江苏省苏州市2023-2024学年高一年级下册3月阶段性测试数学试题（含答案解析）

江苏省苏州市张家港市沙洲中学2023-2024学年高一下学期

3月阶段性测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.式子sin25°cos350-cosl55°cos55°=()

V3

A.|B.—C.--nu.-----

2222

2.已知向量7=(1,2),b=(-2,t),^a//b,则归+2N=()

A.y/5B.2A/5C.36D.5A/3

3.已知非零向量a3的夹角余弦值为g,且（3"可”，则M皿「

同

23

A.2B.-C.-D.1

32

4.在“BC中，设市=Z,AC=b>~BD=2DC>AE=4ED-则屉=（）

6.已知函数/(%)=2百sinx+acosx图象的一条对称轴为x=(/(^)+/(^2)=0,且

函数/（x）在区间（演,乙）上具有单调性，则|项+目的最小值是（）

7171542%

A.B.一C.D.

~63-6~T

7.如图，在平行四边形4BCD中，48=4,40=3,点E是48的中点，点尸满足丽=2京,

且=V13，贝！1万.砺=（）

7V13

D.4V14

2

8.如图，在A48C中，。是线段3C上的一点，且比=4而，过点。的直线分别交直

线48,ZC于点N,若A加=4在，AN=juAC(A>0,>0),则2----的最小值

A

试卷第1页，共4页

是（）

A

C.273-4D.2百+2

二、多选题

9.已知函数/（X）=2-3COS2：,则下列说法正确的有（）

A.函数〃x）的最大值为2

B.函数/（x）在区间-鼻，-［上单调递增

C.函数“X）图像的一个对称中心为卜£|

D.将函数/（x）的图像向左平移1个单位长度得到函数y=］（3sinx+l）的图像

10.设Z，B是互相垂直的单位向量，AB^Aa+2bAC=a+（A-l）b,下列选项正确

的是（）

A.若点。在线段N5上，则2=2

2

B.若AB_LAC,则4=—

3

C.当4=1时，均荏共线的单位向量是好£+型石

55

1-2一

D.当丸=-1时，Q在4C上的投影向量为

11.直角中，斜边/5=2,。为所在平面内一点，

―►1.—_►c—>

AP=-sin2O-AB+cos20-AC（其中。ER）,贝ij（）

2

LIULUUUW

A.N8./C的取值范围是（0,4）

B.点尸经过“3C的外心

C.点尸所在轨迹的长度为2

D.京•（刀+而）的取值范围是-g,0

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.在四边形/BCD中，E,尸分别是边4D,2C的中点，4B=①，EF=1,。。=百,

贝1万丽=.

13.等边△4BC的外接圆的半径为1,M是△/BC的边/C的中点，P是该外接圆上的

动点，则旃.~PM的最大值为.

14.记函数〃x)=cos(g+3+“o＞0)的最小正周期为7,若兀＜7＜技，且(兀,2)是

了=/(无)图象的一个最高点，则.

四、解答题

15.已知向量Z与B的夹角为。=今，且同=3,忖=2行.

(1)若左£+2］与32+45共线，求左；

(2)求£与£+刃的夹角的余弦值.

16.如图，在A48C中，刀.就=0，|万|=8,|%卜6,£为线段3C的垂直平分线，L

与8C交与点为£上异于。的任意一点.

(1)求Z5.赤的值;

(2)判断荏.屈的值是否为一个常数，并说明理由.

UL±

17.已知向量加=cos2x,——sinx——cosx,设函数f(X)=m♦n.

22

(1)求函数/(%)的最大值，及取得最大值时工取值的集合;

⑵求函数/⑸的单调减区间;

a1

(3)设A,B,C为锐角三角形/8C的三个内角，若COS8=E，/(C)=--,求co/的值.

3x.3x

18.已知向量。=一,sin—/=c—sin—函数/(%)=〃力—加卜+“+1,

22

试卷第3页，共4页

兀兀D

XG—,meR.

