河北省2023-2024学年高三年级上册大数据应用调研联合测评数学试题及答案

绝密★启用前

河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评

皿1、、九

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的

%-J-2

1.设全集U=R,集合A=---->0卜8={削茗,1},则Ac（aB）=（）

A.{x|-2,,x<l}B.{x[-2<%,1}C.{x|x<-2]D.{x|x>1}

2.若复数z=l+i2°23（i为虚数单位），则复数z2—2在复平面上对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5

3.已知向量a,。=（一1,月），则向量c在向量4―人上的投影向量为（

51s

4.设S”是等差数列{q}的前〃项和，若U=则《&=（）

）10J》20

3333

A.―B.—C.—D.—

7101114

5.高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享

盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[司，是指不超过实数》的最大整数，例如

[6,8]=6,[-4.1]=-5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数

2

/（x）=log2（-x+x+2）,则当xw[0』时，[〃切的值域为（）

A.[*]C.{1}D.{2}

6.在正方体ABCD-ABCR的棱长为2,G为线段上的动点，则点B到平面GA。距离的最小值为

（）

A.lB.行C.石D.2

X

7.设实数。＞0,若不等式ae"'-L.ln—对任意x＞0恒成立，则。的最小值为（）

e

C11

A.eB.2eC.—D.—

e2e

IT

8.已知耳,B是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且二月。鸟二1，若椭圆的离心率为

G，双曲线的离心率为02,则告J+言§的最小值是（）

A…B5C.空D.逑

3333

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论中正确的有（）

A.数据n,20,14,17,26,27,9,29,15,30,4的第75百分位数为30

B.己知随机变量X服从二项分布若E（2X—1）=7,则〃=6

C.已知回归直线方程为y=W+9,若样本中心为（一3,24）,贝加=—5

D.若变量x和丁之间的样本相关系数为r=0.9989，则变量％和y之间的正相关性很小

10.已知函数/（x）=4211（。》+。“。〉0,附＜曰的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A.（p=:函数/（X）的最小正周期为兀

小+:卜也可）的解为n

C.方程〃x)=sin

11.已知抛物线。：9=2加（夕>0）的焦点为/，准线与x轴的交点为"，过点〃且斜率为左的直线/与抛

物线C交于两个不同的点AB,则下列说法正确的有（）

A.当p=2,左=g时，|K4|+|FB|=16

B.^e（-l,l）

C.若直线AF,BF的倾斜角分别为a,/3,则。+尸=兀

D.若点A关于％轴的对称点为点4,则直线A5必恒过定点

12

12.已知函数/z（x）=—xe'+J,若函数g（x）=：ex+2x—1的图象与/z（x）的图象有两个不同的交点，则实

数。的可能取值为（）

,1

A.-3B.In—C.In2D.3

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知tana=3,则sin12«+j+sin（2tz-7t）=.

14.已知函数丁=优-2+3（”>0,且。/1）的图象恒过定点A,若点A在直线初x+“y=2上，其中

2I

m>Q,n>Q,则—+一的最小值为.

m3n

15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导

运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种

安排方案.（用数字作答）

16.如图所示，已知正方体ABC。—A4GD1的棱长为2,点〃在。。上，且DM=也，动点P在正方形

A3CD内运动（含边界），若1Apl=6，则当14pl取得最小值时，三棱锥用外接球的半径为

D,£

AB

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知数列｛4｝满足3+||+今++$■=〃.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

1

（2）若a=log2%,求数列＜，的前〃项和.

“也+1.

18.（本小题满分12分）在A3C中，角C的平分线与边A3交于点。，且满足1—c0s2'=sm2'

cosA1+sinA

（1）若AB=gAC，求角C；

(2)若CD=2,求证:

19.（本小题满分12分）如图1,已知正三角形ABC边长为4,其中AD=3DB,AE=3EC,现沿着。石翻

折，将点A翻折到点4处，使得平面A5CL平面。5cM为A'C中点，如图2.

（1）求异面直线AO与所成角的余弦值；

（2）求平面A'BC与平面DEM夹角的余弦值.

20.（本小题满分12分）已知函数/+私〃为常数，过曲线y=/（x）上一点

P（0,l）处的切线与丁轴垂直.

