第23讲数列中的整数问题与不定方程(原卷版+解析)

第23讲数列中的整数问题与不定方程方法总结：1.整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶典型例题：例1．已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足．（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．例2．已知数列满足条件，，令（Ⅰ）写出数列的前四项；（Ⅱ）求数列的通项公式，并给出证明；（Ⅲ）是否存在非零常数，，使得数列成等差数列？若存在，求出，满足的关系式；若不存在，说明理由．例3．已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由．例4．在数列中，，．（1）设，求数列的通项公式；（2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由．例5．已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．过关练习：1．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，对于任意的，总存在，使得成立，则2，．2．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，若对于任意的，总存在，使得成立，则．二．解答题（共19小题）3．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．4．已知等差数列的公差，设的前项和为，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求，的值，使得．5．已知数列的前项和为，且．数列满足，且，前9项和为153．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；（3）设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．6．已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求出所有的正整数，使得．7．已知各项均为整数的数列满足：，，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数、使得：，请找出所有的有序数对，并证明你的结论．8．已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．（1）求数列和的通项公式；（2）设，且对于给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列（其中，分别计算，3时满足条件的整数，的一组通解（答案用表示，需要相应的推理过程）；（3）当为奇数时，放在前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，该数列的前项和记为，是否存在正整数，，使得成立？若存在求出所有满足条件的，，若不存在，则说明理由．9．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）设，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，请说明理由．10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，．（1）求数列、的通项公式及其前项和；（2）在数列中，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．11．已知各项均为正数的数列满足：，且，．（1）设，求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．12．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有．（Ⅰ）若的首项为4，公比为2，求数列的前项和；（Ⅱ）若，试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．13．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，．（1）求的值；（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求的值；（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．14．用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为．（1）已知，求，，，的值；（2）令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；（3）数列中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系，若不存在，说明理由．15．已知数列满足：．（1）求的通项公式；（2）是否存在正整数，，，使，，成等差数列，若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．16．在数列中，已知，，，设为的前项和．（1）求证：数列是等差数列；（2）求；（3）是否存在正整数，，，使，，成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．第23讲数列中的整数问题与不定方程方法总结：1.整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶典型例题：例1．已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足．（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：由可得：，，，，，，将以上式子相加可得：，，，又也适合上式，，，数列是首项、公差均为1的等差数列，；（2）解：由（1）可得，，假设存在正整数，，使得，，成等差数列，则，即，又，可解得：或，故存在或，使得，，成等差数列．例2．已知数列满足条件，，令（Ⅰ）写出数列的前四项；（Ⅱ）求数列的通项公式，并给出证明；（Ⅲ）是否存在非零常数，，使得数列成等差数列？若存在，求出，满足的关系式；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）在，中，由，．；，，，（Ⅱ）由（1）知，，，．由此猜测．下面用数学归纳法证明：①当时猜想显然成立；②假设猜想成立，即，则有，根据题意，得，解出，于是，，即当时猜想也成立．综合①②得对于所有都有（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，假设存在非零常数，，使得数列成等差数列，设其公差为，令，则有，从而，化简得：．所以有，故存在满足关系的非零常数，，使得数列成等差数列例3．已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），当时，，．当时，，．是以3为首项，以3为公比的等比数列．．，，是以1为首项，以1为公差的等差数列，．即．当时，．当时，上式仍成立，．（2）由（1）知．．①．②①②得：．．（3）由（1）知是以3为首项，以3为公比的等比数列，．假设数列中存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列，．即．．即．，，，互不相同，不妨设，则，，与矛盾，数列中不存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列．例4．在数列中，，．（1）设，求数列的通项公式；（2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），（2分）又，所以，数列是首项为2、公比为2的等比数列，（4分）所以数列的通项公式为．（6分）（2）由（1）得．（7分）假设中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列，不妨设，则，（10分）于是，所以．（12分）因，，，且，所以是奇数，是偶数，（14分）不可能成立，所以不存在不同的三项，，成等差数列．（16分）例5．已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在两边减去4，得，所以数列是以为公比的等比数列；（2）数列首项为，数列的通项公式为，，．（3），即为由②知，时，，，代入①不成立，，代入①成立．所以存在正整数，，使成立，此时，．过关练习：1．