福建省龙岩市上杭县东南片区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

上杭县2023-2024第二学期片区半期联考

八年级（下）期中数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题（每小题4分，共10小题40分）

1.（4分）下列二次根式中，为最简二次根式的是（）

A.GB.C.V8D.V6

2.（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.4,4,5C.6,8,11D.7,24,25

3.（4分）关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对

边相等；④两条对角线相等.以上四种条件中，可以判定四边形4BC0是平行四边形的有（）

A.①②③④B.①③④C.①②D.③④

4.（4分）下列计算正确的是（）

A,243+472=^/5B,V（-5）2=-5c.5-*72=572D,收+«=3

5.（4分）如图，在JBCD中，已知AD=5cm,AB=3cm,AE平分/BA。交BC边于点E,则EC等于（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.4cm

6.（4分）已知RtZXABC中，ZC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则由△

ABC的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

7.（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，以A

为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点。，则CD的长为（）

A.遍B.0.8C.3-遍D.V13

8.（4分）一根旗杆在离地面3米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（

A.5米B.7米C.8米D.9米

9.（4分）如图，菱形ABCD的面积为24cm2,对角线B。长6cm，点。为BD

的中点，过点A作AE_LBC交CB的延长线于点E,连接OE,则线段OE的

长度是（）

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

1

10.（4分）如图，正方形ABC。中，对角线AC、B。交于点。，折叠正方形纸片，使A。落在上，点A恰

好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB.AC于点E、G,连接GF,给出下列结论，其中正确的个

数有（）

①NAGD=110.5°；②SMGD=SAOGD;

OF齿

③四边形AEFG是菱形；（4）BF~.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

1L（4分）使二次根式/启有意义的x的取值范围是

12.（4分）在四边形ABCD中，AD=BC,要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可

以是.（只要填写一种情况）

13.（4分）若实数m、"满足|m-3|+47=0,且m、力恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜

边长为.

14.（4分）如图，每个小正方形的边长为1,在△ABC中，点。为AB的中点，则线段CD的长

为.

15.（4分）如图，正方形ABCD的面积是2,E,F,P分别是AB,BC,AC上的动点，PE+PF的最小值等

于.

16.（4分）如图，正方形ABCD边长为4,对角线AC上有一动点P,过P作PE_LPC于E,PF_LAB于F,连接

EF,则EF的最小值为

三.解答题（共9小题，满分86分）

2

17.（8分）计算：（病-遍）4-

18.（8分）如图，S8CD中，点E,F分别在BC,AD1.,且AF=CE,求证：AE=CF.

19.（8分）先化简，再求值：（2x+l）2+（x+2）（%-2）-4x（x+1）,其中x=3限

2

20.（8分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km加（约为

19.4m/s）.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的

正前方40m的C处（即AC=40m）,过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m,

问：这辆小汽车超速了吗？

小汽车小汽车

5®-,-.............

、''、、、：

、、I

、、I

、、■

-------------7=

观测点

21.（8分）图1,图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1,各个小正方形的顶点叫做格点，请在下

面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上.

（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；

（2）画一个直角三角形，且三边长为遥，2、底5,并直接写出这个三角形的面积.

22.（10分）有一块四边形草地ABCO（如图），测得AB=AO=10m,CD=26m,BC=24m,NA=60°.

（1）求N/WC的度数；

（2）求四边形草地ABC。的面积.

23.（10分）在正方形ABC。中，对角线B。所在的直线上有两点E、F

BC

3

满足BE=OF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.

(1)求证：△ABEGLADF；

(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

24.(12分)如图，△ABC中，点。是边AC上一个动点，过。作直线MN〃BC.设MN交/ACB的平分线于

点E,交N4CB的外角平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求0C的长；

(3)当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

BC.D

25.(14分)如图1,在正方形48C0中，P是对角线B。上的一点,点E在/W的延长线上，且R4=PE,PE交

CD于F.

(1)证明：PC=PE；

(2)求/CPE的度数；

(3)如图2,把正方形ABC。改为菱形A8CO,其他条件不变，当NA8C=120°时，连接CE,试探究线段

AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

A「DEW

BCBC

图1图2

4

上杭县2023-2024第二学期片区半期联考八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（每小题4分，共10小题40分）

1.（4分）下列二次根式中，为最简二次根式的是（）

A.gB.C.V8D.V6

【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断.

IT退_

【解答】解：仁_丫2=2,故A不符合题意；

[122^

8、V5=5,故B不符合题意；

C、我=2'v历，故C不符合题意；

D、遍是最简二次根式，故。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

2.（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.4,4,5C.6,8,11D.7,24,25

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题.

