江苏省南通市2024届新高考适应性调研试题及答案解析

绝密★启用前

【新结构】江苏省南通市2024届新高考适应性调研试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为()

A.69B.70C.75D.96

o7

2.已知双曲线方=1(。>0,6>0)的渐近线方程为y=±3%，则双曲线的离心率是

()

A.V10B.噜D.3V10

3.等差数列｛厮｝和｛入｝的前n项和分别记为以与〃，若祟=工娱，则殁产=()

A，YB.1|C，YD.2

4.已知a,/?是两个平面，m,n是两条直线，则下列命题错误的是()

A.如果a〃.，riua,那么

B.如果m1a,n//a,那么TH1n

C.如果7n〃n,7nla,那么律1a

D.如果m1n,mVa,n//p,那么a1/?

5.为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部6人组建了“党史宣讲”、“歌

曲演唱”、“诗歌创作”三个小组，每组2人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法有种

()

A.60B.72C.30D.42

6.已知直线八：(m-l)x+my+3=0与直线22：(加一1)久+2y—l=0平行，则=2"是"h平行于，2”

的

()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知a,pE(03)，2tana=嬴君令而，则tan(2a+0+刍=()

A.-V3B.-mC.得D.V3

8.双曲线C:/—产=4的左，右焦点分别为Fi，92，过尸2作垂直于无轴的直线交双曲线于4B两点，△AFR,

△BF1F2,△FMB的内切圆圆心分别为。1，。2，。3，则△。1。2。3的面积是

()

A.6^^2.—8B,6\/2—4C.8—4^/2D.6—4,\/2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.关于函数/(无)=sin|%|+|sin%|有下述四个结论，其中错误的是()

7T

A./(%)是偶函数B./(%)在区间后兀)单调递增

C./(%)在[-兀，兀]有4个零点D./(%)的最大值为2

10.已知复数Zi，Z2，满足|Z1“Z21A0,下列说法正确的是()

则22B+<+

JZ1-Z2Z1Z2-Z1Z2

A.右|zi|=|z2|,

C.若Z1Z2CR,则D.kiz2|=kilk2|

11.已知函数/(久)的定义域为凡且/(尤+y)/(尤一y)=/2(%)—/2(y),/(i)=由，y(2%+|)为偶函数，则

()

A./(O)=0B./(%)为偶函数

2023

f®=V3

Zfc=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.定义集合运算：AQB=[z\z=xy(x+y),xeA,yeB),集合Z=[0,1},B={2,3},则集合A。B所

有元素之和为

13.早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖瞄在研究几何体的体积时，得到了如下的祖原理：易势既

同，则积不容异。这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所

截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，将双曲线。1：久2_q=1与y=0,y=有

所围成的平面图形(含边界)绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体「，其中线段04为双曲线的实半轴，

点B和点C为直线y=心分别与双曲线一条渐近线及右支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面积是

,几何体「的体积为_____.

14.已知X为包含"个元素的集合。EN\v23).设4为由X的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集

合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称(X/)组成一个〃阶

的Steiner三元系.若(X,a)为一个7阶的Steiner三元系，则集合4中元素的个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(为)=In%+ax—a2x2(a>0).

(1)若尤=1是函数y=/(%)的极值点，求a的值；

(2)求函数y=/(%)的单调区间.

16.(本小题15分)

4B,C,。四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，

第1局由4B对赛，接下来按照C,。的顺序上场第2局、第3局(来替换负的那个人)，每次负的人其上场顺

序排到另外2个等待上场的人之后(即排到最后一个)，需要再等2局(即下场后的第3局)才能参加下一场练习

赛.设各局中双方获胜的概率均为看各局比赛的结果相互独立.

(1)求前4局Z都不下场的概率;

(2)用X表示前4局中B获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

17.(本小题15分)

四棱锥P—中，四边形4BCD为菱形，AD=2,乙BAD=60。，平面PBD1平面4BCD.

(1)证明：PB1AC；

(2)若PB=PD,且P4与平面4BCD成角为60。，点E在棱PC上，且无=界，求平面EBD与平面BCO的夹

角的余弦值.

18.(本小题17分)

如图，已知椭圆C：今+看=1(。＞5＞0)的左、右项点分别为4，A2,左右焦点分别为FI，F2,离心率

为得,尸42|=2道，。为坐标原点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设过点P(4,m)的直线P4,PZ2与椭圆分别交于点M,N,其中加＞0,求AOMN的面积S的最大值.