（1）求“7，”的值及"X）的单调递增区间；

（2）若对任意的小使得|/（七）一/（々）|”e—1（e是自然对数的底数）恒成立，求实数。的

取值范围.

22

21.（本小题满分12分）己知椭圆石：=+与=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，弓，左、右顶点分别为

a~b~

A，4,若以耳为圆心，i为半径的圆与以F2为圆心，3为半径的圆相交于两点，若椭圆后经过A3

3

两点，且直线9,电的斜率之积为-一.

4

（1）求椭圆E的方程；

（2）点P是直线/：x=4上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为",N.

①求证直线MN恒过定点，并求出此定点；

②求面积的最小值.

22.（本小题满分12分）在信息论中，嫡（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信

息崎、信源燧、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.（燧最好理解为不确

定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的燧越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这

里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（燧）

定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个

随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熠）.嫡的单位通常为比特，但也用Sh、

nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投

掷一次硬币提供了ISh的信息，而掷加次就为机位.更一般地，你需要用log?几位来表示一个可以取几个值的

变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的嫡，引入到信息论，因此它又被称为香农滴.而正是信息

嫡的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦

克斯韦妖理论被推翻.设随机变量J所有取值为1,2,,n,定义J的信息嫡

-型电小型=1"=1,2,,n•

VZ=17

（1）若71=2,试探索J的信息嫡关于4的解析式，并求其最大值；

（2）若邛=6=亍、,月+1=2［（左=2,3,,〃），求此时的信息燧.

数学参考答案及解析

题号123456789101112

答案DCABCBCABCBCDACDCD

1.【答案】D

无+2

【解析】由不等式——>0,等价于(x+2)(x—1)>0,解得X<—2或X>1,因为3=口.1},所以

X-1

g3={x|x>l},所以Ac(65)={削1>1}.故选口.

2.【答案】C

【解析】因为z=l+F°23=l—i，所以z2—2=—2i—2在复平面上对应的点为(一2,—2),该点在第三象限.故

3.【答案】A

c-\d-b1

【解析】a—方=0,6)，又4=(—1,b),二。在向量d—万上的投影向量为a-b

(a-b)22

.故选A.

4.【答案】B

【解析】因为s“是等差数列{4}的前〃项和，所以S5,—S5,S15—S10,S20-S15,...是等差数歹!J.

S,1/、

由”=可可设S5=f(fH0),则Sio=3r,于是项,h。—S5，S15—Sio,Szo—几,…依次为,所

»103

S20=t+2t+3t+4t=10t,所以《电=布.故选B.

、201U

5.【答案】C

【解析】由—/+%+2>0,得(x+l)(x—2)<0,解得—l<x<2,则/(x)的定义域为以―l<x<2},

当xe［0,l］时，令/=—必+%+2，函数y=—必+%+2在0,；上单调递增，在上单调递减，又

M=log2/在(0,+")上单调递增，所以/(x)在0,1上单调递增，在1,1上单调递减，所以/'(x)的值

域为I,log2、，所以［〃力］的值域为{1}.故选C.

6.【答案】B

1114

【解析】由题意得匕U__rx.DL。J=—3XS.tAX即DU,B41=—3X—X2x2x2=一3,设点5到平面G4D的距离为/z,则由等

14

体积转化法为％YGD=§XS皿^九二匕^^二马，由图形得，当G与巴重合时，SADG最大，最大为

|X2X2A/2=2V2,此时人最小，为JL故选B.

7.【答案】C

【解析】〃龙,。依一jdnx.O(%>0)恒成立，即e^lne力.Hnx(%>0),

令s(，)=an，，则/⑺=1皿+1,

当0<1<4时,s'⑺<0,6⑺单调递减，当时,£’(/)>0,6⑺单调递增,

ee

因为a>0,尤>0,所以e网>l，

因此若时，不等式⑪⑪恒成立，则、

x>!eIne.xlnxe">》恒成立,

e

若0<M,工时，xlnxvO,匕勺口6及.1111¥恒成立，则

e如〉x也成立，

e

InY

所以当x>0时，e⑪〉x恒成立，所以得ax.lnx,即。…——,

x

设“(%)=则,/(%)=1

XJC

当0<x<e时，M(x)>0,"(x)单调递增,当x〉e时，M(x)<0,〃(x)单调递减,

所以“(x)max="e)=L所以a.L即正实数。的最小值为L故选C.