34

兀

(1)当加=0时，求/的值;

(2)若/(x)的最小值为-1,求实数m的值;

yAjrjr

⑶是否存在实数加，使函数g(x)=/(x)+:小，xe有四个不同的零点？若存

在，求出机的取值范围；若不存在，说明理由.

19.如图，点尸，。分别是正方形ZBCD的边DC、C8上两点，AB=\,ZPAQ=3,记

点。为△/尸。的外心.

(1)若丽=力比，CQ=ACB,0W/W1,求万.质的值;

⑵若6=45。，求方•通的取值范围;

(3)若6=60。，若前=d?+y而，求3x+6y的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式求解.

【详解】W：sin25ocos35o-cosl55osin35°,

=sin25°cos350+cos25°sin35°,

=sin（25。+35。）=sin60。二5-.

故选：B

2.C

【分析】根据向量平行的坐标运算列式解出乙即可得出5+23的坐标，即可根据向量的模

的坐标运算得出答案.

【详解】若2〃坂，

则lx，—2x（—2）=0,解得/=—4,

则a+2b=（—3,—6）,

则B+2可=卜3）2+（一9『=3x/5,

故选：C.

3.A

【分析】根据垂直向量数量积为0,结合数量积的公式求解可得同=忖，进而求解即可.

【详解】由题意，（3S-b）-b=Q,即3洒庐=0，3同柩卜［卅=0,

因为|*0,故时明，则普忖=需=2.

故选：A

4.D

【分析】根据向量的线性运算法则求解.

—►—►—►4—A一4/->—►'一4—»1-►

【详解】由题意8E=-By-=：「+卜=,D~：

=刍品」［当（就一次卜匕=>匕=晓「匕.

15515';515";51515

故选：D.

答案第1页，共13页

1+tana3,1

【详解】解得tana=一一,故

1-tana47

其中

.sinacosatana7.,19

sinacosa=——--------------=------=----,故一+sinacosa=—.

sina+cosatana+\50225

点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式,

考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tana,然后利

用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的

设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出4c选项.

6.B

【分析】根据辅助角公式得出f(x)=2V3siiix+acosx=>J12+a2sin(x+0),即可根据对称轴

列式得出。的值，即可得出=4sin[+小，根据已知得出(占J(xJ)与&J(马))关于

TT

对称中心对称，即可列式得出国+%=21b后eZ,即可得出答案.

【详解】/(x)=2V3sinx+acosx=712+a2sin(x+0),其中tan0=,

函数/(x)图象的一条对称轴为x=2，

则/[耳]=sin?+acos7=±\/12+/,解得：a=2,

则标不=4，tanO=",即0=2，

36

故〃x)=4sin[x+7],

•.■/(x1)+/(x2)=o,且函数〃x)在区间(X”xj上具有单调性,

•••(尤1J(占))与仁,/仁))关于对称中心对称,

答案第2页，共13页

,Xl+~6+X1+6_，,7,解得西+%=2左万一/水€2,

..—KTlL3

则上=0时,|西+马扁=一?=1^,

故选：B.

7.A

【分析】用刀,7万分别表示出丽，丽，结合已知。尸=而，可得益.五5=6，然后进行

数量积的运算即可得出而.而.

【详解】因为而=反+而=万一1而，

3

-----2(►1>\2------，22--------►1----►2

所以Z)尸=AB——AD=AB——ABAD+-AD，

\--------3------)3--------------9

2—►►一

即13=16—]/瓦4。+1,解得/瓦/。=6,

又而二丽+而二一万+-通,

23

所以

EF-DF=AB--AD]-]-AB+，2^AD\=]-AB+^ABAD-2

{3JU3J229

=-X42+-X6--X32=9,

229

故选：A.

8.C

31

【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定4〃的关系，即77+丁=1，可

4244

13

得丸——=2+--4,再利用基本不等式求最值即可.

