量子力学期末复习

第一章绪论

1.量子力学的研究对象和适用范围是什么？

量子力学（QuantumMechanics）是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运

动变化规律的科学。量子力学规律同时适用于微观世界与宏观世界，即全部物理学都是量子

物理学。

2.什么是量子现象？

在研究原子、分子、原子核、基本粒子时所观察到的关于微观世界的系列特殊的物理现象。

凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。

3.黑体：能够全部吸收各种波长的辐射，完全不发生反射和透射，且能发射各种波长的热

辐射能的物体称为绝对黑体（黑体）。如：空腔上的小孔、烟煤、太阳。

4.普朗克量子假说

“能量子”假设：能量是分立的，不是连续的。

物体吸收或发射电磁辐射时，辐射的能量不是连续的，而是分立的，它的取值只能是能量子

e=hv的整数倍。

5.什么是光电效应？它有哪两个突出的特点？写出爱因斯坦的光电效应方程。

金属被光（紫外光）照射时，有电子从金属表面逸出，这种现象称为光电效应。这种电子称

之为光电子。

突出特点：①存在临界频率vo：只有当光的频率大于一定值物时，才有光电子发射出来。

若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的

能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。

1,

光电效应方程：Ebn=-mev,n=hv-WQ

其中如为电子质量，Dm为电子的最大初速度，V为光子的频率，卬0为电子挣脱原子束缚

所需做的逸出功。

6.爱因斯坦光量子假说：

光（电磁辐射）不仅在发射和吸收时以能量E=%的微粒形式出现，而且以这种形式在空

间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。

7.什么是康普顿效应？为什么用X射线来进行实验？

X射线投射到石墨上发生散射，在散射的X射线中，不但存在与入射光波长相同的X

射线，同时还存在波长大于入射光波长的X射线，且波长增量随散射角增大而增大。这一

波长改变的散射称为康普顿效应。

因为X射线的能量远大于原子中电子的束缚能，光子的能量只能部分地被电子吸收，

能够观察到散射的X射线。

8.光电效应和康普顿效应的异同。

相同点：都涉及光子与电子相互作用

不同点：光电效应中，入射光为可见光或紫外线，光子能量为eV量级，与原子中电子的束

缚能相差不远，光子能量全部交给电子使之逸出，并具有初动能。康普顿散射中，入射光为

X射线或丫射线，光子能量为104eV量级，甚至更高，远大于原子中电子的束缚能，原子中

的电子可视为自由电子，光子能量只被电子吸收一部分并发生散射。

9.玻尔假定的基本内容。

（1）原子具有能量不连续的定态的概念。电子在原子中只能沿着一组特定的轨道运动，此

时原子处于稳定的状态（定态）；原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量

E1,E2,……,En的状态。处于这些状态时电子不吸收也不发出辐射；而处于基态（能量最低

态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着。

（2）量子跃迁。原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从能量为Em的定态

跃迁到另一个较低（高）的能量为En的定态，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频

率为：”\En-E,„\

mn—j

10.德布罗意关系。（光和实物粒子的波粒二象性）

E=hv=：a

,h〜,InvIn

hh=——a>=2兀vk=----n=——n

p=—n="ik2%c2

4

其中P和E为表现微观粒子粒子性的动量和能量，/7为普朗克常数，。、V、力和左分另IJ

表示微观粒子波动性的圆频率、频率、波长和波矢。

11.戴维逊-革末实验和汤姆逊实验证明了什么？

证明电子具有波动性，证明了德布罗意波的存在。

12.已知微观粒子的能量求其德布罗意波长。（课后习题1.2,1.3）

h12.26人

电场加速获得能量的电子:彳=

《2meU~y/u

第二章波函数和薛定娉方程

1.量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？

答：量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有

可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。

2.波函数的统计解释是什么？特性是什么？标准条件和归一化条件分别是什么？

波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度(波函数模的平方)和在该点找到粒子的

概率成比例。描写粒子的波是几率波。

特性：常数因子不定性和相因子不定性。

标准条件：单值性、连续性、有限性。

波函数的归一化条件「力=1(2.1-7)

oo

3.写出量子力学的态叠加原理。

若巧，吗,…,叫，…是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加于=C1用+C2+2

+...+CnTn+...(其中Cl,C2,...,Cn,...为复数)也是体系的一个可能状态。

处于甲态的体系，部分的处于用态，部分的处于％态…，部分的处于巴态，…，

这导致叠加态下观测结果的不确定性。

4.量子力学基本假定I：微观粒子的状态由波函数完全描述，由波函数可以得出体系的所

有性质。波函数一般应满足单值性、连续性、有限性三个条件。

量子力学基本假定II：波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程。

5.求解定态问题的步骤

求解定态薛定评方程分四步：

(1)列出各势域上的薛定青方程；

/+U(r)W(r)=修⑺匕(力)=〃“&)///'

(2)求解薛定谬方程；

本征值：昂片，…，E“，…

本征函数“2,…，甲…

(3)利用波函数的标准条件(单值、有限、连续)定未知数和能量本征值;

(4)由归一化条件定出最后一个待定系数(归一化常数)o

6.分别写出薛定娉方程和定态薛定娉方程，各自的适用条件是什么?