19.(本小题17分)

al,lal,2al,m\

卜旭22)是症个正整数组成的小行7n列的数表，当

a,2…^m,m/

(1n

1<i<s<m,l<j<t<TH时，记d(aq,as,t)=\aij-asj\+CN*,若4n满足如下两个性

质：

①%•e=1,2,--■,m-J=1,2,…,TH)；

②对任意kC{1,2,3,…，呼存在i€{1,2,…,m}JC{1,2,…,m},使得%•=匕则称4m为4数表.

2

31)是否为「3数表，并求戢%,1，。2,2)+火。2,2"3,3)的值;

(1)判断&=1

(2)若「2数表4t满足或砥〃七+1/+1)=1q=1,23/=1,2,3),求心中各数之和的最小值;

(3)证明：对任意:数表40,存在1<i<s<10,1<；<t<10,使得dQi/is,。=0.

【新结构】江苏省南通市2024届新高考适应性调研试题

答案和解析

【答案】

1.B2,A3.D4.D5.D6.B7.B

8.A

9.BC10.BDU.ACD

12.18

13».”

3

14.7

15.W：(1)函数定义域为(0,+8),/，(%)=-2。才+6+1

X

因为x=1是函数>=/(x)的极值点，所以/'(1)=1+a-2a2=0,解得。=一;或4=1,

因为a..O,所以a=l.

此时f(%)=-2^+x+l=-(2x+l)(l)

XX

/(x)>0得0<X<1函数单调递增，/(x)<0得X>1函数单调递减，

所以x=l是函数的极大值.

所以a=1.

(2)若a=0,/Xx)=->0,

X

则函数/(x)的单调增区间为(0,+8)；

什n_-2a2x2+ax+\_(2ax+l)(-ax+1)

a>U,j(xA)=—,

XX

因为a>0,x>0,则2ax+l>0,

由广(x)>0,结合函数的定义域，可得0<x<,；

a

由/'(x)<0,可得x〉1；

a

函数的单调增区间为（o,L）；单调减区间为（工,+8）.

aa

综上可知：当。=0时，函数/（X）在（0,+8）上单调递增，无递减；

当。〉0时，函数/（X）在（0,3上单调递增，在（工,+8）上单调递减.

aa

16.W：⑴前4局4都不下场说明前4局4都获胜，

故前4局N都不下场的概率为^>=—x-XTXT=77-

222216

（2）X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

其中，X=0表示第1局8输，第4局是8上场，且8输，则P（X=0）=；x；=；；

X=1表示第1局5输，第4局是8上场，且8赢；或第1局8赢，且第2局8输,

则P(X=l)=-x-+-x-=-

22222

X=2表示第1局8赢，且第2局8赢，第3局8输,

则尸(X=2)=—x—x—=—

2228

X=3表示第1局5赢，且第2局5赢，第3局8赢，第4局5输,

则尸(X=3)=

222216

X=4表不第1局5赢，且第2局5赢，第3局5赢，第4局3赢,

则P(X=4)=-x-x-x-=—

222216

所以X的分布列为

X01234

11

P

4281616

故X的数学期望为E(X)=H+iq+2*3$+4x>g

17.解：（1）证明：因为四边形为菱形,

所以力C,

因为平面尸3D，平面48cO,平面。80c平面48CD=AD,/Cu平面48CQ,

所以/CJ_平面08。，

因为尸3u平面尸8。，故/。，心.

（2）设/Cc8D=O,贝【」。为NC、8。的中点,

又因为PB=PD,

所以0OJ.5D,

又因为/CL平面尸RD,POu平面尸RD,

所以尸OL/C,

因为力CcAD=O,AC,3。＜1：平面43。)，

所以尸O_L平面Z8CQ,

所以/0/O为尸幺与平面48。所成角，故/尸/。=60°，

由于四边形Z8CO为边长为/。=2,/民4。=60°的菱形，

所以NO=ADsin60°=2x3=6，PO=AOtan/PAO=道义退=3，

以点。为坐标原点，ON、OB、。尸所在直线分别为X、八z轴建立如下图所示的空间直角坐标系:

则，(百,0,0),C(-V3,0,0),5(0,1,0),D(0,-l,0),尸(0,0,3),

由而==|(-A0,-3)=(-^,0,-1),

得砺=加+而=(0,—1,3)+(—1)=(—g,—1,2),且加=(0,2,0),

设平面8EC的法向量为应=(x,y,z),

则<玩•DB=2y=0m-BE=———x-y+2z=0,

取x=26,则z=1，y=°,

所以应=(2月,0,1),

又平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),

m

所以Icos〈应㈤1=

所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为叵

13

18.解：（I『•离心率为卫2，国£1=26,，

2

a=2,c=，则6=1,

2

椭圆C的方程的方程为：—+y2=l.

