2024年高考数学特辑二轮复习之导数 函数整数解问题

观型6届熬濠熬斜向敢

1.已知函数/（x）=（6+；）e*-2x,若/■（＞）＜（）的解集中有且只有一个正整数，则实数%的取值范围为（

）

【解析】解：/(x)<0,即(fcc+g)/-2x<0,

,112x

也就是(fcr+/)/<2x,即kx+—<—,

人/、2xn1”、2cx—2xex2(1-x)

令g(x)=—,贝14g'(x)=——不—=,

exeex

当XW(—8,1)时，g\x)>0,当xw(l,+oo)时，g\x)<0.

g(x)在(-00,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减.

作出函数g(x)与丁="+；的图象如图：

1124

丁二丘+—的图象过定点p(0,_),A(l,-),B(2,—),

2lee

2_J_£_1

k7—_Ee2—_2___1k—£/___—2____2___1

KpA_1c_c，KPB_gC_2A,

1-0e22-0e4

实数上的取值范围为［4-,，---).

e24e2、

故选：A.

2.已知函数/（尤）=（履-2）/-尤（无＞0）,若/X^cO的解集为（sj）,且（s,。中恰有两个整数，则实数左的取

值范围为（）

【解析】解：由/(x)=(fcc-2)ex-尤＜0,得(fcv-2)e*＜尤，

^kx-2<—,(x>0)

ex

设h(x)=—,(x>0),

ex

由〃(x)＞0得Ovxvl,函数h(x)为增函数，

由hr(x)＜0得无＞1,函数h(x)为减函数，

即当X=1时，取得极大值，极大值为/7(1)=L

要使日-2(1，(尤＞0),在s,。中恰有两个整数，则鼠0时，不满足条件.

ex

232

则上＞0,当x=2时，h(2)=—,当x=3时，h(3)=4，即A(2，r),3(3,

eee

则当直线g(x)=丘-2在A,3之间满足条件，此时两个整数解为1,2,

g⑵<W2)t-2<4

€［日即j_+2i_

此时满足＜:，即<付《,211re33"k<i+/'

C3

g(3)...—3k—2...——k...—I——

£e3e3

121

即左的取值范围是［不+-,1+—),

e3e

3.已知函数/(刈=尤/-如+加，若/(x)＜0的解集为(凡力，其中b＜0;不等式在(a,6)中有且只有一个整

数解，则实数加的取值范围是()

A。SI)$0，.$'))0，U

【解析】解：设g(%)=xe",y=mx—m,

由题设原不等式有唯一整数解，

即g(x)=%/在直线y=rwc—mT方，

g\x)=(x+l)ex,

g(x)在(fO,-l)递减，在(-1,+00)递增，

故g(%).=g(T)=,，y=恒过定点尸(1,0)，

e

结合函数图象得仁,mV%,

口c21

y/

故选：c.

▲

____________」

4.已知函数/(x)=x+(2-kx)ex(x>0),若/(x)>0的解集为(a,b),且他力)中恰有两个整数，则

实数％的取值范围为()

A.S，)B.凸+:，+)

ee2~eTI3

C.[-y+,]+l)D.占+1,-+2)

e3eee

【解析】解：设g(%)=2，

ex

1—丫

则g，(%)二——

ex

当0<x<l时，g'(x)>0,当x>l时，g'(x)<0,

所以函数g(x)在(0,1)为增函数，在(1,+00)为减函数，

/(X)>0的解集为(a,6)等价于一>(依-2)的解集为(a,6),

产

即当且仅当在区间(a,b)上函数g(x)=」■的图象在直线>=履-2的上方,

ex

函数g(x)=」_的图象与直线y=区-2的位置关系如图所示，

g⑴>左-2

由图可知：(g(2)>2%-2,

g⑶,,3k-2

211

解得：—+—„k<\+―^,

3e3e2

5.已知函数/(无)=(«zx-若不等式“幻<0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数机的取值

【解析】解：函数/(无)=(m—1片-了2,不等式/(x)<0化为：—.

ex

分别令f(x)=mx-\,^(x)=—.

g<(x)=x(2"x).

ex

可得：函数g(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,+oo)上单调递减.

4

g(0)=0,g(2)=—.如图所示.

不等式/(x)<0的解集中恰有两个不同的正整数解,

，正整数解为1,2,

Y⑵<g⑵产-1</

、e

31?1

解得:—+—„m<—+—.

/3/2

数m的取值范围是［导+g,+J).

故选：C.

