湖南省醴陵市2024年高考数学必刷试卷含解析

湖南省醴陵市2024年高考数学必刷试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合人=卜|9—2x—3<0},集合3={x|x—120},则\(AcB)=().

A.(fl)[3,-H»)B.(fl][3,+oo)

c.(-8,l)U(3,+8)D.(1,3)

、a,a..b

2.已知函数/(x)=2tan3%)3>0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为万，若定义max({a,A}=(，

[b,a<b

(JI3兀)

则函数/?(%)=max"(x),/(x)cosx}在区间1万,5J内的图象是()

2r"V*7,^9

73宣，

31T

3.在ABC中，AB=3,AC=2,44c=60。，点。，E分别在线段AB,CD上，且应>=2A。，CE=2ED,

JS!lBEAB=().

A.-3B.-6C.4D.9

4.已知数列{%}为等差数列，S“为其前〃项和，4+%-%=3,则邑=()

A.42B.21C.7D.3

5.已知集合M={刃一4(尤<2bN={,%2—左一6<0},则McN=

A.{%|-4<x<3}B.{%|-4<%<-2}C.{%|-2<%<2}D.{x|2<x<3)

6.已知空间两不同直线机、〃，两不同平面a,0,下列命题正确的是()

A.若ma且〃。，贝卜”nB.若且加_1_〃，则〃/3

C.若加_1_。且加/?,则D.若机不垂直于且“<=a,则M不垂直于“

7T

7.已知函数/(x)=Acos(2x+0)(">0)的图像向右平移豆个单位长度后，得到的图像关于V轴对称，/(0)=1,当

8

9取得最小值时，函数f(x)的解析式为()

jr

A./(%)=A/2COS(2X+5)B./(x)=cos(2x+—)

7T

C./(x)=A/2COS(2X-^-)D./(x)=cos(2x---)

4

8.已知正方体ABCD-AgGA的棱长为2,点M为棱的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面

积为()

71In4不

A.—B.—C・1D.----

333

X>1

9.已知实数x,y满足,x-y<0,则Z=/+y2的最大值等于()

x+2y-6<0

A.2B.2夜C.4D.8

10.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选

考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中

仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为3,则该班()

7级

ABCDE

科N

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是3的学生至多有12人

B.物理化学等级都是5的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为3且最高等级为B的学生至少有1人

11.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|（x+l）（x-2）<0},则集合A8的真子集的个数是（）

A.8B.7C.4D.3

12.下列命题是真命题的是（）

A.若平面戊，/，7,满足/31丫,则万；

2一

B.命题/?：V%eR>1—x<1>则！P：3x0GR,1—xj<1；

C.“命题0Vq为真，，是“命题为真”的充分不必要条件；

D.命题“若（x—1）/+1=0,则％=0”的逆否命题为：“若xwO,则（x—

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.集合A={x|尤=2左一1,左eZ},fi={l,2,3,4},则B=.

14.函数y=log..5（x2-ax+5）在区间（田，1）上递增，则实数a的取值范围是一

5

15.已知实数对任意xeR,有（1-依丫=/+4工+生%2H-----Fa5x,且4%+%=0,贝！]

%+4]+-----〃5=•

16.（5分）已知函数/（x）=lg（9尤2+1）+/一1,则不等式川083防+）（吗!）<2的解集为.

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在平面直角坐标系中，A（-2,0）,8（2,0）,且AABC满足tanAtan3=l

（1）求点C的轨迹E的方程；

（2）过下（-应，0）作直线MN交轨迹£于M,N两点,若AM4B的面积是面积的2倍，求直线的方

程.

18.（12分）已知ABC的内角A比C的对边分别为“,4c,且满足2cos3=生心.

C

（1）求角C的大小；

（2）若ABC的面积为士8,求ABC的周长的最小值.

2

19.（12分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别是〃，b,c,且2a-c=26cosC.

⑴求",+修的值；

⑵若5=6,求c—。的取值范围.

20.（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面平面ABC,

D、E分别为AB、AC中点.

（1）求证：AB±PE；

（2）求二面角A—?B—石的大小.