4

(n)由(i)得4(-2,0),4(2,o),

YD777

直线尸4，04的方程分别为：y="x+2),y=-(x-2),

,2

由<y=£(x+2)亍+「=i得(9+加2),+4加2%+4加2-36=o,

--4m2—r，曰18-2m2，加喋/+2)=4

-2+x〃=k'可付

69+m

Z77X,2

由<V=—(x—2)—+y2=1,可得(1+m2)x2—4mx+4m2—4=0,

2

-4m2与,曰2m-2mz..-2m

:.2+x=--,可倚/=-；~?Zv=3(%N-2)=2

N1+m1+m21+m

K_7M-YN_2m

&MN_—r,

XM-xN3-m

-2m2m2m2-2

直线的方程为：j-

1+m23-m2

2m2m2-22m2m2nr-23—m2

3-m21+m21+m2

可得直线过定点（1,0）,故设“N的方程为：x=ty+l,

2

2

由〈x=ty+2：+/=1得(/+4)j+2(y-3=0,

-2t-3

设M（不，必）,N（x2,y2）,则必+M=

I।n3\4dt2+3

I必一歹2t，(必+J2)-4必天2=-------

/+4

：.AOMN的面积s=1x(弘一切)=2二五，

212t2+4

_____2d_2

令Jr+3=d,a..5,则"屋十]二，],

d

•rd…百，且函数/(d)=d+：在[仃,+8)递增，

.•.当d=G，s取得最小值三.

19.解：⑴4=。23231312)是口数表，

d(%],%)+dQ,2，%3)=2+3=5.

(2)由题可知,%,j+i)=1%j-1+i,jI+I*,j-4+i,j+J=1O'=1,2,3;j=1,2,3).

a-

当4+i,j=1时,有4(叫此+IM)=1i,j11+1“,j+iT1=1,

所以先j+%,j+i=3.

当q+i,j=2时，有或%j,%+Lj+i)=1%-21+|q+i,j+i-21=1,

所以9+%i,j+i=3.

aa

所以i,\+M,i+i=3(z=1,2,3;j=1,2,3).

以Q[]+出2+。33+。44=3+3=6,Cly3+出4=3,%]+%2=3.

ai2+tz23+^34=3+1=4或者q2+。23+“34=3+2=5,

Q21+Q32+Q43=3+1=4或者。21+/2+&3=3+2=5,

«1,4=1或04=2,。4,1=1或%=2,

故各数之和...6+3+3+4+4+1+1=22,

当4=(1111122212111212)时，各数之和取得最小值22.

⑶由于r4数表4。中共100个数字，

必然存在左e{l,2,3,4},使得数表中左的个数满足T...25.

设第)行中左的个数为“«=1,2,…,10).

当z;....2时，将横向相邻两个左用从左向右的有向线段连接，

则该行有r-1条有向线段，

Z=1

所以横向有向线段的起点总数R=口•Z亿-D=T-10.

10

设第/列中左的个数为q(J=12…,10).

当卬.2时，将纵向相邻两个左用从上到下的有向线段连接，

则该列有4-1条有向线段，

所以纵向有向线段的起点总数C=X(qT)“£(q-D=T-10.

Cj...210

所以R+C…2T-20,

因为T...25,所以R+C-T...2T-20-T=T-20>0.

所以必存在某个k既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，

即存在l<w<v„10,1<p<q„10,

aaa

使得u,p=v,p=v,q=k,

所以d(a“,p,avq)=1aup-avp|+|avp-avq\=0,

则命题得证.

【解析】

1.【分析】

本题考查求百分位数，属于基础题.

根据百分位数的定义即可得到答案.

【解答】

解：因为8xl5%=1.2,根据百分位数的定义可知，该数学成绩的第15百分位数为第2个数据70.

故选：B.

2•【分析】

本题考查双曲线的性质和离心率的知识点，属于基础题.

b

由题易知一=3,根据公式6=求出离心率的值.

a

【解答】

2277

解：由题可知双曲线三―4=1（。〉08〉0）的渐近线方程为y=±—X,所以一=3,

cTb,aa

故答案为4

3•【分析】

本题考查等差数列，属于基础题.

+。9%+%0

利用b即可求解.

34+4

2

【解答】

8月

解:因为

3n+5

10

a+a_q+%（）=&=竺=2

所以29

b,+b5,,,.T20,

452c）5

故答案选：D

4•【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、

推理论证能力，属基础题.

