广东省廉江市2023-2024学年高考仿真模拟数学试卷含解析

广东省廉江市实验学校2023-2024学年高考仿真模拟数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=(-l,2),b=(x,x-l),若仅一2a)//a,则尤=()

12

A.-B.yC.1D.3

兀JT

2.已知函数/'(x)=sin(2019x+i)+cos(2019x-7)的最大值为M,若存在实数机,“，使得对任意实数x总有

/(a)</(%)</⑺成立，则“愀一”的最小值为()

兀4乃

A.-------B.-------C.

2019201920194038

1JT

3."sinx=—”是"X=2ATT+—（左eZ）”的（）

26

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.在正方体ABC。-44G。中，E,尸分别为CG，。〃的中点，则异面直线A尸，OE所成角的余弦值为()

A】B.孚C.半1

D.-

5

5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,

并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在［250,350］内的学生人数为()

A.800B.1000C.1200D.1600

jr3

6.在直角AABC中，NC=e，AB=4,AC=2,若">=万45,则()

A.-18B.-673C.18D.6出

7.设函数/'(%)是奇函数的导函数，当了>0时，f'(x)lnx<--f(x),则使得，—1)/(%)〉0成立

x

的X的取值范围是()

A.(-l,0)J(0,l)B.(-w-l)U(l,^)

c.(-i,o)?(1,?)D.y,-i)“(o,i)

8./(x)=《］在原点附近的部分图象大概是()

sinx

OO

ATO'B7TTF

c:DUli

♦「'itr

xlnx-2x,x>0

9.已知函数/(x)=23n的图像上有且仅有四个不同的关于直线y=T对称的点在g(x)=kx—l的图像

XH-X,XU

12

上，则后的取值范围是()

A.(J$B.(；,：)C.(1,1)D.(g,l)

x+y>-\

10.若实数X。满足不等式组2yW-l，则2x-3y+4的最大值为()

2x-y-l<0

A.-1B.-2C.3D.2

11.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,

有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学

拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝

时期专著的概率为（）

3749

A.-B.—C.—D.—

510510

12.已知非零向量a，人满足（a—（b-y[2a）1b,则。与人的夹角为（）

71U7T71

A.—B.—C.—D.一

6432

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在△ABC中，a=3,b=2#,B=2A,则cosA=.

14.若“5=40+〃1（*.2）+。2。＞2）2+.・・+。5（%-2）5,贝（IQ尸,〃1+〃2+.・・+。5=

22

15.如图，已知圆内接四边形A5CD,其中AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,则二一+--=.

sinAsinB

16.-十〔的二项展开式中，含五项的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）记函数/（x）=x+g的最小值为加.

（1）求加的值；

9

（2）若正数b,c满足abc=m,证明：ab+be+ca2--------.

a+b+c

18.（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打

车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天

的日平均气温（单位：℃）与网上预约出租车订单数（单位：份）；

日平均气温（℃）642-2-5

网上预约订单数100135150185210

（1）经数据分析，一天内平均气温xC与该出租车公司网约订单数V（份）成线性相关关系，试建立V关于x的回归

方程，并预测日平均气温为-7。（2时，该出租车公司的网约订单数；

（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于-5P,若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则

从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.

附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

〃n

、X（%一元）（%一9）X%%一》一

b----------------=-----------,a-y-bx

元）2Ex，一沅2

1=11=1

19.（12分）在四边形ABCP中，AB=BC=0/P=%,K4=PC=2；如图，将上4c沿AC边折起，连结P5,

3

使PB=PA,求证：

（1）平面ABC_L平面P4C；

（2）若E为棱上一点，且AP与平面PCV所成角的正弦值为且，求二面角尸―PC-A的大小.

4

20.（12分）如图，正方形AG/C是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等,

A~/处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红

绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从/处骑行到4处（不考虑A/处的红绿灯），出发时的两条路线

等可能选择，且总是走最近路线.