【详解】由条件可得益=方+而=通+'前二方+L闲一方上法+尢，

44、744

AM=A^AB,~AN=juAC,A>0,//>0,

—»3——»1—►

AD=——AM+——AN,

444〃

因为三点共线，

——十——

4A4〃

答案第3页，共13页

13

•.，丸〉0,4>0,——4—>0,

JLIZ

A>-,贝|4_工=4_（4_3]=；1+1_42275_4；

4//yAJ2

当且仅当％==,即2=6时取等号，

A

故丸-，的最小值是2百-4;

故选：C.

9.AD

【分析】先用三角恒等变换得到/（X）=-：QCOSX+11,进而求出函数最大值，得到“X）在

27171

上单调递减，判断出AB选项，》=几为对称轴，判断C选项；以及平移后的解

36

析式，判断D选项.

X331

【详解】/（x）=2-3cos2—=2--（cosx+1）=--cosx+—,

所以函数/（%）的最大值为2,所以A选项正确.

因为函数kcosx在区间-g/7T-巳7T上单调递增，所以函数“X）在-g/7T-7巳T上单调递减,

所以B选项不正确.

当X=7t时，/（7t）=2,所以X=7T为对称轴，所以C选项不正确.

函数“X）的图像向左平移g个单位长度得到函数昨-：cosH+；=；（3sinx+1）的图

像，所以D选项正确.

故选：AD.

10.ABD

【分析】对A：根据向量共线分析运算；对B：根据向量垂直运算求解；对C：根据单位向

量分析运算；对D：根据投影向量分析运算.

r?r?rr

【详解】由题意可得：a-b=l,a'b=0»

uuuinum

对A：若点。在线段45上，则="。，左e[l,+8）,则

Xa+2b=k^a+^-\）b^=ka+k^X-\）b,

\k=X

可得彳上（丸_]）_2，解得左=丸=2或左=丸=一1（舍去），故A正确；

答案第4页，共13页

对B：由4glzC,可得

uuruuurzrrrrnr2rrr2

4B2C=(；IQ+町［a+(4—1》卜加+02_2+2卜b+24—18=32-2=0,

2

解得4=5,故B正确；

对C：当4=1时，则圈=5+斗J"如2=$2+D+#=6,

与商共线的单位向量是土故c错误;

对D：当4=-1时，可得

ruurr/rr、r2rriuuurfrirnrr7

AC=a-(a-2b\=a-2a-b=\AACa-4。力+46

则Z在/上的投影向量为

UUULIUUULUUULInum

/|r.ruuuraACAC5;IUUDTirN

,

ILzcos<a,AC>jr™7-r［i匚ri|||UUioU|i|iUuUunUrTi|==,UUUTi：-AC=-a-

「％］网网明555故D正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】由向量数量积的几何意义有益.戈=泥2,结合已知即可判断A；若。为中点,

根据已知有。，尸，。共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得

PC(PA+PB)=-2\PC\\Pd\,结合基本不等式求范围判断D.

1111T1TUITUUIToLILlUlLILUL1LIUI

【详解】由/BZC=/C，又斜边N3=2,贝lJ|/C|e(0,2),则48.4Ce(0,4),A正确；

uur]uur

若。为中点，则/。=:48,故N?=sin2。.而+cos2。.就，又sin?O+cos?0=1,

2

所以O,尸,C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1,又。是“3C的外心，B正确，C错误;

由上万+丽=2而，则京♦(西+丽)=2定•丽=-2]定||丽

X|PC|+|PO|=|OC|=1,HlJIPCIIPO|<(|fC|+|fQ|)2=^,当且仅当斥|=|南=；等号成立,

242

答案第5页，共13页

所以立必+面=-2西||而归-g,0],D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：若。为N5中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数

量积的几何意义和运算律判断尸轨迹，求关.关、PC(PA+PB).

12.一/0.5

2

【分析】利用图象，结合向量的线性运算法则确定向量砺，而，丽的关系，再结合数量积的

性质由条件求布•瓦.