6.已知函数/(%)=(1-〃)/-〃仇x,若恰有三个正整数%,使得，(%o)vO,则实数〃的取值范围是()

A4e，

e3+ln3'e4+2山2

c(2e?4/

'e2+ln2'e4+2ln2

【解析】解：f(x)的定义域为(0,+oo),

由/(x)<0可得竺，

ex

(1)显然a=0时，不等式在(0,+00)上无解，不符合题意；

(2)当。<0时，不等式为工工一1>如，

aex

jlux

令/(%)二—%T，g(%)=~v，则当x..l时，/(x)<-1,g(x)..O,

ae

故不等式工犬-1>妈没有正整数解，不符合题意；

（3）当。>0时，不等式为〈妈，

aex

显然/(无)=!尤-i为增函数，

a

1—YJJJY

gr(x)=------,令h(x)=1-xlnx,则h\x)=-(Inx+1),

xex

.,.当时，hr(x)<0,故/z(x)在(1,+8)上单调递减,

而〃(1)=l>0,h(2)=1-2/M2=/«-<0,

4

存在毛e(1,2)使得〃(尤0)=0,

厂.当无£口，/())时,h(x)>0,当%>/0时,h(x)<0,

即当工£口，%0）时，g\x）>0,当%>%0时，，（x）vO,

二.g（x）在［1,X。）上单调递增，在（无0.+00）上单调递减,

又g(1)=0,且时，g(x)>0,

故不等式工彳-1<妈的三个正整数解为1,2,3,

aex

--1<0

/(I)<g⑴a

/(3)<g(3)3-1〈黑，解得:

,即，<

/(4)..g(4)a/+>3④/+2ln2-

a>0i-lIn4

a

故选：A.

7.已知函数若/（尤）=（区+工）/-3元，若"x）<0的解集中恰有两个正整数，则上的取值范围为（）

4

13__1

A.B•十:，14)

12e28

c-("；4]D-[14)

【解析】解：由/（x）<0得/（无）=（fcc+：）e，-3x<0,

即（kx+—）ex<3x,

4

即（"+与V汇的解集中恰有两个正整数,

4ex

3x3/—3xe”_3—3x

设h(x)=—,贝I〃(x)=

ex(,)2

由〃(兀)>0得3—3%>0得X<1,由hf(x)<0得3—3九<0得无>1,

3

即当无=1时函数/z(x)取得极大值/z(1)=-,

设函数g(x)=fcc+L

14

作出函数h(x)的图象如图,

1

由图象知当鼠0,(辰+与＜^的解集中有很多整数解，不满足条件.

4ex

1

则当左＞0时，要使，("+与＜二的解集中有两个整数解，

4ex

则这两个整数解为九=1和无=2,

6969

h(2)=—,h(3)=—,A(2,—)B(3,—),

eeee

当直线g(x)过A(2,二)5(3,[■)时，对应的斜率满足

160719P731z31

A4/B4e3Ae28Be312

要使，(履+与1的解集中有两个整数解，

4ex

3131

则心,,左〈七，k<~~~,

e12e8

8.已知f\x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数无都有/,(x)=--/(x)(e是自然对数的底数)，/(0)=0,

ex

若不等式/(%)-左＞0的解集中恰有两个整数，则实数人的取值范围是()

【解析】解：设g(%)=e"(%),

则g'(x)=""'(%)+/(切=1,

可设g(x)=x+c,

g(O)=/(O)=O+c=O.

..c=0,

g(x)=x,

ex

当无vi时，r(x)＞o,函数/(%)单调递增，

当犬＞1时，((%)＜0,函数/(%)单调递减，

(1)=-,

e

当Xf+8时，/(%)-0,

不等式/(%)-左＞0的解集中恰有两个整数，结合图形可知，整数为1,2

.*./⑶，,左＜/⑵，

x

)

A.(-岳2,二山6]B.0.白〃6,历2)D.[―,-)

3e333e

【解析】解：/⑴J一山产),令广(无)=o得尤，，

x2

.•.当0<x<g时，/,(x)>0,/(x)单调递增，

当龙时，/'(尤)<。，/(无)单调递减，

由当无<g时，/(x)<0,当x>g时，f(x)>0,

作出了(无)的大致函数图象如图所示：

/(无)+叭无)>0,

(1)若a=0,即/2(x)>0,显然不等式有无穷多整数解，不符合题意;

(2)若a>0,贝I/(X)<-4或f(x)>0,

由图象可知/(幻>0有无穷多整数解，不符合题意;

