2024届上海市杨浦区高三下学期二模质量调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷一、填空题1.已知集合，，则________.〖答案〗〖解析〗集合，，所以.故〖答案〗为：2.设抛物线的准线方程为__________.〖答案〗〖解析〗由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故〖答案〗为．3.计算________（其中为虚数单位）.〖答案〗〖解析〗由题.故〖答案〗为：.4.若，则__________．〖答案〗〖解析〗5.已知二项式，其展开式中含项的系数为________.〖答案〗45〖解析〗由题意知，展开式的通项公式为，令，得，即含项的系数为45.故〖答案〗为：456.各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为________.〖答案〗〖解析〗设正项等比数列的公比为，由，，得，则，解得，所以.故〖答案〗为：7.正方体中，异面直线与所成角的大小为________.〖答案〗〖解析〗正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角，而，因此.所以异面直线与所成角的大小为.故〖答案〗为：8.若函数为奇函数，则函数，的值域为________.〖答案〗〖解析〗当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为.故〖答案〗为：.9.设复数与所对应的点为与，若，，则________.〖答案〗2〖解析〗依题意，，则，所以.故〖答案〗为：210.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种.〖答案〗60〖解析〗从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法，所以不同安排方式共有（种）.故〖答案〗为：6011.某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________.〖答案〗134〖解析〗设第一层有根，共有层，则，，显然和中一个奇数一个偶数，则或或，即或或，显然每增加一层高度增加厘米，当时，厘米厘米，此时最下层有根；当时，厘米厘米，此时最下层有根；当时，厘米，超过米，所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为根.故〖答案〗为：134.12.已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，，依题意，，于是，整理得，即，因此，即有，则随增大而增大，而当，时，到达时是临界值点，此时，代入得，即，整理得，而，解得，则，即，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：二、选择题13.下列函数中，在区间上为严格增函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数在上单调递减，B不是；对于C，函数在上单调递减，C不是；对于D，函数在上为严格增函数，D是.故选：D14.已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于ABD，取，满足，显然，，，ABD错误；对于C，，则，C正确.故选：C.15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（）A.350 B.400 C.450 D.500〖答案〗B〖解析〗依题意，，而服从正态分布，因此，所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：B.16.平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：①对任意，存在该平面的向量，满足②对任意，存在该平面向量，满足则下面判断正确的为（）A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①正确，②正确 D.①错误，②错误〖答案〗C〖解析〗由，，，不妨令，，设，，得，而，，则，整理得，由，得，平行直线和间的距离为，到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为，如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有，所以命题①②都正确.故选：C.三、解答题17.如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.（1）证明：连接，交于点，由为等边三角形，得是中心，则，而平面，平面，则，又平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）解：连接，作于，由（1）知平面，平面，则，而平面，则平面，显然，，则，而，于是≌，因此，所以点到平面的距离为.18.已知.（1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知，中，，，分别是角，,所对的边,若，，，求的值.解：（1）由的最小正周期为，得，则，于是，；，所以函数非奇非偶函数（2）当时，则，，在中，，，则，有，于是，解得，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以.19.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；（2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；（3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：

第一种生产方式第二种生产方式总计优秀

合格

总计

根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？.其中，.解：（1）根据题意，将这40个数据从小到大排列，61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78,81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94，故取第30人和第31人时间的平均值为；（2）设选出的工人为优秀为事件A，第一种正产方式A的基本事件数是2个，第二种生产方式A的基本事件数是10个，所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为.（3）