根据相关定理或性质逐一判定即可得出结论.

【解答】

解：对于从由面面平行的定义可得〃与乃没有公共点，即〃///,故幺正确;

对于8,如果加_1_<7,nIIa,那么在。内一定存在直线b||〃，又m人b,则加_L7?,故8正确;

对于C,如果加//“，m±a,那么根据线面平行的性质可得〃，a,故C正确；

对于。，如果加_L〃，m±a,则〃〃戊或"ua,又，〃£,那么。与£可能相交，也可能平行，故

。错误.

故选D

5.【分析】

本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.

由6人平均分3个不同组，共盘5G

.3!=90种，排除甲在歌曲演唱小组，乙在歌曲诗歌创作小组的可能

3!

结果即可.

【解答】

解：6人平均分3个不同组，共生遗

-3!=90种,

3!

甲在歌曲演唱小组，此时有GO：。；-2!=30种,

2!

乙在歌曲诗歌创作小组，此时有空”.2!=30种,

2!

甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作有=12种,

故共有90—30—30+12=42种，

故选：D.

6•【分析】

本题考查两直线平行的判定及其应用，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

根据两直线的位置关系、充分和必要条件的定义进行判断.

【解答】

解：当4///2时，（加一1）x2=777（加一1）,解得m=l或m=2,

经检验可知m=1或m=2都符合.

所以“机=2”是“4/〃2”的充分不必要条件.

故选：B

7•【分析】

本题考查两角和的余弦公式、诱导公式的应用，考查三角函数的化简求值，属于基础题.

根据两角和的余弦公式和诱导公式化简求值即可.

【解答】

八,八2sinasin2^2sin6cos£2cosB

解：由2tana=--------=---------=-——产.,=——,

cosasinP+sin20sin/?+sin201+sin/

可得cosocos4=(l+sin，)sina,即cosacosJ3-sinasin/3=sina,

JI

得cos(tz+尸)=sina=cos(y-a),

因为ae(0,—),BG(0,—),

71

所以0+7?=5一1,

2tz+尸=?,tan(2«+£+?)=tan^-=ta^-^)=—tan£=

故选8.

8•【分析】

本题考查双曲线中的面积问题，属于较难题.

由题意画出图，由已知求出c的值，找出45的坐标，由△/片与43片区4448的内切圆圆心分别为

。1，。2，。3,进行分析，由等面积法求出内切圆的半径,从而求出△。］。2。3的底和高，利用三角形的面积

公式计算即可.

【解答】

所以c?=a"+b2=8，

所以8(2行,0),寓用=2c=4后，

所以过心作垂直于x轴的直线为*=20,

代入C中，解出N(2衣2),可2心-2),

由题知△/与与43片用的内切圆的半径相等,

且|/月|=|3片|,△/片£°3片区的内切圆圆心。］,。2的连线垂直于工轴于点尸，

设为乙在△/片£中，由等面积法得：

:（|幺用+以用+闺用）用讣以用，

由双曲线的定义可知：\AF\-\AF^=2a=A,

由H用=2,所以|幺周=6,

所以;（6+2+4后卜=；*4凤2,

解得：T尸……,

2+422

因为片£为△片48的乙4GB的角平分线，

所以。3一定在片耳上，即x轴上，令圆Q半径为七

在中，由等面积法得：

；（|/|+阿|+M|）.R=g闺/讣|四，

又|4月|=|明|=6,

所以；、（6+6+4＞氏=5*4瓜4,

所以尺=五，

所以|尸闾=尸=2也-2,

|（93P|=|（93F,|-|P^|=7?-r=V2-（2V2-2）=2-V2,

所以%。必=Jaal。尸|=；'2"便尸|

=rx|O3P|=（272-2）x（2-V2）=672-8.

故选A.

9.【分析】

本题考查了三角函数的性质，属于基础题.

直接利用相应性质的判断方法判断即可.

【解答】

解：函数定义域为R关于原点对称，

又/(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=/(x),

・••/(x)是偶函数，故幺正确；

当％e[一肛句时，/(x)={-2sinx,xG\-JI,0)2sinx,xe[0,n'\,

易判断％e[-肛句时，函数有3个零点，故C不正确；

(71)

当xe不,万时，函数单调递减，故B不正确；

127

JT

显然sin|x|”1,|sinx|„1,存在x=—使得sin|x|=1,|sinx|=l,故/(无)的最大值为2,故。正确.

2

10•【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于一般题.