eee

8.【答案】A

【解析】如图，设椭圆的长半轴长为q,双曲线的实半轴长为。2,

则根据椭圆及双曲线的定义得：|正耳|+|”|=24,1^1—1/^=202，

=q+a2,\PF2\=a；—a^,设由闾=2c,^FXPF2=g,

则在P耳工中，由余弦定理得，4c2=(q+?)2+(%—42)2—2(%+42)(%—a2)COS"!，

13

化简得+3a；=4c2,即—^+w=4,

e\4

、

/、

131313)11

+2—+1+—+1x-

J+l36

7+i?+J7

e\\ei

4+134+1

ii（4+2石卜言叵

=­X4+1+・..-x

6W+i6

?+1

3Y、2

?+j=3f4+12373+4

当且仅当《14)即《:时，等号成立，故选A.

l+U+1+>"小E〉1

1q耳

9.【答案】BC

【解析】对于A项，11个数的顺序为4,9,11,14,15,17,20,26,27,29,30,11x75%=8.25,所以第75百分

位数为27,故A项错误;

（2}24

对于8项，因为所以E（X）=〃p=g〃，所以E（2X_1）=2E（X）—1=一1=7,解得

n=6,故2项正确；

对于C项，回归直线必过样本中心可得24=_36+9,解得6=—5,故。项正确；

对于。项，r为正值时，值越大，判断“％与V之间的正相关”越强，故。项不正确.故选BC.

10.【答案】BCD

/IJT57TTTTTTT

【解析】由图象知一=-------=—,即函数/（X）的最小正周期7=—=—0=2,最小正周期

28842CD

T=],=Atan12xt+o]=0,则.+夕=左兀，即0=也_.,阐＜_|,

即/(%)=Atan(2x+F),故A不正确;

「•当上=2时，(P=2TI—=—

44

/(o)=1,.,./(o)=Atan：=1,即A=l,则/(%)=tanI2%+-^-j,

71717171

则/tan2x-----b—=tan—=6,故B正确;

242443

因为/(%)=sin12%+；),即tan12%+引=sin12%+引,

44

即tan(2x+：Icos(2x+：)—1=0,

又因为tan12%+£)=0时，sin12%+?)=0,cos12x+£)=±1,

所以tan(2x+：)cos(2x+：)—1=0otan12%+：卜0,

因为尤w［0,兀I，所以12%+：•卜719兀

45T

当tan12x+；■)=0时,八JC_„_7C_._/037c,、.77T

2xH—=兀或2%H—=2兀，解得X=——或%=——，

4488

所以方程/(x)=sin[2x+^j(xe[0,7r])的解为

X=—或x=—.故C正确;

88

由/(x)=tan(2x+：J"tan1+："tan3+扑tan3安3兀,

4

tan4+讣，叩一阻兀1713Tl兀3713Tl

—<1+—<——<41----<——,

244244

4—手<1+：,且丁=1皿在，,亨］上单调递增，；."2)</［；］<1211竽=一1,

由°<3一"鼠</⑵<'故。正确•故选BCD.

11.【答案】ACD

【解析】当P=2时，抛物线方程为y2=4x,直线/:y=：(x+l),联立得/—14x+l=0,芯+%=14,

贝UlFAl+lEBlMX+W+pnld+ZnlG,故A正确；

当左=0时，直线/为X轴，和抛物线只有一个交点，故8不正确；

直线/：、=左上+々

代入y2=2p%,得女一2+%(42P则

a+/?=兀okAF+kBF=0,

则」^+3^=/I、/21(22),故C正确；

Xi~2"“小―£|“小山

因为点A关于％轴的对称点为点4,由C知，直线43与5尸的倾斜角相同，

所以A,”8三点共线，所以直线A3必恒过定点/，故。正确.故选ACD.

12.【答案】CD

2

【解析】函数g(x)=/e，+2x-1的图象与人(力的图象有两个不同的交点，则方程/i(x)=g(x)有两个不

12

同的根，即一xe*+/=—e"+2x-loxe"-2e'=-a(x-l)2(aw0)有两个不同的根，令

aa

f(x)=xex—2eA+a(x-1)2(a0),则/'(尤)=(%—1)6工+2a(x-l)=(x-l)(e*+2a).