【解答】解：：22+32/42,故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，故选项A不符合题意；

V42+42#52,故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；

V62+82^ll2,故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；

•••72+242=252,故选项。中的三条线段能构成直角三角形，故选项。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.

3.（4分）关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对

边相等；④两条对角线相等.以上四种条件中，可以判定四边形ABC。是平行四边形的有（）

A.①②③④B.①③④C.①②D.③④

【分析】由平行四边形的判定定理得出①和②能判定四边形ABC。是平行四边形；③和④不一定能判定

四边形ABCD是平行四边形；即可得出结论.

【解答】解：,••两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

；・①能判定；

5

•.•一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

•••②能判定；

•..一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，

，③不一定能；

;两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，

④不一定能；

以上四种条件中，可以判定四边形ABC。是平行四边形的有①②；

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，不能进行推理论证是解决

问题的关键.

4.（4分）下列计算正确的是（）

2

A,273+472=6>/5B,V（-5）=-5c.5啦D.历

【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法进行计算即可求解.

【解答】解:42E与4、历不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意；

B.I（-5）2=5,原计算错误，不符合题意；

C.5与加，不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意；

D.V27-rV3=3,正确，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法

则是解题的关键.

5.（4分）如图，在口ABCD中，已知AD=5cm,AB=3cm,AE平分/BAD交BC边于点E,则EC等于（）

\_____________7D

BEC

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角,进而得到等腰三角形，推得AB=BE,

根据A。、的值，求出EC的长.

【解答】解：：AD〃BC,

:./DAE=/BEA,

6

平分/BA。,

：.ZBAE=ZDAE,

：.ZBAE=ZBEA,

BE=AB=3cm,

BC=AD=5cm,

：.EC=BC-BE=5-3=2cm,

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，

一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.

6.（4分）已知RtZkABC中，ZC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rtz^ABC的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

【分析】要求RtZVIBC的面积，只需求出两条直角边的乘积.根据勾股定理，得。2+/=©2=100.根据勾

股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积.

【解答】解：：a+b=14

/.（a+b）2=196

：.2ab=196-（a2+b2）=96

/.2ab=24.

故选：A.

【点评】这里不要去分别求a,b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理.

7.（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点4B,C都在格点上，以A为圆心，4B为半径画弧,

交最上方的网格线于点D,则CD的长为（）

A.遍B.0.8C.3-遍D.713

【分析】连接A。，由勾股定理求出。E,即可得出C。的长.

【解答】解：如图，连接A。，贝l」AD=AB=3,

由勾股定理可得，RtZvWE中，DE=YAD2-AE"=人,

又：CE=3,

.".CD=3-遍,

【点评】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出0E是解决问题的关键.

8.（4分）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（）

A.5米B.7米C.8米D.9米

【分析】如图，由题意，AC±BC,AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB,求出AB即

可解决问题.

【解答】解：如图，由题意，AC1BC,AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB.

-AB=VAC2+BC2=VS2+42=5（米），

二旗杆折断之前的高度高度=AC+/»B=3+5=8（米），

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确画出图形，运用勾股定理解决问题，属

于中考常考题型.

9.（4分）如图，菱形ABC。的面积为24cm2,对角线B。长6cm,点。为B。的中点，过点A作AJBC交CB

的延长线于点E,连接。£,则线段0E的长度是（）

D

丁

E

B

8

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

【分析】由菱形的性质得出BD=6cm,由菱形的面积得出AC=8cm,再由直角三角形斜边上的中线性质即

可得出结果.

【解答】解：：四边形ABCD是菱形，

BDLAC,

BD=E>cm,S菱形4BCD=iACXBO=24cm2,

2

.".AC=8cm,

'：AE±BC,

：.ZAEC=90°,

0E——AC—4cm,

2

故选：B.

【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

10.（4分）如图，正方形ABC。中，对角线AC、B。交于点。，折叠正方形纸片，使A。落在3。上，点A恰

好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB.AC于点E、G,连接GF,给出下列结论，其中正确的个

数有（）

①/AGD=110.5。；

（2）SAZ（GD=SAOGD;

③四边形AEFG是菱形；

0F二企

@BF

月氏-----------3

---------------------%

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得/GAD=/ADO=45°,又由折叠的性质，可求得NADG的度

数，从而求得NAGD；

②证△AEGgz^FEG得AG=FG,由FG>OG即可得；

③由折叠的性质与平行线的性质，易得AAEG是等腰三角形，由AE=FE、AG=FG即可得证；

④设OF=a,先求得/EFG=45°,从而知BF=EF=GF=®OF.