【详解】因为瓦尸分别是边的中点，

所以羽=丽，CF=FB，

y-AB=AE+EF+FB»CD=CF+FE+~ED»

所以益-丽=丽-丽=2万，

所以(莉-丽0丽/，

所以罚•万一2万•丽+丽・丽=4丽•丽，

又AB=C,，EF=\,CZ)=V3,

所以同=收，同=1,|西=5

所以2-2万0+3=4，

—.—.1

所以4氏。。=—,

2

故答案为：y.

13.1

答案第6页，共13页

【分析】设等边“8C的外心为。，由题意得到8、。、M三点共线，且8。=20M=1,再

^PBPM=(OB-OP)-(OM-OP),利用数量积的运算求解.

【详解】解：如图，设等边“3C的外心为O,又半径为1,且“是“3C的边NC的中点,

:.B、0、M三点共线，S.BO=2OM=1,

PBPM=(OB-OP)-(OM-OP)=OB-OM-OP(OB+OM)+OP2=lx|x(-l)-O?-(O5-1oS)+l,

=---OPOB=---cos<OPX)B>

2222

又〈曲面＞e[0/],

.,.当(而，砺＞=z时，~PB-~PM的最大值为:-；x(-l)=l.

故答案为：1

14.1—正

2

兀

【分析】由周期范围求得。的范围，由图像最高点求解。与b值，可得函数解析式，则/

可求.

JT

【详解】函数/(1)=3(如+§)+仪0>0)的最小正周期为7,

27r327r34

则7=——,由兀<T<一兀，得兀<——<—71,:.—<a)<2

02。23f

因为(兀,2)是y=/(x)图象的一个最高点，则b=l

且cos[河+]]+1=2,贝I]0兀+1=2左兀,左£Z

co-...F2k,左£Z,取k=\,可得。,

33

所以/(x)=cos[x+m)+l,

rmi,1兀、(5兀兀[361

贝U/—=cos—X—+—+l=cos—兀+1=----F1.

[4[34342

答案第7页，共13页

故答案为：1-变

2

15.（1）-；（2）—.

25

【分析】（1）可设〃+2否=2囚+行），可得出关于2、左的方程组，解出这两个未知数即

可得解；

（2）计算出＞（。+可、|。+陷的值，利用平面向量的数量积可求得Z与2+5的夹角的余弦

值.

【详解】（1）若《Z+2B与弓+而共线，则存在几，使得左£+2[=力（3"+病）

艮(上一32)2+(2-42)3=6,

一一九一34二0?3

又因为向量q与b不共线，所以。二八，解得；，所以左

z-4Z=0732

iK=—

[2

(2)a-Z>=|fl|-|^|cos0=3X2A/2—彳=-6,

|a+Z>|=a+2a-b+b=-9-12+8=y/~5,

—7a-{a+b\a+a-b9-6y/5

cos<a,a+b>-尸厂产一^r=产|百~k==——

<7'«+b\a<7+/?3jr55

16.(1)14；(2)是.

【分析】法一：（1）由题意及图形，可把向量而用两个向量静，衣的表示出来，再利用数

量积的公式求出数量积;

（2）将向量荏用石与瓦表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确

定是否是一个常数;

法二：（1）由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的

坐标，由向量坐标的定义式求出茄,3的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积;

（2）设E点坐标为（0,耳5/0）,表示出向量次的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数

量积即可.

答案第8页，共13页

【详解】法1：（1）由已知可得五5万+就），CB=AB-AC>

.•.而旗=:（万+可.用一硝=共存一就2）=；（64-36）=14,

（2）次•赤的值为一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D,E为L上异于

D的任意一点,

:.DECB^O>

故：AE-CB=^AD+~DE^-CB=AD-CB+75E-CB=AD-CB'=14

解法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求

此时=(，-甘］,赤=(-10,0),ZD-C3=-1X(-10)+|-yjxO=14

（2）设E点坐标为（0,了乂了w0）,

724

AE=『一彳

24

...2E-CS=-1X(-IO)+Kx0=14(常数).