①若a>0,当x>l时，/，(x)>0；当x<l时，/,(x)<0；

・••/(X)在(—a/)上单调递减，在(L+8)上单调递增，又/(l)=-e,/(2)=a,取实数b满足b<0且

人则有/㈤>■|(6—2)+a(Z?—l)2=a，?2一_|“〉0,所以/(%)有两个零点.

②若a<0,当a..—?x〉l时，/''(力>0"(力在(1,+8)上单调递增，当％,1时，f(x)<0,故

f(x)<0,故/(x)不存在两个零点，当"-'时，"力在(in(—2a),+。)上单调递增，在2a))

上单调递减，又当茗，1时，故/'a)<0,故/(x)不存在两个零点，综上得a>0,故选CD.

7

13.【答案】一]

【解析】因为tana=3,所以

sin[2a++sin(2a—兀)=sin[]+2a]—sin(兀-2a)=cos2a-sin2a=cos2a-sin2a-2sinacosa

_cos26r-sin26Z-2sincrcos6Z_l-tan2cr-2tancr_l-9-2x3_7

cos2cr+sin26r1+tan2cr1+95

14.【答案】8+46

3

【解析】函数y=ax~2+3(«>0且。H1)的图象恒过定点4(2,4),则2m+4n=2,:.m+2n=1,

4〃m

48+4有

2121/_X_24Hm8.

--1---二—+——(m+2n)-2H--1----1---..；—F2,，当且仅当《m3〃'即

m3nm3n3nl3n333

m+2n=1,

m=2少,n=一J---时等号成立.

2V3+22V3+2

15.【答案】540

【解析】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为1,2,3;1,1,4;2,2,2,则安排方

「i「i「4「2r2r2、

JJC4J1614c2

案有A；=(60+15+15)x6=540(种).

2!3!J

16.【答案J"40

2

【解析】连接DP，则|DP|=7|M2-|DDI|2=^4=1，所以点尸在正方形A3CD内运动轨迹为以。

为圆心，1为半径的四分之一圆弧，连接4匕贝|忸］4=|取|2+忸叫所以14Pl取得最小

值时，只需忸取得最小值即可，连接5D交圆弧于尸点，此时忸升取得最小值，贝“4日取得最小值，连

接尸加，贝I.为等腰直角三角形，DP±MP，又B&IMP,所以三棱锥用-MP3为四个面均为

直角三角形的三棱锥，则球心为4M的中点，4M为直径，则

2

\B,M\=《［BM『+网2=4CM『+|CB『+忸町=7（2-A/2）+4+4=也4-4五，所以外接球半

径尺=J14—4也

2

17.【解】⑴幺+4+4++”=〃，①

222232"

当九.2时，幺+冬+之++餐=〃-1,②

222232”T

由①-②得4=2",

又〃=1时，4=1,二.4=2,满足上式，

21

综上，an=2".

(2)bn=log2G„=n,

111_1

2".+i«(«+1)nn+\

设数列\\的前八项和为Tn,

屹也+ij

111

所以看=-----------F+■■•+

伪也4也b/b“+i

11——=」+」+1n

=----+----++H-------

1x22x3川+223n〃+1〃+ln+1'

___l-cos2Bsin2B

18.【解】---------二--------,

cosA1+sinA

1+sinA2siiiBcosB

cosA2sin2B

1+sinAcosB

即

cosAsinB'

即sinB+sinAsinfi=cosAcosB,

sinB=cos(A+B)=-cosC=sin(C-^-1,

B,CG(0,7l),.:.B=C--.