一般(含时)薛定谓方程:

，

卜a广(")=号内拄小位叫

适用于一切量子力学系统

定态薛定青方程：

F--.................................1

；［V2+C/(r)Mr)=E</(r)；

L/L™.___适用于势能不含时间的系统

7.本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于

一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数人为该算符的第n个本征值。

波函数叫为人相应的本征波函数。

8.什么是定态？定态的性质什么？写出定态一维无限深势阱和线性谐振子薛定丹方程的解。

定态:微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。描述定态的波函数称为定态波函数。

定态的性质：(1)能量有确定值，不随时间改变；

(2)粒子在空间概率密度与时间无关；

(3)概率流密度与时间无关；

(4)任何不含t的力学量期望值与时间无关。

一维无限深势阱的薛定谓方程的解为(-a<x<a))：

!纥=丁？，+“(羽力=-^sin饪(x+a)e卢(«=1,2,3,)J

I8ma7a2a

线性谐振子薛定谤方程的解为

1纥=力0(〃+；),6(4)=乂「#〃“(4)("=0,1,2,…)［］忤|

9.什么是隧道效应？

粒子能够穿透比它能量更高的势垒的现象。它是粒子具有波动性的生动表现。这种现象只在

一定条件下才比较显著。

10.透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度

与入射波几率流密度之比。

11.束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。

体系的势能在无穷远处为无限大，则波函数在无穷远处为0,使得体系的能级是分立的,

属于束缚态。

体系的波函数在无穷远处为有限，则粒子可以在无穷远处出现，波函数在无穷远处不为

0,此时体系能量可以为任意值，组成连续谱，属于散射态。

基态：体系能量最低的态。

12.证明：定态中，概率和概率流密度与时间无关。（课后习题2.1）

13.一质量为根的粒子在一维无限深势阱中运动求粒子的能量本征值和本征函数。（课后习

题2.3）

14.已知波函数的形式求概率分布函数，并给出几率最大或最小的位置。（课后习题2.5）

15.一维无限深势阱中粒子定态波函数为忆,（x）=、2sin吧，试求（1）粒子处于基态和

Vaa

第一激发态时，在x=0和x=a/3之间找到粒子的概率（2）概率密度最大值及其相应的位置。

1137rx

16.已知粒子一维矩形无限深势阱中运动的波函数为〃（幻=J-cos——（-a<x<a）,

Va2a

则（1）粒子在x=5a/6处的概率密度（2）发现粒子概率最大的位置？

第三章量子力学中的力学量

L算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数

上的运算符号。

厄米算符：如果算符户满足下列等式向*方。衣=信/。及，则称户为厄米算符。式中产

和。为任意波函数，尤代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。

量子力学中表示力学量的算符都是线性、厄米算符。

2.证明：厄米算符的性质：（1）厄米算符的本征值是实数。（2）厄米算符属于不同本征值的本

征函数彼此正交。

证明：（1）本征值方程为由▽=可

由厄米算符定义式：

CO0000O0

jW*Wi/zdr=j（户〃=J（几⑺*“dr=/*j

—00—00—00—

直接代本征值方程的结果：

0000oo

j\//*Fy/dT=j二2j

-CO—00-00

88CO

A*j=y/*i/dr（/_/*）j=0

—00

则有(2-2*)=0证毕.

证明：厄不算符的本征值和本征函数已知，

片服=4裔〃=1,2,…

由厄米算符定义式：

J0*F（/>mdr="户服）*</>mdT=J（-1）*adr

直接代本征值方程的结果：

f裔*户想办=J裔*=J—*娟T

（%-A,*）M*"/T=O

2X/lnf。*。dr=0证毕

3.算符与力学量的关系：当体系处于算符户的本征态。时，力学量F有确定值，这个值就是

算符户在。态中的本征值晨力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值,

这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。

4.什么是箱归一化？

将粒子限制在三维箱中运动，同时加上周期性边界条件，则可以将动量的连续谱变为分

立谱，用一般的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。

5.写出量子力学的第三条和第四条基本假定。

基本假定III：

若体系的状态波函数甲用算符方的本征函数的展开为：

“=2%媒（户媒=儿或）

n

则在步态中测量力学量厂时，得到结果为4的概率为除「。

即测量得到的所有可能值，都是相应的线性厄米算符的本征值。

基本假设IV：

量子力学中表示力学量的算符是厄米算符，且它的本征函数构成完备系。如果经典

力学中相应的力学量是坐标r和动量P的函数，则把经典表达式中的坐标保持不变，动量

换为动量算符就构成了量子力学中相应的力学量算符。

6.几个常见的力学量算符的本征函数和本征值。

例1：动量算针：上,a，a两两对易：

共同完备本征函数系：科》（尸）=八

（2九方）

各自的本证值：p„py,ps

例2：辄原子中：百，尸工z两两对易:

