是“2阶准偶函数”，综上所述的取值范围为，．故选：．【点评】本题属于信息给予题，准确理解“阶准偶函数”概念是解题关键，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；计算题【分析】（1）由已知结合平方关系求得，的值，再由倍角公式得的值；（2）由（1）求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，；（2）由（1）得，，则．，，，．则．．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．18．（14分）如图，是半圆的直径，，是弧三等分点，，是线段的三等分点，若．（1）求的值；（2）求与的夹角（用符号“”表示）．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算【分析】（1）用坐标法求向量数量积即可；（2）用向量数量积求两向量夹角问题即可．【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，，，，，，，，，所以，所以的值为26；（2）由（1）知，所以，于是．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，考查了用向量数量积表示向量的夹角问题，属于中档题．19．（14分）已知函数．（1）求的单调增区间；（2）求在区间上的最小值；（3）如果在上有两个解，求的取值范围．【考点】三角函数的最值【专题】转化思想；整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值；（3）利用函数的图象的特点求出参数的取值范围．【解答】解：（1）函数．令，整理得，故函数的单调递增区间为：．（2）由于，所以，所以，故函数在时，函数的最小值为．（3）由于函数在时与函数有两个交点，故．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数的取值范围的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20．（16分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．【考点】根据实际问题选择函数类型；解三角形【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）由题意可求出，所以为正三角形，则，在中由正弦定理可求出，从而求出四边形的面积．（2）根据条件可得，，，在中由正弦定理可得，再在中由正弦定理即可表达出．（3）在中由正弦定理求出，从而求出关于的函数表达式，再根据的取值范围求出的最小值．【解答】解：（1），，，又，，又，所以为正三角形，则，在中，因为，所以，故四边形的面积．（2）因为，，所以，又因为灯柱与地面垂直，即，所以，因为，所以，在中，因为，所以，在中，因为，所以．（3）在中，因为，所以，则，因为，所以，所以当时，．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了解三角形，同时考查了学生的计算能力，是中档题．21．（18分）已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数．（1）已知是，上的周期为1的级类周期函数，且是，上的严格增函数，当，时，，求实数的取值范围；（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当，时，．若对任意，，都有，求的取值范围；（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．【考点】函数的周期性【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模【分析】本题是新定义的题型，读懂题目是关键．（1）借助题干中的新定义以及增函数性质解题；（2）借助题干中的新定义以及二次函数性质求解；（3）借助题干中的新定义以及三角函数性质求解．【解答】解：（1）是，上的周期为1的级类周期函数，当，时，，当，时，，当，时，，即当，时，，，是，上的严格增函数，且，，．（2）由题意知，，，时，，，时，，，，，，时，，，，，故存在，，，解得或，若对任意，，都有，则，（3）假设存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，则对一切实数恒成立，当时，，当时，，，，，，，若对一切实数恒成立，则，当时，，，且，当时，，，，综上所述，当时，，；当时，，．【点评】作为新定义的题型在高考中是必考题型，读懂题目，理解新定义的主旨是关键．考点卡片1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．抽象函数及其应用【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．3．函数的周期性【知识点的认识】函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．【解题方法点拨】周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由题意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）⇒T＝4②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．【命题方向】周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．4．函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．5．函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【考查趋势】考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．6．分段函数的应用【分段函数的应用】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【具体应用】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ﹣p）万件，年销售收入为﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y＝﹣p）p%（万元）故所求函数为y＝﹣p）p﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p…（4分）（II）由y≥16得﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）＝﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【考查预测】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．7．根据实际问题选择函数类型【知识点的知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【典型例题分析】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2）（）A．yxB．yxC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，A中，函数yx，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数yx，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．8．其他不等式的解法【知识点的知识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：9．指、对数不等式的解法【概述】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【例题解析】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有，解得2＜x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x＜2．综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【考点点评】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．10．向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．当λ＝0时，λ与平行．对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ（2）向量数乘运算的法则①1＝；（﹣1）＝；②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；③（λ+μ）＝λ+μ；④λ（+）＝λ+λ．一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．11．平面向量的基本定理【知识点的知识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．12．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．13．数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．【典型例题分析】例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．【考点点评】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．14．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．15．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．【例题解析】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式＝．先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．16．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．17．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．18．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【例题解析】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx＝+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）∴其周期T＝＝π．故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【考点点评】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．19．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．20．正弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ21．正弦函数的奇偶性和对称性【正弦函数的对称性】正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．【例题解析】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝．解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝，而函数y＝sint的对称轴为则，解得（k∈Z）则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为故答案为．这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．【考点点评】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．22．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；②S＝absinC＝acs