21.（12分）已知抛物线皿：丁2=2°式°〉0）上一点。&2）到焦点歹的距离为2,

（1）求/的值与抛物线W的方程；

（2）抛物线上第一象限内的动点4在点C右侧，抛物线上第四象限内的动点3,满足Q4,9"求直线的斜率

范围.

22.（10分）在某外国语学校举行的印MCW（高中生数学建模大赛）中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩

分布在[40』00],分数在80以上（含80）的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到

成绩的频率分布直方图如图所示.

（I）求。的值,并计算所抽取样本的平均值最（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（H）填写下面的2x2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.

女生男生总计

获奖5

不获奖

总计200

附表及公式:

0.100.050.0250.0100.0050.001

氏02.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

甘多x2n(ad-bc)

其中K----------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

算出集合A、B及AB,再求补集即可.

【详解】

由尤2一2%—3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},XB={x|x>l},

所以Ac5={x[l<x<3},故。(AcB)={x|x<l或xN3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

2、A

【解析】

JI

由题知/(x)=2tan3x)3>0),利用7=时求出口，再根据题给定义，化简求出/z(九)的解析式，结合正弦函数和

正切函数图象判断，即可得出答案.

【详解】

根据题意，f(x)=2tan(or)(。>0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为8,

所以/(x)=2tan(s)3>0)的周期为万，则。=1=生=1,

T71

2sin

所以h（x）=max{2tanx,2sinx}=<

2tanx,xeL,^

由正弦函数和正切函数图象可知A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.

3、B

【解析】

根据题意，分析可得AD=1,由余弦定理求得。C的值，由

BE•A3=（3。+DE）-•A3+DE••A3可得结果.

【详解】

根据题意，AB=3,BD=2AD,则AD=1

在ADC中，又AC=2,44C=60。

则DC2=AEr+AC2-2AD-DCcosABAC=3

则DC=G

则CDLAB

则BEAB=(3£>+Z)E)AB=Br>AB+Z)EAB=Br>AB=3x2xcosl80=-6

故选:B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

4、B

【解析】

利用等差数列的性质求出％的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出邑的值.

【详解】

由等差数列的性质可得。6+4-。5=。4+。5-%=3,

7（q+%）=2^=7*3=21.

22

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.

5、C

【解析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合的思想解题.

【详解】

由题意得，M=^x\-4<x<2^,N={^|-2<%<3},贝！(

McN={H_2<x<2}.故选C.

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

6、C

【解析】

因答案A中的直线加，〃可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线〃u£也成立，故不正确；答案C中的直线加

可以平移到平面£中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面0，分互相垂直，是正确的；答案D中直线机也有可

能垂直于直线〃，故不正确.应选答案C.

7、A

【解析】

先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和/(O)=1得到A和。.

【详解】

71+(p=Acos12%-7+夕)关于y轴对称，所以―

因为〃x)=Acos2X--?+0=左〃•(左eZ),所以

71,

(p=—+k7v,。的最小值是?./(0)=Acos2=l,则人=&，所以/(x)=0cos2x+?

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.

8、A

【解析】

根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截

面面积可求.

【详解】

如图所示：

设内切球球心为。，。到平面ACM的距离为d,截面圆的半径为厂,

因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1,

又因为4Mc=%-AOC，所以—QxdxSAZMl/KClUzQ、ZAll-Z0VC-，

又因为S3c=；x2gx《卜石j—(e)2=V6,SMOC=1x2^xl=V2,

所以‘xdx«=2,所以d=1,

333

所以截面圆的半径r="方=白，所以截面圆的面积为S==1.

故选：A.

【点睛】

本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面,

截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.

9、D

【解析】

画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，其中A，,0,C（2,2）,由于|04|=F^|J=g,|oq=2jL所以|0C|>|Q4|,

所以原点到可行域上的点的最大距离为26.

所以z的最大值为（20了=8.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

10、D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为4,化学等级为3的学生人数以及物理等级为3,化学等级为A的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全4和一科为A另一科为3的学生10-5+8-5=8人（其中物理4化学3的有5

人，物理3化学4的有3人），

表格变为：

ABCDE

物理10—5—5=016-3=13910

化学8—5—3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是5的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理C和。，化学都是3时，或化学C和。，物理都是3时，物理、化学都是3的人数最少，至少

为13—7—2=4（人），B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是3的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为B的学生，

因为都是3的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为3的学生最多为13+9+1—4=19（人），

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是3的最多13人，所以两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生最少14-13=1（人）,

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

11、D

【解析】

转化条件得A3={0,1},利用元素个数为n的集合真子集个数为2'-1个即可得解.