共同完备本征函数系：仁"）=&⑺二（&。）

各自的本证值：E/Q+DRmh

7.写出一般求解力学量算符平均值的两个公式。

F=ZIcJ4屋］V*（x声叭x）dx

,'犷为归一化波函数

尸屐=40"（x）=Ec。

n

8.算符对易关系：［a,用三a6一衣4»

可对易算符：如果［a,6］=o,则称算符X与盲是可对易的；

不对易算符：如果［a,公］NO,则称算符人与方是不对易的。

当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值

9.一组力学量同时具有确定值的条件是什么？

如果一组力学量算符有共同的本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算

符中的任何一个和其余算符对易。这个定理的逆定理也成立。

或：

一组力学量算符具有共同完备本征函数系（即同时具有确定值）的充要条件是这组算

符两两对易。

10.测不准关系：

[F,G]=ik=)(AF)2.(AG)2

4

写出坐标和动量的测不准关系

__________________.2

2

[x,px]=ihAx)・(△/?、.y>—

或写成：

简记之：Ax-Ap>—

2

11.证明基本对易关系

(1)1①,a1=〃1a=x,y,z

(2)[La,Lfl]=ea/3ril.Lra,/3,y=x,y,z

(3)[Z?,LJ=O

(4)[44]=0

(5)［女,/(x)］=-

ox

13.证明本征态问题：判断一个波函数是否是一个算符的本征函数，需要将其代入本征方程

中判断是否满足。

(1)证明收=无+》为角动量算符乙=(回,-前。的本征值为/的本征态。

(2)证明〃=y+/z为角动量算符A=(前二—功口的本征值为加的本征态。

(3)证明力=z+比为角动量算符'=(zpx-xpz)的本征值为h的本征态。

12

(4)证明波函数中=§%(3,。)+§、1(氏。)是上的本征函数。

⑸证明匕加=&⑺43,9)是角动量算符乙、2本征值分别为研、/(/+1诉的本

征函数。

14.设氢原子处于状态巧

”(r,9)=万，⑺。9)一3⑺兀(夕9)

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学

量的期望值。(课后作业3.9)

15.(1)在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数

〃(x)=Ax(a-x)描写，

12

(2)设〃(x)=Ae2*

(3)若粒子在［0,a］之间的一维无限深势阱中运动，波函数为

..7C„

Asin—x0<x<a

0(x)=ja

0x<0,x>a

(4)一维运动的粒子处于状态.

/、「Axe-x>0

0x<0

(5)设cp(x)=Ae-5陵1为常数)

求(1)归一化常数A；(2)计算动量的期望值百(3)%=?

第四章态和力学量表象

1.基底：设ei,e2,e3为线性无关的三个向量，空间内任何向量v必是ei,e3e3的线性组合,

则ei,e2,e3称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度

等于1,这样的基底叫做正交规范基底。

2.希耳伯特空间：如果把本征波函数中m看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有

时称为态矢量或态矢的原因)，则波函数的集合｛6m｝构成的一个线性空间。

3.表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。Q表象就是以Q算符的本征函

数为基底的表象

在Q表象中Quq(尤)=qUq(x)

UI(X),"2(尤)，Mn(X),...是Q表象的基本矢量，简称基矢

将中(XJ)按Q的本征函数展开：¥(%1)=2。“⑺M”(x)=*0)*(龙)心

"1(叫

(F

出⑺L11%耳32)

F?2F?3

n4。2

。“⑺4F32F33%

1)

J\••7

F

,„n=\u,^x)Fun｛x)dx

厄米矩阵的对角元为实数;而其余的各个非对角元素，对于主对角线是复数共辗反射对称的。

力学量算符在自身表象中为对角阵。

力学量算符在自身表象中本征函数(基矢)为3函数，相应的列矩阵只有一个非零元。

4.写出坐标表象和能量表象中各自的基矢、任意波函数、算符F矩阵元的狄拉克表示。

坐标表象将矢：㈤

任意波函数s^(x)s(jr^)1y>=Sw(x)l6

算符F矩阵元：几户|力

能量友象基矢：忖.|5)

任意波函数：q=Glw>।M>=ZC1/1)

算符睢阵元：")

5.写出下列各式的厄米共拆：

(c例方财+=〈同户M。*(L乙附*=〈〃|匕〉仇|

6.粒子处于一维无限深势阱的基态V^(x)=J-

sin—x(0<%<〃)，求该态在动量和能量

Vaa

表象中的表示形式。

解：动量表象：上

动里本征函数：%⑴一(2防y》%⑴:00

Up)”")4?

