2024届四川省遂宁市等3地高三二模数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3四川省遂宁市等3地2024届高三二模数学试题（文）一､选择题1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，得，而，所以.故选：C.2.复数，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，故选：D.3.某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.决定系数变小 B.残差平方和变小C.相关系数的值变小 D.解释变量与预报变量相关性变弱〖答案〗B〖解析〗从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，故A、C、D错误，B正确.故选：B.4.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，分别为，的中点，所以，设，又，所以即，解得.故选：A5.已知数列满足，（），则（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，，，，又，所以故选：A6.已知平面区域，则的最大值为（）A.8 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗如下图所示，不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分，在直线方程中，令，解得，得点的坐标为，作直线，直线在轴上的截距为，当直线经过区域中的点时，直线在轴上截距最小，此时取最大值，即.故选：B.7.在区间随机取1个数，则使得的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，又，所以，，，即有时，成立，.在区间上随机取一个数，则使得概率为.故选：C.8.已知函数，则下列说法中，正确的是（）A.的最小值为B.在区间上单调递增C.的最小正周期为D.的图象可由的图象向右平移个单位得到〖答案〗D〖解析〗因为，因为，所以，所以，故A错误；当时，因为在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误；的最小正周期，故C错误；将的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：D9.如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：①平面；②平面平面；③“直线直线”始终不成立.其中所有正确结论的序号为（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③〖答案〗B〖解析〗菱形的对角线与交于点，是的中位线，则，而平面，平面，因此平面，①正确；连接，由，得，而平面，则平面，又平面，因此平面平面，②正确；显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，从逐渐减小到（不包含和），当时，，平面，则平面，而平面，于是，③错误，所以所有正确结论的序号为①②.故选：B10.已知函数，给出下列4个图象：其中，可以作为函数的大致图象的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗由题意知，定义域为，当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，当时，，且此时，所以可对应③，当时，，此时，所以可对应④.故选：D.11.已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设，圆的圆心为，半径为，过点的直线与圆相切于点，则，，，则，所以，因为轴，所以易得，，化简得，即，解得，.故选：D.12.已知，，均为正数，,，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗可变形为：，可变形为：，可变形为：，令，，，，且，可知分别为函数与，，的交点横坐标，当时，单调递增且，，，，这三个函数全部单调递减，且，，，，由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，由图象可知，下降速度最慢，所以最大，，，时，，所以交点，故选：B

二､填空题13.已知函数，则的值为_________.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：.14.已知，则曲线在点处的切线方程为___________.〖答案〗〖解析〗由求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故〖答案〗为：15.已知数列的前项和为，且，，则________.〖答案〗〖解析〗数列中，由，得当时，，则，显然满足上式，因此，所以.故〖答案〗为：16.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的体积为，当圆锥顶点与底面在球心的同侧时，有，，，，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立.当圆锥顶点与底面在球心的异侧时，，，，，当且仅当，即时等号成立.此时，即.所以当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.故〖答案〗为：.三､解答题（一）必考题17.某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：文化艺术类体育锻炼类合计男女合计（1）通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？（2）为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了名同学.若在这名同学中随机抽取名，求所抽取的名同学中至少有名女生的概率.附表及公式：其中，.解：（1）由表格数据可得：，有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.（2）抽取的名同学中，男生有人，女生有人，记事件为“抽取的名同学中至少有名女生”，则，，即抽取的名同学中至少有名女生的概率为.18.如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.（1）证明：平面；（2）设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.（1）证明：因为，，，所以，由射影定理得，所以，由余弦定理得，所以，则，即，又因为，，所以平面；（2）解：因为点为边的中点，所以，又，所以，因为平面，所以平面平面，所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，因为为定值，当h最大时，所以三棱锥体积最大，而，则，当h=1时，.19.已知的内角，，的对边分别为,,,且.（1）求角；（2）若是的角平分线，，的面积为，求的值.解：（1）由及正弦定理得，，所以，因为，所以，又，所以（2）由，得，又，所以，由余弦定理得所以.20.在直角坐标系中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.（1）求的方程；（2）当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.解：（1）由，所以，设，，，，解得，所以抛物线的方程为.（2）如图，设，，，，，解得，所以点的坐标为.由题意直线的斜率不为0，设，，，联立，消去整理得，则，，，因为，所以，即，整理得，将，代入上式，，满足，所以直线为，恒过定点.21.已知函数.（1）若存在极值，求的取值范围；（2）若，，证明：.（1）解：由，，得，当时，，则单调递增，不存在极值；当时，令，则，当，则，即在上单调递减，当，则，即在上单调递增.所以是的极小值点，所以当时，存在极值，综上所述，存在极值时，的取值范围是.（2）证明：欲证不等式在时恒成立，只需证明在时恒成立.设，，则，令，，则.当时，，所以，所以即在上单调递增，所以，因，所以，故，所以在上单调递增，所以，即当，时，不等式恒成立.