FTirTl

rHoa

（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？

（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E处，且全程不等红绿灯

的概率；

（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？

21.（12分）如图，已知椭圆♦==.，二为其右焦点，直线二二二二二-二二二v与椭圆交于二二二.二二.二

两点，点—在上，且满足-=---1=.（点从上到下依次排列）

（7）试用二表示二二|：

（〃）证明：原点二到直线/的距离为定值.

22.（10分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建

立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监

测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有耳氏有1套系统监测出排放超标，则

立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立

即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为。（0<p<1）,

且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当p=g时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统

每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计

算）？并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.

【详解】

由题意得，人一2〃=(2+%,%—5),

(b-2aj//a,

2(2+x)+x-5=0,

解得X=g.

3

故选A.

【点睛】

本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.

2、B

【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到〃x)=2sin(2019x+?),进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于

半个周期，最终得到结果.

【详解】

函数

f(x)=sin^2019x+^+cos^2019x-^=2^(sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x)

=V2(sin2019x+cos2019x)=2sin(2019x+?)

则函数的最大值为2,M=

存在实数私"，使得对任意实数x总有/(加卜/⑴4/⑺成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即

m-n>———2\m-n\=27r

20191l,mn2019

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.

3、B

【解析】

|jr57r

sinx=—ox=2左"+—(左eZ)或x=2br+——(左eZ),从而明确充分性与必要性.

266

【详解】

由sin%=—可得：冗=2k兀——（女£Z）或%=2ki+——GZ）,

266

JT1

即%=2k兀■一（％£Z）能推出sinx=—,

62

1JT

但sin%=—推不出冗=2左〃+—（左wZ）

26

171

“sinx=—”是“x=2左乃+—（左eZ）”的必要不充分条件

26

故选3

【点睛】

本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.

4、D

【解析】

连接跳，BD,因为3E//AF,所以/BED为异面直线AF与OE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,取3。的中点为G,连接EG,在等腰AB团中，求出cos/BEG=生=型，在利用

BE6

二倍角公式，求出cos/班。，即可得出答案.

【详解】

连接BE,BD,因为BE//AF,所以/BED为异面直线AF与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,则BE=DE=BBD=272-

在等腰AB田中，取BD的中点为G,连接EG,

_____h

则EG—《5—2=y/3>cos/BEG=-----=—产,

BE45

所以cosABED=cos2NBEG=2cos2ZBEG-1,

31

即：cosABED=lx——1=-,

55

所以异面直线AF,OE所成角的余弦值为g.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

5^B

【解析】

由图可列方程算得“，然后求出成绩在［250,350］内的频率，最后根据频数=总数x频率可以求得成绩在［250,350］内的

学生人数.

【详解】

由频率和为1,得(0.002+0.004+2a+0.002)x50=l,解得a=0.006,

所以成绩在［250,350］内的频率=(0.004+0.006)x50=0.5,

所以成绩在［250,350］内的学生人数=2000x0.5=1000.

故选：B

【点睛】

本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.

6、C

【解析】

Ar1

在直角三角形ABC中，求得cosN0LB=—=-,再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量

AB2

积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值.

【详解】

JT

在直角AABC中，NC=一,AB=4,AC=2,,

2

AC1

cosZCAB=-----=—,

AB2

3

若AD=5AB,则C£)(8=04。-AC).(AB-AC)=AOAB-A。AC-ACAB+AC?

3232351

=-AB--ABAC-ACAB+AC=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故选C.

【点睛】

本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题.

7、D

【解析】

构造函数，令g(x)=lnx"(x)(x>0),贝!Jg'(x)=ln矿⑴+

X

由广(X)/加〈一工“X)可得g'(九)<0,

则g(x)是区间(0,+8)上的单调递减函数，

且g⑴=lnlx/⑴=0,

当工£(0,1)时Znx<0,/(x)<0,(x2-lV(^)>0；

2

当x£(1,+co)时,g(x)v0,:lnx>09•'•/(x)<0,(x-l)/(x)<0

•・VG)是奇函数，当(工0)时於)>0,(xMM»v0

:.当(・oo,・l)时次r)>0.