9

【解答】解：：四边形ABC。是正方形，

：.ZGAD=ZAD0=^5°,

由折叠的性质可得：/ADG=2/400=22.5°,

NAGO=180°-ZGAD-ZZ»DG=112.5°,

故①错误.

由折叠的性质可得：AE=EF,/EFD=NEAD=90°,

在△AEG和^FEG中，

'AE=FE

<ZAEG=ZFEG

•••EG=EG,

；.Z\AEG义AFEG(SAS),

：.AG=FG,

在RtZiGOF中，：4G=FG>G。，

，SAAGD>SAOGD，故②错误；

VZAGE=ZGAD+ZADG^67.5°=ZAED,

：.AE=AG,

又AE=FE、AG=FG,

：.AE=EF=GF=AG,

.•.四边形AEFG是菱形，故③正确；

设OF=a,

:四边形AEFG是菱形，且N4ED=67.5°,

：.ZFEG=ZFGE=67.5°,

/.ZEFG=45°,

又/EFO=90°,

NGFO=45°,

GF=EF=Ma,

"：ZEFO=90°,ZEBF=45°,

：.BF=EF=GF=Ma,即BF=V^OF,

OFV2

故④正确；

10

故选：B.

【点评】此题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.此

题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.

二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11.（4分）使二次根式JTN有意义的x的取值范围是x24.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【解答】解:由题意得，x-420,

解得，x24,

故答案为：x\4.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.

12.（4分）在四边形A8C0中，AD=BC,要使四边形ABC。是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可

以是AB=CD或等.（只要填写一种情况）

【分析】直接利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相

等的四边形是平行四边形，进而得出答案.

【解答】解：；在四边形ABC。中，AD=BC,要使四边形ABC。是平行四边形，

还需添加一个条件，这个条件可以是：AB=C。或AO〃BC等.

故答案为：AB=C。或AO〃BC等.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键.

13.（4分）若实数m、“满足|m-3|+而i=0,且m、”恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜

边长为5或4.

【分析】利用非负数的性质求出m,“即可解决问题.

【解答】解：：|m-3|+47=0,

又：-3|20,

.*.777=3,77=4,

①当m,"是直角边时，

.♦.直角三角形的斜边=布互/=5,

②当m=4是斜边时，斜边为4,

故答案为5或4.

【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

11

14.（4分）如图，每个小正方形的边长为1,在AABC中，点。为AB的中点，则线段C。的长为运.

2

【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC,再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根

据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.

【解答】解：根据勾股定理，AB=y/12+52=^,

BC=^22+22=2\[2，

AC=A/S2+33=3企，

'：AC2+BC2=AB2=2E>,

.•.△ABC是直角三角形，

:点。为的中点，

.".CD=AAB=AXV26=2/26_.

222

故答案为：运.

2

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，

判断出AABC是直角三角形是解题的关键.

15.（4分）如图，正方形ABCD的面积是2,E,F,P分别是AB,BC,AC上的动点，PE+PF的最小值等于

【分析】过点P作/VW〃八。交AB于点M,交CD于点、N,根据正方形的性质可得出且PMWPE、

PNWPF,由此即可得出AOWPE+PF,再由正方形的面积为2即可得出结论.

【解答】解：过点P作MN〃A。交AB于点M,交CD于点N,如图所示.

:四边形ABCD为正方形，

/.MN±AB,

12

；.PMWPE（当PE_LAB时取等号），PNWPF（当PF_LBC时取等号）,

MN=AD=PM+PNWPE+PF,

:正方形ABC。的面积是2,

：.AD=y[2-

故答案为：V2.

【点评】本题考查了正方形的性质，解题的关键是找出ADWPE+PF.本题属于中档题，难度不大，解决该

题型题目时，根据正方形的性质找出PE+PF最小时，三点的位置关系是关键.

16.（4分）如图，正方形ABCD边长为4,对角线AC上有一动点P,过P作PE_LPC于E,PF_LAB于F,连接

EF,则EF的最小值为2,为.

【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和B。的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是

矩形，可得FE=BP,即EF的最小值为BP的最小值为2-J2-

【解答】解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，

.四边形A8C。是正方形，

；.BO_LAC于点P,

:正方形A8C0边长为4,

6P=ABD=-1X4./2=2A/2，

22

VPELBC,PF±AB,AB1BC,

.,•四边形BEPF是矩形，

：.FE=BP,

:.EF的最小值为BP的最小值为2我，

故答案为：2、历.

13

【点评】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题

的关键.

三.解答题（共9小题，满分。分）

17.计算:（V24-V6）+«+栏

【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可.