【详解】

由题意得3={耳（1+1）（工一2）<0}={川一1<]<2},

A3={0,1},.•.集合A5的真子集的个数为22—1=3个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.

12、D

【解析】

根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断G根据逆否命题的定义判断D.

【详解】

若平面夕，/,满足J3±y,则%分可能相交，故A错误；

命题“。：VxeH,1—f<1”的否定为力：3x0e7?,1—x；〉l,故B错误；

pyq为真,说明至少一个为真命题，则不能推出。人“为真；PM为真,说明PM都为真命题，则。丫“为真，

所以“命题0Vq为真，，是“命题PA"为真，，的必要不充分条件，故C错误；

命题“若（X—1）/+1=0,则x=0”的逆否命题为：“若"0’则（X—1）/+1，0”，故D正确；

故选D

【点睛】

本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{1,3}

【解析】

分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集.

【详解】

因为2左—1,左eZ表示为奇数，故A5={1,3}.

故答案为：{1,3}

【点睛】

此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.

14、ae[2,6]

【解析】

根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得。的取值范围.

【详解】

fc>l

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得2

12-«1+5>0

解得ae[2,6].

故答案为：«e[2,6]

【点睛】

本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.

15、-1

【解析】

由二项式定理及展开式系数的求法得4c(-4+仁(-02=0,又所以a=2,令x=l得：

(l-2xl)5=4+4+电+4+44+。5，所以%+q+%+。3+。4+%=T，得解.

【详解】

525

由(1-ax)=a0+a}x+a2x+...+a5x,且4%+a2-0,

则4c(一力+屐(-°)2=0,

又〃w0,

所以a=2,

令x=l得：

(1—2X1)5=%+%+%+Q3+Q4+%，

月f以%+q+a?+/+4+05=—]9

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16、耳,3]

【解析】

易知函数7'⑴的定义域为R,K/(-%)=lg[9(-%)2+1]+(-x)2-1=/(x),则/(尤)是R上的偶函数.由于"=9x?+l在

[0,+8)上单调递增，而y=1g”在“e[1,+s)上也单调递增，由复合函数的单调性知y=lg(9f+1)在[0,+s)上单调递增，

又y=X?-1在[0,+<»)上单调递增，故知/(x)=lg(9x2+1)+尤?-1在[0,+oo)上单调递增.令"logx,知log-=-t,

33X

2

则不等式/(log3x)+/(log.l)<2可化为/(/)+/(-/)42,即2/(/)42,可得了⑺41,又/(I)=lg10+l-1=1,/(%)是

X

偶函数，可得用用4/⑴，由/(元)在[0,+8)上单调递增，可得|03工区1,贝！|-141脸》41,解得;故不

等式f(log3x)+/(log3-)<2的解集为[-,3].

x3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)》^1=1(尸0).(2)M2V的方程为尤=土浮y-夜.

【解析】

(1)令C(x,y),则已.二不=一1,由此能求出点C的轨迹方程.

(2)令"(%,％),^^(%2，%)，令直线MN:x=〃iy-应,联立，

得(切2+2)V-2应冲-2=0,由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方

程。

【详解】

解：（1）因为tanAtan3=；,即直线AC,BC的斜率分别为如履且人•自=一，

22

设点C(x,y),则」——一,

x-2x+22

22

整理得?+U=l(ywO).