综上所述，使得(X24)/(X)>O成立的X的取值范围是(―,一1)。(0,1).

本题选择。选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似

乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、

化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据

题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解

决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

8、A

【解析】

分析函数y=/(x)的奇偶性，以及该函数在区间(0,句上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.

【详解】

令sinx/O,可得上心左eZ},即函数y=/(x)的定义域为卜卜/左左,左wZ},定义域关于原点对称，

cos(-%)cos%

»=.=■__=_/(x),则函数y=/(x)为奇函数，排除C、D选项；

sin(—x)sinx

cosx

当Ovxv兀时，68sx>0,sinx>0,贝!!/(%)=---->0,排除B选项.

sinx

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分

析问题和解决问题的能力，属于中等题.

9、D

【解析】

根据对称关系可将问题转化为/(%)与丁=-履-1有且仅有四个不同的交点；利用导数研究/(X)的单调性从而得到

“X)的图象；由直线y=-日-1恒过定点4(0,-1),通过数形结合的方式可确定—左€(左ACAB)；利用过某一点曲

线切线斜率的求解方法可求得心。和心B，进而得到结果.

【详解】

g(x)=^—1关于直线y=-l对称的直线方程为：y=-kx-l

原题等价于/(%)与y=-日-1有且仅有四个不同的交点

由y=—6―1可知，直线恒过点A(0,—1)

当尤>0时，/'(%)=lnx+l-2=lnx-l

・・・〃力在(0,e)上单调递减；在3”)上单调递增

由此可得/(%)图象如下图所示：

其中A3、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为民C

由图象可知，当—左e（七c，L）时，/（%）与丁=-履-1有且仅有四个不同的交点

、“—/，―、“mInm-2/TJ+I”0

设C。%和Inm—2加），m>0,贝!I左起=也加一1=-----------,解得：m=l

m—0

••^AC~—1

231

=2Cn+,—3=---2--，解得：7Z=—1

2n-Q

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能

够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.

10、C

【解析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线/,平移该直线可得最优解.

【详解】

作出可行域，如图由射线A3,线段AC,射线CD围成的阴影部分（含边界），作直线/：2x-3y+4=0,平移直线

I,当/过点C（U）时，2=2X一3丁+4取得最大值1.

故选：C.

D

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形.

11>D

【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝

时期.记这5部专著分别为a,4c,d,e,其中”,dC产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数

学文化”校本课程学习内容，基本事件有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共10种情况，所选2部专著中至少有一部

是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有a）,ac,ad,ae,A/d/e,cd,ce,,共9种情况，所以所选2部专著中至

mQ

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为「=一=;;;.故选D.

n10

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有⑴枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；⑵树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4，用），（4,2）….（4,反），

再（4,4）,⑷也）..…（4,凡）依次（4,瓦）（4,不）.…⑷,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

12、B

【解析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a与人的夹角.

【详解】

根据平面向量数量积的垂直关系可得（a-6b\a=J-应a.b=。,

（b—yf2a^-b=b—yf2a-b=0,

IIFI

所以j=6a-b，即。，

由平面向量数量积定义可得/卜闾"Wcos”），

所以cos（a0=等，而,，。卜［0,句，

TT

即。与5的夹角为：.

4

故选：B

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、逅

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解.

【详解】

解：b=2a,B=2A,

...由正弦定理可得：三n=——h=——h--

sinAsinBIsinAcosA

.Ab2瓜瓜

••cosA--------♦

2a2x33

故答案为逅.

3

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题.