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，对于任意的，总存在，使得成立，则2，．【解答】解：，，以及，，，都是大于1的正整数，．又因为．又，，则．又，由数的整除性，得是5的约数．故，，．故答案为：2；．2．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，若对于任意的，总存在，使得成立，则．【解答】解：，，以及，，，可取，又因为．又，，则．又，由数的整除性，得是7的约数．故，，．故答案为：．二．解答题（共19小题）3．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．【解答】解：（Ⅰ）设的公比为，则有，解得，或（舍．则，，（4分）．（6分）即数列和的通项公式为，．（Ⅱ），令，所以，（10分）如果是数列中的项，设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以，，1，．当或时，，不合题意；当或时，，符合题意．所以，当或时，即或时，是数列中的项．（14分）4．已知等差数列的公差，设的前项和为，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求，的值，使得．【解答】解：（Ⅰ）由，得，，即，化为，解得或，又公差，则，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由得，，即，又，，则，或，下面分类求解：当时，，解得，；当时，，解得，，故舍去；当时，，解得，故舍去；当时，，解得，，故舍去；综上得，，．5．已知数列的前项和为，且．数列满足，且，前9项和为153．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；（3）设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由．故当时，．时，，而当时，，，又，即，为等差数列，于是．而，故，，因此，，即；（2）．．易知单调递增，由，得，而，故，；（3），①当为奇数时，为偶数．此时，，，．②当为偶数时，为奇数．此时，．，（舍去）．综上，存在唯一正整数，使得成立．6．已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求出所有的正整数，使得．【解答】解：（1）设前6项的公差为，为整数，则，，因为，，成等比数列，所以，可得，解得或（舍去），所以时，，所以，，则，所以时，，所以（或或．（2）由（1）可得，，，0，1，2，4，8，，则当时，，当时，，，，当时，，当时，，，，假设存在正整数，使得．则有，即，可得，显然该方程无解，所以当时，不存在这样的，使得．综上可得，或．7．已知各项均为整数的数列满足：，，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数、使得：，请找出所有的有序数对，并证明你的结论．【解答】解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为，从第11项起构成的等比数列的公比为，由，可得，或．又数列各项均为整数，故；所以，．（2）数列为：，，，，，，，，，0，1，2，4，8，16，当，，，均为负数时，显然，所以，即，，，共有奇数项，即为偶数；又最多有9个负数项，所以，时，经验算只有符合，此时；，6，8时，经验算没有一个符合；故当，，，均为负数时，存在有序数对符合要求．当，，，均为正数时，且，因为是比1大的奇数，所以能被某个大于1的奇数整除，而不存在大于1的奇约数，故；故当，，，均为正数时，不存在符合要求有序数对；当，，，中既有正数又有负数，即，，，中含有0时，有，所以，因为负数项只有九项，我们按负数项分类：含1个负数项时，，0，1，符合，此时，；含2个负数项时，，，0，1，2，符合，此时，；含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时，，，，，0，1，2，4，8，符合，此时，；含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当，，，中既有正数又有负数时，存在三组有序数对，，符合要求；综上，存在四组有序数对，，，符合要求．8．已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．（1）求数列和的通项公式；（2）设，且对于给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列（其中，分别计算，3时满足条件的整数，的一组通解（答案用表示，需要相应的推理过程）；（3）当为奇数时，放在前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，该数列的前项和记为，是否存在正整数，，使得成立？若存在求出所有满足条件的，，若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）因为，于是数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，即，当时，，又因为，所以；又因为，于是数列是等差数列，设公差为，设的前项和为，由于，即，又，，所以；（2）由（1）可知，，若对于任何给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列，则，即，于是，所以，且则对任意的，能整除─，且──．由于当时，─1中存在多个质数，所以──1只能取1或─1或─，若，则，，于是，符合；若，则，矛盾，舍去；若，则，于是，矛盾．综上，当时，存在正整数，，满足，且使得，，成等差数列．（3）由（1）知，，则，，，，，，，，，，，构造的新数列，0，1，2，3，2，3，4，5，4，5，6，7，，，，，，，显然，所以，，假设，即有，当，，，因为，不能得到完全平方，故这样的，不存在．9．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）设，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）数列是各项均不为0的等差数列，由，又，．证明：（2），．解：（3），，，，若，，依次成等比数列，则，．由，得，，解得，又，且，，此时．故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，．（1）求数列、的通项公式及其前项和；（2）在数列中，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）：时，，解得．时，，，解得或．时，，舍去．．，由，（2）由（1）知，，，，若，，依次成等比数列，则，整理可得，解得，又，且，所以，此时．故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．11．已知各项均为正数的数列满足：，且，．（1）设，求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．【解答】解：（1）由题意知，，，数列是公比为2，首项为的等比数列，其通项公式为．（2）由（1）有，，为使，，当且仅当为整数．当，2时，不为整数，当时，，只需为整数，与3互质，为9的整数倍，当时，为整数，故的最小值为9．12．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有．（Ⅰ）若的首项为4，公比为2，求数列的前项和；（Ⅱ）若，试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以当时，，两式相减，得，而当时，，适合上式，从而，（3分）又因为是首项为4，公比为2的等比数列，即，所以，（4分）从而数列的前项和；（6分）（Ⅱ）因为，，所以，．（8分）假设数列中第项可以表示为该数列中其它，，项，，，的和，即，从而，易知，（9分）又，所以，此与矛盾，从而这样的项不存在．（12分）13．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，．（1）求的值；（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求的值；（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知，得，．由，，得，．因，都为大于1的正整数，故．又，故．再由，得．由，故，即．由，故，解得．于是，根据，可得．（2）由，对于任意的，均存在，使得，则．又，由数的整除性，得是5的约数．故，．所以时，存在正自然数满足题意．（3）设数列中，，，成等比数列，由，，得．化简，得．（※）当时，时，等式（※）成立，而，不成立．当时，时，等式（※）成立．当时，，这与矛盾．这