⑵令'(%,%)，易知直线MN不与x轴重合,

22

令直线MN:x=my-0,与亍+、=1联立得（加+2)y2—2垃my—2=0,

所以有△〉°'%+%=涕'x%=品'

1

由SAMAB=25AAiAB，故血=2昆|，即％=—2%,

从而=A+A+2=_1,

%为m+2%%2

解得"，=2,即加=土且。

77

所以直线MN的方程为了=土理了-0。

【点睛】

本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化

思想，是中档题。

18、(1)C=—(2)3A/6

【解析】

(1)因为2cos5二2--,所以6+2ccos3=2a,

c

^22_/2

由余弦定理得b+2c-a+：-"=2a,化简得a2+b2-c2=ab，

2ac

—r4H片+〃—/15出万1

可得-----------=—,解得cosC=一,

lab22

JT

又因为Ce（0,乃），所以C=§.（6分）

（2）因为5AA=：“6sinC==,所以就=6,

则°疝=2灰（当且仅当时，取等号）.

由（1）c2=a2+b2-ab>2ab-ab=ab=6（当且仅当〃=力=时，取等号），解得cNn.

所以〃+Z?+cN3#(当且仅当〃=0=c=«时，取等号),

所以ABC的周长的最小值为3指.

19、⑴亭(2乂一6,⑹

【解析】

(1)利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos5,进而求得3和A+C,代入求得结果；

(2)利用正弦定理可将。表示为2sinC-2sinA,利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin〔C-g

根据正弦型函数值域的求解方法，结合C的范围可求得结果.

【详解】

(1)由正弦定理可得：2sinA—sinC=2sin5cosC

A+B+C=7i/.sinA=sin(B+C)

/.2sin（B+C）—sinC=2sinBcosC+2cosBsinC—sinC=2sinBcosC

即2cosBsinC=sinC

Ce（0,^-）/.sinC^OcosB=—

2

:.B=三A+C=—

3

.（A+C八.2兀C

sin--------卜3=sin——二——

I2）32

a_c_b_v3_

（2）由（1）知：sinB=sin—=sinAsinCsinB6

32

.•.c=2sinC,a=2sinA

c—<2=2sinC—2sinA=2sinC—2sin（B+C）=2sinC—2sinBcosC—2cosBsinC

=2sinC-^/3cosC-sinC=sinC一百cosC=2sinC--

万171n[nn

333I33

2sin[c—gj4―"@,即c—a的取值范围为卜括,石)

【点睛】

本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角

函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题,

进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.

20、(1)证明见解析；(2)60°.

【解析】

试题分析：

(1)连结P。，由题意可得产。，4瓦皮>，筋,则43，平面尸。及AB±PE;

(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为⑺，故二面角的A-PB-石大小为60。；

法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面ME的法向量4=(3,2,6).平面的法向量为

%=(0,1,0).据此计算可得二面角的A—PB—石大小为60。.

试题解析：

(1)连结尸。，PA=PB,PDAB.DE//BC,BCAB,DEAB.

又PDcDE=D,AB平面PDE,­：PEu平面PDE,

：.ABPE.

(2)法一：

PAB平面ABC,平面如5''平面A3C=AB,PDAB,PD平面ABC.

则OEPD,又EDAB,PD\平面A5=Z>,DE平面

过。做。尸垂直PB与尸，连接EE则E尸PB,为所求二面角的平面角，

3nDE

则：DE=~,DF=。,则柩九/。巫=—=，/—3,故二面角的A——石大小为60°

22DF

法二：

■PAB平面ABC,平面''平面A3C=AB,PDAB,PD平面ABC.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

L3

B(l,0,0),P(0,0,、3)，E(0,0),

PB=(1>0，—y/3)>PE=(Q，~>—■\/3)•

设平面PBE的法向量7a=(x,y,z),

x-百z=0,

3I-令z=6，得々=(3,2,6).

5y一

■JDE1平面PAB,平面PAB的法向量为n,=(0,1,0).

..................,n,町1

设二面角的A—下火一石大小为〃，由图知，cosO—cosf,H2y=I.।7T=—

2

所以e=60°,即二面角的A——石大小为60°.

21、(1)1；V=4x(2)左的e(—oo,^-)u(0,+oo)

【解析】

(1)根据点C«,2)到焦点产的距离为2,利用抛物线的定义得/+5=2,再根据点在抛物线上有2pf=4,列方程

组求解,

22

ah16b

⑵设A(—,〃)(〃>2),_8(—,/?)(/?<0),根据左0A•女尸5=-1n。=,再由。>2,匕<0,求得

444-b2

-4-2