第一种生产方式第二种生产方式总计优秀21012合格181028总计202040，故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异.20.已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求椭圆的方程；（2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；（3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）解：（1）依题意，，又，解得，所以椭圆的方程为；（2）因为命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，可以取直线为，由，解得或，所以，，则，所以，，所以，设的重心为，则，，所以，即的重心坐标为.（3）依题意可得直线的斜率存在、不为且斜率为负数，设直线，，，则直线：，令，得，同理可得：；所以设直线与轴交于点，则，所以，，，因为，故得①，由，则，，代入①得，解得，所以，故直线的方程为.21.函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.（1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；（2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围；（3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.（1）解：若与不为相关函数对，则且，则，所以只要即可，当，时，，所以函数与是相关函数对；（2）解：因为与为相关函数对，所以，令，，当时，；当时，，所以是极小值点，，所以，所以；（3）证明：假设对任意均存在，均有，则取，，，使得，对任意，，有，，又函数与为相关函数对，则①若，则；②若，则，由①②知：，由，将其分为很多个子区间，如,,，……则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，故存在实数，使得对任意，均有．上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷一、填空题1.已知集合，，则________.〖答案〗〖解析〗集合，，所以.故〖答案〗为：2.设抛物线的准线方程为__________.〖答案〗〖解析〗由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故〖答案〗为．3.计算________（其中为虚数单位）.〖答案〗〖解析〗由题.故〖答案〗为：.4.若，则__________．〖答案〗〖解析〗5.已知二项式，其展开式中含项的系数为________.〖答案〗45〖解析〗由题意知，展开式的通项公式为，令，得，即含项的系数为45.故〖答案〗为：456.各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为________.〖答案〗〖解析〗设正项等比数列的公比为，由，，得，则，解得，所以.故〖答案〗为：7.正方体中，异面直线与所成角的大小为________.〖答案〗〖解析〗正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角，而，因此.所以异面直线与所成角的大小为.故〖答案〗为：8.若函数为奇函数，则函数，的值域为________.〖答案〗〖解析〗当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为.故〖答案〗为：.9.设复数与所对应的点为与，若，，则________.〖答案〗2〖解析〗依题意，，则，所以.故〖答案〗为：210.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种.〖答案〗60〖解析〗从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法，所以不同安排方式共有（种）.故〖答案〗为：6011.某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________.〖答案〗134〖解析〗设第一层有根，共有层，则，，显然和中一个奇数一个偶数，则或或，即或或，显然每增加一层高度增加厘米，当时，厘米厘米，此时最下层有根；当时，厘米厘米，此时最下层有根；当时，厘米，超过米，所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为根.故〖答案〗为：134.12.已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，，依题意，，于是，整理得，即，因此，即有，则随增大而增大，而当，时，到达时是临界值点，此时，代入得，即，整理得，而，解得，则，即，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：二、选择题13.下列函数中，在区间上为严格增函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数在上单调递减，B不是；对于C，函数在上单调递减，C不是；对于D，函数在上为严格增函数，D是.故选：D14.已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于ABD，取，满足，显然，，，ABD错误；对于C，，则，C正确.故选：C.15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（）A.350 B.400 C.450 D.500〖答案〗B〖解析〗依题意，，而服从正态分布，因此，所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：B.16.平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：①对任意，存在该平面的向量，满足②对任意，存在该平面向量，满足则下面判断正确的为（）A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①正确，②正确 D.①错误，②错误〖答案〗C〖解析〗由，，，不妨令，，设，，得，而，，则，整理得，由，得，平行直线和间的距离为，到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为，如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有，所以命题①②都正确.故选：C.三、解答题17.如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.（1）证明：连接，交于点，由为等边三角形，得是中心，则，而平面，平面，则，又平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）解：连接，作于，由（1）知平面，平面，则，而平面，则平面，显然，，则，而，于是≌，因此，所以点到平面的距离为.18.已知.（1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知，中，，，分别是角，,所对的边,若，，，求的值.解：（1）由的最小正周期为，得，则，于是，；，所以函数非奇非偶函数（2）当时，则，，在中，，，则，有，于是，解得，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以.19.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；（2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；（3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：

第一种生产方式第二种生产方式总计优秀

合格

总计

根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？.其中，.解：（1）根据题意，将这40个数据从小到大排列，61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78,81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94，故取第30人和第31人时间的平均值为；（2）设选出的工人为优秀为事件A，第一种正产方式A的基本事件数是2个，第二种生产方式A的基本事件数是10个，所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为.（3）

第一种生产方式第二种生产方式总计优秀21012合格181028总计202040，