14、80211

【解析】

由尤5=[2+(x—2)],利用二项式定理即可得%,分别令x=3、％=2后，作差即可得Qi+o2"1----

【详解】

由题意％5=[2+(x—2升二则q=小24=80,

令x=3,得%+a1+。2H----F%=3，=243,

令％=2,得〃0==32,

故+tz9+■■■+为=243—32=211.

故答案为：80,211.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.

15、巫

3

【解析】

由题意可知A+C=〃，B+D=TC,在AABD和A6CD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos8,求sinA,sin5,代入求值.

【详解】

由圆内接四边形的性质可得NC=180°—NA,N£>=180°—N反连接RD,在AABZ)中，

222

有皮J?=.2+0cosA.在ABCD中，BD=BC+CD-2BCCDcosC.

所以AB?+池？—2Ag•0cosA=BO?+CD?+2BC.o)cosA,

A§2+A£>2—BC?-CD?62+52—32—42I，所以sinA=Jl—cos2A=Jl—*

则cosA=

2(AB-AD+BC-CD)2(6x5+3x4)

AB?+BC2-AD?—CD?62+32—52—421

连接AC,同理可得cosB=

2(AB-BC+AD-CD)2(6x3+5x4)19

~6A/10g”22142x194屈

所以sin3=-cos2B==------•所以-------1-----=--7=H---7=^=----

19sinAsinB2^106^103

故答案为：生叵

3

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是

熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.

16、-160

【解析】

写出二项展开式的通项，然后取x的指数为:求得厂的值，则五项的系数可求得.

【详解】

5丫1

由3-2-=—,可得r=3.

62

含G项的系数为(-1)3-26-3-^=-160.

故答案为：-160

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)m=l(2)证明见解析

【解析】

(1)将函数/(九)转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；

(2)利用基本不等式或柯西不等式证明即可.

【详解】

11

—3xH—,Jc<——

22

31

解法一：(1)f(x)=<-x+-,-一<xw

2

C11

5x—,x>——

、22

当g时，2,

当十W，…导

1,

当X〉:时，/(x)>/Q^|=l,

所以"=/min(X)=l

—3xH—,X<—

22

311

解法二：(1)/(%)=<一%+^,—5<xK]

c11

3x—,x>一

[22

如图

K!/

|V

--♦-?一

当X=1■时，根=£in(x)=l

解法三：(1)/(%)=X+—+X-—+X-—>|x+—|+%--

222I2)12)2

,1,

=1+X——>1

即》=,时，等号成立.

当且仅当

2

当X=1■时机=Xnin(X)=l

解法一(2)由题意可知，cib+be+CCL——I---1—9

cab

9

因为〃>0,b>0,c>0,所以要证明不等式〃b+bc+co2--------

a+b+c

只需证明|-H---F—|(a+Z?+c)>9,

\cab)

因为(，+4+工](〃+/?+。)23：/^—3^^=9成立，

cab

所以原不等式成立.

解法二：(2)因为a>0，Z?>0,c>0,所以

a+b+c>3y/abc>0,

又因为"c=l,

所以(a+Z?+c)(ab+Z?c+ac)23月abc•3,〃252c2=9，

(ab+bc+ac\a+b+c)>9

9

所以ab+bc+caN-------,原不等式得证.

a+b+c

补充：解法三：(2)由题意可知，ctb+be+cu=—I---1—,

cab

9

因为〃>0,Z?>0,c>0,所以要证明不等式ab+bc+caN-------，

a+b+c

只需证明|—H—+—|(a+Z?+c)>9,

\abc)

/111\(11]\2

由柯西不等式得：—I--1■—(tz+Z?+c)>y[a•—=+y[b•—j=+y/c-—j==9成立，

bcjIyja<c)

所以原不等式成立.

【点睛】

本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查

了学生的逻辑推理和运算求解能力.

3

18、(1)y=-9.5x+165.5,232；(2)-

【解析】

(1)根据公式代入求解；

(2)先列出基本事件空间O,再列出要求的事件，最后求概率即可.