由复数的模及复数的基本概念判断8与。；举例判断Z与C.

【解答】

解：取4=1,z2=i,满足匕|=匕|,但z；wz；,,故/错误;

利用模的运算性质可知B正确；

取Z]=l+i,Z2=l—I,则ZIZ2=2G&,但3任&,故C错误；

Z2

设Z]=a+bi,z2=c+di,[a,b,c,deR),

匕/21=|ac-Ad+(ad+be)z|=不(ac-bdj+(ad+

=>Ja2c2+a2d2+b2c2+b2d2

222222122222

|zj|,|^21=A/«+b•Vc+d=\Jac+ad+bc+bd,

即匕阂石讣㈤,故。正确.

故选：BD.

11•【分析】

本题考查抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于难题.

令x=>=0可判断出若/(x)为偶函数，令x=0,》=-1可得/。)=0,与已知矛盾，从而可判断

B；取x=0,得至U/（—%）=—/（%）,结合/（2x+|）为偶函数可判断C；由C可得/（%）的周期为6,对

称轴为x=5,从而可得/⑴+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+〃6）=0,根据周期性可判断D

【解答】解：令彳=〉=0,可得/（0"（0）=0,解得/（0）=0,故幺正确；

若〃x）为偶函数,令x=0,y=-i,可得/（一1）/⑴=/⑼—/2（f,即/（一1）+〃一1）/⑴=0,

则/2（1）+/（1）/。）=0,解得/（1）=0,与/（1）=G矛盾，故"X）不是偶函数，故8错误；

取％=0,可得/（j）/（—》）=-/2（J），化得/3）[/（历+/（—＞）]=o，

则/（＞）=0或/3）=—/（一歹），

易知若〃y）=0,贝1）/（-历=0,可得"y）=-/（-内恒成立，即“X）为奇函数.

因为/（2x+|）为偶函数，所以/[2X+£|=/，2X+£|,

即/0+1]=/[r+2，即/（3+力=/（―x）.

因为/（一%）=—/（%），所以/（3+x）=-/（x）=—/（3—x）,故C正确；

因为〃3+x）=-/⑴，所以/（x+6）=-〃x+3）=/（x）,所以/（”的周期为6.

3

因为/（3+x）=/（-x）,所以/（%）的对称轴为%=-,

因为/（1）=6,所以〃2）=/（1）=百,/（3）=/（0）=0,/（4）=/（-l）=-/（l）=-V3,

/（5）=/（5-6）=/（-1）=-V3,/（6）=/（0）=0,

所以/⑴+/（2）+/⑶+/（4）+〃5）+/（6）

=V3+V3+0-V3-V3+0=0.

又2023=6x337+1,

2023

所以£/（左）=337x"⑴+/⑵+/⑶+/（4）+/（5）+/（6）]+八1）=百，故。正确.

k=l

故选/CD.

12.【分析】

本题考查集合的新定义问题，属于基础题.

根据Z。8的定义即可求出集合中的元素，从而得出各元素之和.

【解答】

W：当x=O,y=2,.,.z=0；

当X=1J=2,.,.2=6；

当x=0,y=3,r.z=0；

当x=1=3,；.z=12,

集合NOB={0,6,12},

•••集合/O8所有元素的和为0+6+12=18.

故答案为：18.

13•【分析】

本题考查双曲线的简单性质，以及几何体体积的计算，属于中档题.

过了轴任意一点作直线//A8C,交双曲线渐近线、双曲线于9、C,计算内部圆形（绿色部分）和环带

面积（橙色部分），利用祖瞄原理即可求解.

【解答】

解：

如图所示，B'C'HBC,

双曲线的一条渐近线方程为^=瓜，设夕（含,义）,。，（$+}/0）

当玄。绕了轴旋转一周时，内部圆形面积（绿色部分）为万手，

所以线段8C旋转一周所得的图形的面积是乃苣—万回_—乃，

33

（IrV2

外部橙色环带面积为开1+至-乃至”，

33

7

此部分对应的体积等价于底面积为万，高为百的圆柱，

所以几何体r的体积为万G(橙色部分)+圆锥部分)=述加

33

故答案为万；巫兀.

3

14•【分析】

本题考查集合的新定义，为难题.

【解答】

解：7阶中元素个数为7个，设为{1,2,3,4,5,6,7},则7阶的三元子集的集合个数为穹=35,

若要使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，

不妨先挑选{1,2,3},则三元子集中不能包含：

{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,3,7}{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},共12个剔除;

再从剩余三元子集中挑选{1,4,5},则