【点睛】本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的

坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.

17.(1),+3,x\x=kji-^,keZ

22

7C,5兀J/1r\

(2)------FATT,-----Fku(kwZ)7

171212、

473-3

(3)cos/=

10

【分析】（1）由向量和三角函数公式可得/（X）=¥COS（2X+：）+5,可得最大值和x取值的

集合；

（2）42hi<2x+-<2A：7r+7i,解不等式即可得到单调减区间；

6

7T

（3）由题意以及同角三角函数基本关系可得sinS,再由前面所求可得C=；,代入

cosA=cos（--B）=-^-cosB+^sinB，计算可得答案.

322

答案第9页，共13页

、、

【详解】(1)因为向量加=cos2x,n=1,且如」a

22J22J

所以

/（X）=m-«=cos2x++-cos2x-^sinxcosx

442

1

=-cos2x-旦山+L

4422

故当cos(2x+R71=l时，函数/*)取最大值为'立jrjr

,止匕时2x+—=2E,解得x=E-----

I6；22612

k£Z,

故函数/⑴的最大值为；+等,取得最大值时X取值的集合为=左ez1.

(2)由(1)知，/(x)=等[兀71）1TT

COS2xH-----H--------,令2kji<2x+—<Ikit+ji,

626

71571

解得-五+五+痴，所以函数八%)的单调减区间-—+fei,-+hr（左EZ）；

1212v）

3

(3)因为A,B,C为锐角三角形48c的三个内角，且cos8=g,

4

所以sinB二.,

V3711

由〃c)=一;，可得cosf2C+—|+—=—,BPcosf2C+-^-一,

26242

,十C-71LLt、I兀兀7兀71571AT7/Q兀

由于0<。<彳，—<2C+—<,故2C+7=L，解得。=彳，

2666663

cosf--5=cos—cosS+sin—sin5=--cosB+—sin8=4^~3

所以cosA=

I3332210

即

10

3

18.⑴5

⑵亚

7A/27

(3)存在,

6’4

【分析】(1)利用向量数量积的公式化简函数/(x)即可.

(2)求出函数/(x)的表达式,利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可.

(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.

答案第10页，共13页

【详解】（1）

=cos(竽+5)=cos2x,

当机=0时，/(x)=(7•6+1=cos2x+1,

ri//兀、Ac兀11兀13

则,0=叫2x7J+l=cos§+l=5；

/、兀兀

(2)xe-y,—,

cosx>0,

.，・卜+B卜J2+2cos2x="cos2'=2cosx,

则/（x）=cos2x-2mcosx+1=2cos2x-2mcosx,

令，=cosx,贝!

2

ill

则y=2t2-2mt,对称轴，=金,

①当5＜；，即加＜1时，

113

当％=5时，函数取得最小值，此时最小值y-冽=-1，得加=5（舍），

②当竺＜1,即IV加＜2时，

22

2

当;3时，函数取得最小值，止匕时最小值y=-工=-1,得"-友或-血（舍去）,

22

③当言＞1,即冽＞2时，

3

当，=1时，函数取得最小值，此时最小值歹=2-2冽=-1,得加=5（舍），

综上：若/（x）的最小值为-1,则实数…行.

/「、人/\。2。242八,曰3m_p.4m

（3）令之x=2cosx-2mcosx+——m=0,得cosx=——或——,

v74977

.••方程cosx=^或多在xe上有四个不同的实根，

"

独7

2<<<<-

--3

a7

-网77

则

解

<<-贝■

2-<-<=7762<m<

747-4-

独

犯o

4

77

答案第11页，共13页

7727

即实数加的取值范围是

~6~'4

19.(1)1

⑵方应e[2拒-2,1]

⑶6一平

【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得万•质的值.

7T———

（2）设=0,-,求得力.而关于tanc的表达式，进而求得不.而的取值范

围.

（3）设|万卜。，|福卜6,将3x+6了表示为关于