(3)若a<0,贝If(x)<0或y(x)>-a,

由图象可知f(x)<0无整数解，故f(%)>-a有两个整数解,

f(1)=f(2)=ln2,且/(x)在(1+8)上单调递减,

/./(x)>-a的两个整数解必为九=1,x=2,

又…卷

ln67c々“日TCln6

3"一a<加2,解付一质2<a,—

10.函数/(%)=(京+4)说若/(%)>0的解集为(型)，且(型)中只有一个整数，则实数上的取值

范围为()

114、114

AA.(——-2,而一下B.(——-2,

Iniln2而一3

c/141„0,141八

C.(——~9-1---1]D.(―~，-7---D

加3321n2ln3321n2

【解析】解：令/(尤)>0,得：kx+4>—,

Inx

令g(x)=二，贝“<(》)=也二，

live(live)

令g'(%)>。，解得：x>e,令g'(x)<。，解得：\<x<e,

故g(x)在(1,e)递减,在(e,+00)递增,

结合函数的单调性得:

2jfc+4>—114

打2,解得：-L-<k„

即<2

c7A3ln2历33

3k+4„—

历3

故选：A.

11.已知函数/(x)=上,若不等式/(九)-a(x+l)>0的解集中有且仅有一个整数，贝I实数的取值范围是(

ex

)

A.[-4，-]

D.

eec•弓力

【解析】解：fv)=—

ex

当无vl时，广(%)>0,当x>1时，/z(x)<0,

f(x)在(-00,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减,

由/(%)—a(x+l)>0仅有一个整数解得/(%)>a(x+l)只有一整数解，

设g(x)=aCx+l),

由图象可知：当&0时，/(%)>g(x)在(0,+oo)上恒成立，不符合题意,

当1>0时，若/(x)>g(x)只有1个整数解，则此整数解必为1,

'>2a

”)>g⑴即

'；’解得不，，a〈彳•

/(2)„g(2)'2c3e2e

—„3。

1e

故选：D.

12.已知函数/(%)=(兀2+3%+1育-左有三个不同的零点，则实数上的取值范围是()

A.(一1,之)B.(0,-^-)C.(-D.(--,+oo)

eeeeee

【解析】解：函数/(x)=(无2+3x+1)，一k,

x

可得：f\x)=(无2+5尤+4)，=(x+1)(尤+4)e,

/(%)在(-oo,-4)和(-L+8)上是增函数；在(Y,-l)上是减函数，

当xf-oo时/(x)T-k,当xf+oo时f(x)f+oo,

所以函数/(%)=(尤2+3x+1)，-左有三个不同的零点，

只需：满足一左<0,/(-4)=4-^>0,f(-l)=---k<0,

ee

解得左€(0,之)

e

故选：B.

13.已知函数/(x)=(2-x)e*-办-a,若不等式/(x)>0恰有两个正整数解，则a的取值范围是()

A.[--e3,0)B.[--e,0)C.[--e3,-)D.[--e3,2)

42424

【解析】解：令g(x)=(2—x)/,h(x)=ax-^-a,

由题意知，存在2个正整数，使g(x)在直线力(九)的上方，

g\x)=(l-x)ex,

二.当尤>1时，gf(x)<0,当xvl时，gr(x)>0,

•••g(x)s=g(1)=e，

且g(0)=2,g(2)=0,g(3)=-e3,

直线〃(x)恒过点(-1,0),且斜率为a,

h(l)<e

由题意可知，\/?(2)<0

故实数。的取值范围是[-』e3,0),

4

故选：A.

f2xx<0

14.已知函数/(%)=<',且，(以,a|x|有且只有一个整数解，则a的取值范围是()

[ex,x..O

A.(2,e]B.(2,e2]C.(2,8]D.[e,-e2)

2

【解析】解：④0时，y=a|x|的图象在x轴下方，不符题意；

a>0时，/(X),,〃|x|有且只有一个整数解，

即为ax有且只有一个整数解，

由y=ar与y=e"相切，设切点为(m,em),

可得=解得m=1,a=e,

m

由题意可得乙,〃%有且只有一个整数解，且为1,

可得/>2a,即〃<工/,且a.©,

2

即e,,a<」e2

2

故选：D.

15.函数/Xx)=(依+4)配c-x(x>l),若/(x)>0的解集为(s,t),且(s,f)中恰有两个整数，则实数上的取值

范围为()

A.(―--2,—--1)B.(―--2,^—-1]

ln221rl2ln22ln2

141

D.(------,------1]

c,Ini32ln2

【解析】解：令/(x)>0,得：fcr+4>—,

Inx

令g(x)=士，则g，(x)=@L],

Inx(Inx)

令g'(x)>。，解得：x>e,令，(兀)<0,解得：l<x<e,

故g(x)在(1,e)递增，在(e,+00)递减,