【详解】

解：(1)由表格可求出于=1,9=156,X%，=20,5R9=780,X%；=85代入公式求出B=—9.5，

Z=1Z=1

所以a=]_/^=165.5,所以,=_9.5x+165.5

当x=-7时，y=(-9.5)x(-7)+165.5=232.

所以可预测日平均气温为-7P时该出租车公司的网约订单数约为232份.

(2)记这5天中气温不高于-5。(3的三天分别为AB,c,另外两天分别记为。，石，则在这5天中任意选取2天有

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有

AD,AE,BD,BE,CD,CE,共6个基本事件，

所以所求概率=*=|，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为1.

【点睛】

考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.

19、(1)证明见详解；(2)当

6

【解析】

(1)由题可知，等腰直角三角形ABC与等边三角形PAC,在其公共边AC上取中点。，连接08、OP,可得

OB±AC,OP±AC,可求出OP=JL在中，由勾股定理可证得03,结合。PcAC=O,可证明

OB，平面PAC.再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC，平面PAC.

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,由点尸在线段上，设AF=〃2A8(0(根＜1),

得出的坐标，进而求出平面PbC的一个法向量〃.用向量法表示出AP与平面PC尸所成角的正弦值，由其等于

B,解得〃.再结合为平面P4C的一个法向量，用向量法即可求出〃与的夹角，结合图形，写出二面角

4

厂一PC—A的大小.

【详解】

jr

证明：(1)在AR4C中，PA=PC=2,NP=—

3

.•.34C为正三角形，且AC=2

在ABC中，AB=BC=拒

ABC为等腰直角三角形，且

取AC的中点。，连接03,0。

:.OB±AC,OP±AC

OB=1,OP=®PB=PA=2,

:.PB2=OB2+OP2，

：.OPLOB

OPAC=O,AC,OPu平面PAC

05,平面PAC

03u平面ABC

..平面ABC±平面PAC

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,则

A(0,-l,0),B(l,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,币),

AB=(l,l,0),AP=(0,l,^)>

CP=(0,-1,0),CA=(0,-2,0),

设AR=mAB(0<m<1).贝！ICF=CA+AF=(m,m-2,0)

设平面PFC的一个法向量为n=(x,y,z).则

n-CF=0

n-CP=0

nvc+y(m-2)=0

-y+-j3z=0'

2—772[T

,r-x=------73

令y=6,解得Sm

z=1

AP与平面PFC所成角的正弦值为旦,

4

n-AP273_y/3

\n\\AP\2-"+3+」彳

Vm

整理得3-+4m—4=0

2人

解得加=§或加二一2(含去)

/.n=(2A/3,1)

又OB为平面PAC的一个法向量

n-OB_y/3

/.cos〈氏OB)=HM=T

jr

二面角F-PA-C的大小为.

o

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.

20、(1)6种；(2)—；(3)/一尸—CfA.

64

【解析】

(1)从4条街中选择2条横街即可；

(2)小明途中恰好经过E处，共有4条路线，即OfA,ITHTETBTA,IfFfEfDfA,

IfFfEfBfA,分别对4条路线进行分析计算概率；

(3)分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.

【详解】

(1)路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可，所以路线总数为C：=6条.

(2)小明途中恰好经过E处，共有4条路线:

1313

①当走EfOfA时,全程不等红绿灯的概率A=-x-x-xl=—；

②当走/fHf石f8fA时，全程不等红绿灯的13概1率1忘3;

③当走/—＞尸—＞石—-A时，全程不等红绿灯的概率23=5'1、］、1=瓦；

④当走厂.石f时，全程不等红绿灯的概率P4=；x；x；x；=W，

所以途中恰好经过E处，且全程不等信号灯的概率

331311

p=PT+p2+Pa+PA=-----'--------1----1----=--

1234321283212864

(3)设以下第i条的路线等信号灯的次数为变量X”则

①第一条：则E(Xj=|；

②第二条：/-尸-C-Bf