展开系数：]6-------pa

•a--px.Jlan1+e*

C(P)=J%*(x)%(x)dx=0"2J,

e-sm—xdx=22

oa："2.pa/12

此展开系数即为动量表象下波函数的表现形式。

能量表象：

2.n兀

.（X）—sm——x%(x)=Za”(M(x)

aa

本征函数：n

展开系数：（砌=J〃：⑴%（尤如=兀即波函数在自身表象中取6形式。

7.在Q表象的基矢有两个：｛域,右｝，算符户有如下性质：户域=3a+2人,户。2=2域,

求户的本征值和本征函数，并将F的矩阵对角化。

解：1）先求出Q表象中尸的矩阵表示，由公式：Fnm=^nF（/>udx

£1=J6京虬dx=J。；(3必+2心dx=3

心=J(f\F(/>2dx=J我2Mx=2

%=J“”由=J”；(301+2我)加=2，32、

、20,

82=J°；F(f)2dx=J2Mx=0

算符的本征值方程为：

(32、(a\o'

二X▼

(20也

（3-22

二0

120-矶以

。和b有非零解的条件是系数行列式等于零:

3-22,

=022-3/1-4=0=>(2-4)(2+1)=0

20—A

得到两个本征值：4=4%=-1

把4=4代入本征方程，可得：742a=o_a+2b=Q^a=2b

羊口右CI20-4人引

于是有：%1J

6可以由归一化条件来确定："1Vl==ln|2牙+|牙=ln/?=；

n=l,2A/5

得到第一个本征函数为

8.已知一力学量算符与在某表象中的矩阵表示为

，200、6010、

1“0-i'<01、

⑴B=b001(2)5=101⑶邑〜(4)S,=—

正21，0,X2UOJ

、010J010,

’010、<0—I0、’100、

1010-i,L=000,（/=1伍上））表象

工飞z

,010>100J,00T,

求方的本征值及本征函数。

第五章微扰理论

1.微扰论：由E,）求出纥，由/°）求出力的近似求解方法。

Wr

H=H+HM=EMH

适用范围：分立能级及所属波函数的修正。

基本精神：逐级近似。

2.什么是斯塔克效应？氢原子的一级斯塔克效应下，第一激发态到基态的的跃迁谱线有什

么样的变化？

斯塔克效应：氢原子在外电场作用下产生的谱线分裂现象。

当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了3条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一

条稍高于原来频率，一条稍低于原来频率。

3.分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。

%=〕嫦*方'必出

4.简述变分法的步骤。

（1）根据体系Hamilton量的形式和对称性推测合理的试探波函数（2）带入能量期望值表达式

中并对变分参量求一阶导数并令其等于0（3）求出能量最低状态的能量即基态近似能量，

代回波函数表达式得到试探波函数

5.写出含时微扰下的跃迁概率的定义式

设＜=0时体系处于月o第1个本征态中人

t时刻发现体系处于甲态

2

则发现体系处于①加态的概率即跃迁概率等于Iam(t)|

6.周期微扰产生跃迁的条件是：a)=±a)mk或%土方。，说明只有当外界微扰含有

频率?成时，体系才能从中上态跃迁到①”，态，这时体系吸收或发射的能量是方◎成，这

表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。

7.写出原子与辐射场相互作用引起的能级跃迁的三种形式。

自发发射：不受外界影响的由高能级到低能级的跃迁，放出光子；

受激发射：体系在外界作用下由高能级向低能级的跃迁，放出光子；

受激吸收：体系在外界作用下由低能级向高能级的跃迁，吸收光子；

8.求：设一个有微扰体系的哈密顿量为方=冗+百'，其中冗与方'在方。表象中的矩阵表

示已知，求微扰方'的作用下能量的二级修正。

00、'o04、

(1)

Ho=0E20H'=00%(E[<E?<E3)

Zoj

、0o/

00、0a、

(2)H'=00b(%<E2<E3)

Ho=0E20

、00匕b0?

£00、(0%a?'

(3)H'=a*0a(Ej<E<E)

HQ=0E20323

**fl

、00%

0b、

(4)㈤H'=