2

ABAC

(1)由正弦定理得

sinCsinB

ABsinCsinC,„®

7--------x-二—tanC=A/3

ACsinBsinfC-|

Ce(O,7i),.'.C=y

7TCB兀

(2)C=B+-,则nl一=一+—=。

2224

S.BCD+,ACD=S

ABC，

即工x2xBCxsiner+—x2xACxsina=—xBCxACxsin2o

222

所以2(5C+AC)sine=25。ACsin-cosa,

BP—+—=cos«,

BCAC

B

即cos+71

2

（其他方法正确也可给分）

19.【解】（1）取BC的中点为。,DE的中点为O',连接A'O与OO',

」正三角形ABC中，AD=3DB,AE=3EC,

3

DE幺-BC,OO'±DE,00」BC,

---立体图形由翻折可得且AE=AD,

-.A'C=A'B,。是3C的中点，

:.AO±BC,

平面ABC，平面DBC,平面ABCc平面DBC=8C,A'。u平面ABC,

二A'O，平面QBC,..A。，。0’，

以点。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

3

•,正ABC的边长为4,。吆一3C,

：.OC=OB=2,O（y=昱,连接AO',在AOO'中，40=必,

22

在，AOO'中，由勾股定理得。4'=JG，

A'D•EM00

cosAZ),EM

A'D^EM丁

ji

异面直线所成角的取值范围为0,-

•••异面直线AD与EM所成角的余弦值为眄.

5

M

/D

B

0C

(2)由⑴得4(0,0,痴),3(-2,0,0),。(2,0,0),。1-答4

、|当,。]“1,0,

E

,’3—走国

.•.JBC=(4,0,0),BA=(2,0,V6),DE=(3A0),DM=

7

易得平面A'BC的一个法向量为加=（0,1,0）,

设平面DEM的法向量为n=（苍y,z),

3x=0,

DE-n=0

则即<5V376则〃=倒,&/卜

DM-n=0一X---------VH----------Z=(J,

〔222

m-ny[6

「Jcos（加二I

m|-|nL'

•••平面A'BC与平面DEM夹角的余弦值为&

3

20.【解】(1)=max]na+2x-]na,

/.f(0)=mlna—Ina=(m—1)Ina=0,/.m=l,

又/(())=相+几=1,...〃=(),

/./(x)=ax+x2—xlna,

则/(%)=axlna+2x-ln〃=2%+(优-1)Ina,

rfx2

令g(x)=2x+(0—g(x)=2+alna>0f

在R上单调递增，又/(0)=0,

所以不等式ra)>o的解集为(o,+"),

故函数“X)的单调递增区间为(0,+“).

(备注：单调递增区间写成[0,+8)也得分)

(2)若对任意的玉,％2e[—1/],使得—e—l恒成立，

只需/(X)max—/(X)1ran”eT,

由(1)知，在(0,+“)上单调递增，在(-。,0)上单调递减，

所以当xc[—1,1]时，/3mhi="0)=1,

/(©max为/'(1)，/(T)中的最大值，

/⑴_/(T=a_：-21na,

][2(]

令h(a)=a----21na,则〃(G)=1H—-----=1—>0，

a'，aaya)

h(a\=a-—~21n«在ae(1,+“)上是增函数，而/z(l)=0,a>1,h[a)>0,

a

即"1)>〃T)，「四一/(^=/(1)-/(0)„£-1,

a-In%e-1,

对于y=a-lna,则y'=l-工>0(a>l),所以函数y=a—lna在ae(l,+oo)上是增函数，

a

所以&e,a>1,

的取值范围为(l,e].

21.【解】(1)因为圆月：(X+C)2+V=4与圆巴：Q—c)2+y2=4相交，且交点在椭圆石上,

所以2〃=2+2,〃=2,

*3

又&U,小械=_/=—7'，'=3'

22

所以椭圆石的方程为土+乙=1.

43

⑵①由⑴知椭圆右焦点耳(1,0),设“(七,%),'(%,%)，尸(4/)，

则切线PM的方程为—+—=1,

43

即35+4孙=12,点尸在直线PM上,

「.12玉+4)i=12,「.3玉+)]=3,

•,k=上k=L=L-kk=上，=/

MF°X/I,文4-13'年叫33（x「1）'

3%+成=3,「肛=3—3%=3（1—%）,

ty,3（1—x,）

代人上式得kMFkPF2=诉刁=诋m=T，

/.MF2_LPF2,同理NF2_LPF2,

所以直线MN恒过定点F2（1,0）.

②由⑴知直线MN恒过定点且（LO）,

令直线MN:x=my+1,

22

代入椭圆方程上+乙=1,

43

2

得/（3m+4）+6my-9=0,则%+%=¥，%%=a.

\/3m+