（二）选考题[选修：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设直线与轴相交于点，动点在上，点满足，点的轨迹为，试判断曲线与曲线是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.解：（1）由题设曲线的参数方程，消参得，由，且得，，化简得，C的普通方程为，l直角坐标方程为.（2）当时，，易知，设，可得，（a是参数），消参得方程为且，则圆心距离得，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组，解得或，故坐标为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知，，均为正数，且.（1）是否存在，，，使得，说明理由；（2）证明：.（1）解：不存在，，，使得.理由如下：因为，，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，所以不存在，，，使得.（2）证明：因为，当且仅当时等号成立，所以.四川省遂宁市等3地2024届高三二模数学试题（文）一､选择题1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，得，而，所以.故选：C.2.复数，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，故选：D.3.某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.决定系数变小 B.残差平方和变小C.相关系数的值变小 D.解释变量与预报变量相关性变弱〖答案〗B〖解析〗从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，故A、C、D错误，B正确.故选：B.4.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，分别为，的中点，所以，设，又，所以即，解得.故选：A5.已知数列满足，（），则（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，，，，又，所以故选：A6.已知平面区域，则的最大值为（）A.8 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗如下图所示，不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分，在直线方程中，令，解得，得点的坐标为，作直线，直线在轴上的截距为，当直线经过区域中的点时，直线在轴上截距最小，此时取最大值，即.故选：B.7.在区间随机取1个数，则使得的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，又，所以，，，即有时，成立，.在区间上随机取一个数，则使得概率为.故选：C.8.已知函数，则下列说法中，正确的是（）A.的最小值为B.在区间上单调递增C.的最小正周期为D.的图象可由的图象向右平移个单位得到〖答案〗D〖解析〗因为，因为，所以，所以，故A错误；当时，因为在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误；的最小正周期，故C错误；将的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：D9.如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：①平面；②平面平面；③“直线直线”始终不成立.其中所有正确结论的序号为（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③〖答案〗B〖解析〗菱形的对角线与交于点，是的中位线，则，而平面，平面，因此平面，①正确；连接，由，得，而平面，则平面，又平面，因此平面平面，②正确；显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，从逐渐减小到（不包含和），当时，，平面，则平面，而平面，于是，③错误，所以所有正确结论的序号为①②.故选：B10.已知函数，给出下列4个图象：其中，可以作为函数的大致图象的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗由题意知，定义域为，当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，当时，，且此时，所以可对应③，当时，，此时，所以可对应④.故选：D.11.已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设，圆的圆心为，半径为，过点的直线与圆相切于点，则，，，则，所以，因为轴，所以易得，，化简得，即，解得，.故选：D.12.已知，，均为正数，,，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗可变形为：，可变形为：，可变形为：，令，，，，且，可知分别为函数与，，的交点横坐标，当时，单调递增且，，，，这三个函数全部单调递减，且，，，，由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，由图象可知，下降速度最慢，所以最大，，，时，，所以交点，故选：B

二､填空题13.已知函数，则的值为_________.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：.14.已知，则曲线在点处的切线方程为___________.〖答案〗〖解析〗由求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故〖答案〗为：15.已知数列的前项和为，且，，则________.〖答案〗〖解析〗数列中，由，得当时，，则，显然满足上式，因此，所以.故〖答案〗为：16.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的体积为，当圆锥顶点与底面在球心的同侧时，有，，，，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立.当圆锥顶点与底面在球心的异侧时，，，，，当且仅当，即时等号成立.此时，即.所以当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.故〖答案〗为：.三､解答题（一）必考题17.某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：文化艺术类体育锻炼类合计男女合计（1）通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？（2）为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了名同学.若在这名同学中随机抽取名，求所抽取的名同学中至少有名女生的概率.附表及公式：其中，.解：（1）由表格数据可得：，有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.（2）抽取的名同学中，男生有人，女生有人，记事件为“抽取的名同学中至少有名女生”，则，，即抽取的名同学中至少有名女生的概率为.18.如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.（1）证明：平面；（2）设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.（1）证明：因为，，，所以，由射影定理得，所以，由余弦定理得，所以，则，即，又因为，，所以平面；（2）解：因为点为边的中点，所以，又，所以，因为平面，所以平面平面，所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，因为为定值，当h最大时，所以三棱锥体积最大，而，则，当h=1时，.19.已知的内角，，的对边分别为,,,且.（1）求角；（2）若是的角平分线，，的面积为，求的值.解：（1）由及正弦定理得，，所以，因为，所以，又，所以（2）由，得，又，所以，由余弦定理得所以.20.在直角坐标系中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.（1）求的方程；（2）当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.解：（1）由，所以，