【解答】解:原式=亚4两--府沔+返_

2

=2加-扬亚

2

=3—

2

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运

算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的

解题途径，往往能事半功倍.

18.如图，口ABCD中，点E,F分另（］在BC,A。上，且AF=CE,求证：AE=CF.

【分析】由四边形ABC。是平行四边形，可得AF〃CE,又AF=CE,所以四边形4ECF是平行四边形.则该

平行四边形的对边相等：AE=CF.

【解答】证明：：四边形ABC。是平行四边形，；.AO〃BC,

：.AF//CE.

又,：AF=CE,

四边形4ECF是平行四边形，

：.AE^CF.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们

之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

19.先化简，再求值：（2x+l）2+（x+2）（x-2）-4x（x+1）,其中

2

【分析】利用完全平方公式，平方差公式和整式的乘法计算得出结果，进一步化简代入求值即可.

【解答】解：原式=4X2+4X+1+X2-4-4X2-4X

—x2-3；

14

当x=£叵时，

2_

原式=(W1-)2_3=幺-3=里

244

【点评】此题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式及二次根式的乘方

等知识，注意正确利用计算公式先计算化简，再代入求得数值即可.

20.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km"(约为19.4m/s).如

图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的

C处(即AC=40m),过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m,问：这辆小汽

车超速了吗？

小汽车小汽车

B<»-..............■℃

一

观洌I点

【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边

AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC,那么可求出小汽车的速度，然后

再判断是否超速了.

【解答】解：在RtZkABC中，AC=40m,AB=50m；

据勾股定理可得：BC=1(/AB2-AC2=VS02-402=30())

小汽车的速度为i/=W'=15(m/s),

2

V15m/s<19.4m/s；

这辆小汽车没有超速行驶.

答：这辆小汽车没有超速了.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，根据示意图.领

会数形结合的思想的应用.

21.图1,图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1,各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网

格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上.

(1)画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；

(2)画一个直角三角形，且三边长为泥，2遍，5,并直接写出这个三角形的面

15

【分析】（1）根据题意画出等腰三角形即可；

（2）根据题意画出直角三角形即可，然后根据三角形的面积公式求得结论.

【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；

（2）如图所示，ZiDEF即为所求;

【点评】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质以及勾股定理及作图，属于基础题，熟练掌握等

腰三角形的性质是关键.

22.有一块四边形草地48C。（如图），测得=CD=26m,8C=24m,NA=60°.

（1）求/ABC的度数；

（2）求四边形草地ABC。的面积.

【分析】（1）连接B。，可得△ABD是等边三角形，勾股定理的逆定理证明ADBC是直角三角形，且NCB。

=90°,即可求解；

（2）过。作。E_LAB于B,求得DE的长，进而根据四边形草地ABC。的面积=SZXABD+S"CD即可求解.

【解答】解：（1）连接BD,

16

\'AB=AD=10m,4=60°.

△ABD是等边三角形，

/.BD=AB=10m,ZABD=60a,

在△BCD中，BD=10m,CD=26m,BC=24m,

"：BD2+BC2=102+242=262=CD2,

.♦.△OBC是直角三角形，且/CBO=90°,

/.ZABC=ZABD+ZCBD^lE>0°；

（2）过D作OEJ_AB于B,

"：AD=BD,

""-AE=BE=yAB=5（曲，

DE=VAD2+AE2=5V3（M）'

，四边形草地ABCD的面积=SMBO+SMCO=/AB-DE寺&BD=/x10X5«蒋X24X10

（120+25日）（病），

答：四边形草地ABC。的面积为（120+25）rn2.

【点评】本题考查了的等边三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是

解题的关键.

23.在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.

(1)求证："BE0AADF；

(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;

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(2)四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;

【解答】证明：(1)•.•正方形ABC。，

：.AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

：./ABE=/ADF,

^£^ABE^AADF中

rAB=AD

<NABE=/ADF，

BE=DF

1△ABE组4ADF(SAS)；

四边形AECF是菱形.

理由：..,正方形ABC。，

：.OA=OC,OB=OD,AC±EF,

：.OB+BE^OD+DF,

即OE=OF,

：OA=OC,OE=OF,

四边形AECF是平行四边形，

"：AC±EF,

...四边形AECF是菱形.

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型.

24.如图，ZVlBC中，点。是边AC上一个动点，过。作直线MN〃BC.设MN交/4C8的平分线于点E,交

ZACB的外角平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求0C的长；

(3)当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

18

A

M

【分析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出/1=N2,N3=/4,进而得出答案；

(2)根据已知得出/2+/4=/5+/6=90°,进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出C。的长;

(3)根据平行四边形的