广东省揭阳市2024届数学高二年级上册期末考试试题含解析

广东省揭阳市2024届数学高二上期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.圆X?+—6y+8=0与圆X?+旷—8x=0的位置关系为（）

A.内切B.相交

C.外切D.外离

2.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子

A.9cmB.6cm

C.3cmD.4.5cm

3.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为:

一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（）

4020

A.—B.—

3131

105

C.—D.—

3131

4.已知三棱锥0-A3C,点、M,N分别为A3,。。的中点，且。1==仇（9。=c，用a'c表示MN，则MN

等于（）

B.~(a+b+c

2、

-(a-b+cD.-(c-a-b

2、2、

5.圆(x-5)2+(y-3)2=16与圆f+丁-4x+2y+4=0的位置关系是()

A.内含B.相交

C.外切D.外离

6.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、

短半轴长分别为。力，则椭圆的面积公式为5=次力，若椭圆的离心率为:，面积为2岳，则椭圆的标准方程为

()

222222

A.土+y2=i或二十3=1B.±+匕=1或匕+土=1

444343

222222.2-2

C.—+—=—+—=1D.——十—=1或一+—=1

6363169916

7.已知Z?<O<a,则下列不等式一定成立的是()

11

^.b2<a2B.—<—

ba

C.—bV—aT).a—b<a+b

8.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()

2…，推断：数列｛4｝的前几项和SR=〃2

A.由求出S]=P,S2=2,其=32,

B.由/(x)=xcosx满足对VxeH都成立，推断：/(x)=xcosx为奇函数

C.由半径为r的圆的面积S=»产，推断单位圆的面积5=乃

D.由(1+1)2>2、(2+叶>22,(3+1)2>23,…，推断：对一切〃wN*，(n+1)2>2"

9.抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋

转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点

在它的主光轴上.如图所示的太阳灶中，灶深。即焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为1m,则灶口直径AB为()

A.2mB.3m

C.4mD.5m

io.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2%的是

22

A.%2--=1B.-——y2=l

44'

22

C.—x2=lD.y2--=1

4-4

11.已知直线mx—2y+l=0,12：x—伽一1）,—1=0,则“》i=2"是"。平行于的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

22

12.曲线C：」-£=1（。＞02〉0）的一个焦点歹到两条渐近线的垂线段分别为E4,FB,。为坐标原点，若四边

形。4歹3是菱形，则双曲线C的离心率等于（）

A.0B.6

C.20.75

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到

大依次排列，若排在第一位的编号是05,那么第四位的编号是

14.已知椭圆的左、右焦点分别为耳，F2,过点鸟的直线与椭圆交于A,B两点,线段45的长为5,若2a=8,那

么△A3月的周长是.

15.已知曲线丁=17与曲线y=e*—1有相同的切线、=履+6,则匕=

22

16.双曲线:-g=l的一条渐近线的一个方向向量为加=（"））,则:=（写出一个即可）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，C是以A3为直径的圆上异于A,3的点，平面平面筋已四:^^二人^二工瓦厂分别是

PC,P3的中点.

(1)证明：所，平面PAC；

(2)若直线A3与平面PAC所成角的正切值为2,求锐二面角P-AF-£的余弦值.

18.(12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABC。满足筋LAD,ABLBC,SAL底面ABC。，且

SA^AB=BC=1,AD=0.5.

(1)证明A£>〃平面MC；

(2)求平面SBC与平面5AD的夹角.

19.(12分)已知函数/(x)=W.

e

(1)求函数八尤)的极值；

(2)若以29+(2%+1把*+1-％20对也611恒成立，求实数a的取值范围.

20.(12分)浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政

治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门科目中自选3门参加考试.下面是某校高一200名学生在一次检测

中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60百分位数；

(3)若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”

的概率

21.(12分)设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，椭圆右焦

点也为，离心率为

(1)求抛物线方程和椭圆方程；

(2)若不经过的直线与抛物线交于、两点，且(为坐标原点)，直线与椭圆交于、两点,

求面积的最大值

22.(10分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的

评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，根据圆心距和半径的关系，判断两圆的位置关系.

【详解】圆f+y2—6y+8=。的标准方程为三+4—3)2=1,

圆x~+y?—8x=0的标准方程为(x—4)2+y~=16,

两圆的圆心距为J42+3?=5=1+4，即圆心距等于两圆半径之和，

故两圆外切，

故选：C.

2、A

【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出

1Ajr1

【详解】由题意可得，一X——X4.53=-X^X4.52X/I,解得〃=9.故选：A

233

3、C

【解析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.

【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为外,公比为q=2,

则也二£)=5,解得。1=工

1-231

所以第二天织布的尺数为出=3x2=平.

3131

故选：C

4、D

【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.

【详解】MN=MA+AO+ON^^BA-OA+^OC

^-(OA-OB]-OA+-OC

2、>2

=--OA--OB+-OC

222

=3卜一口一b).

故选：D

5、C

【解析】分别求出两圆的圆心、半径，再求出两圆的圆心距即可判断作答.

【详解】圆(x—5)2+(y—3)2=16的圆心G(5,3),半径4=4,

圆/+丁2_4*+2>+4=0,即(x—2r+(y+1]=1的圆心C2(2,—1),半径々=1,

则|CGI=J(2-5)2+(—1—3)2=5，即有ICC+4，

所以圆(x—5y+(y—3)2=16与圆Y+y—4x+2y+4=o外切.

故选：C

6、B

【解析】根据题意列出a,4c的关系式，即可求得储=4,〃=3,再分焦点在x轴与V轴两种情况写出标准方程.

222

【详解】根据题意—=—,S=7iab=2•兀,a=b+c,可得/=44=3,c?=1,

a2

2222

所以椭圆的标准方程为二+乙=1或上+土=1.

4343

故选:B

7、B

【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.

详解】对于A,如。=5,匕=-10,满足条件，但〃〈/不成立，故A不正确；

对于B,因为3<0<a,所以,<0,L〉0,所以!<1，故B正确；

baba

对于C,因为匕<0<a,所以-b>0,—a<。，所以—B<—a不成立，故C不正确；

对于D,因为匕<0<a,所以一b>b,所以a—Z>>a+Z?,故D不正确.

故选：B

8、A

【解析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.

【详解】对于A,由4=2〃-1,求出d=12,82=22,邑=32,…，

推断：数列｛为｝的前"项和，是由特殊推导出一般性的结论，

且S“=l+3+…+(2〃—1)=〃2,故A正确；

B和C属于演绎推理，故不正确；

对于D,属于归纳推理，但〃=6时，结论不正确，故D不正确.

故选：A.

9、C

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为丁2=2°九(〃>0),根据。(1,0)是抛物线的焦点，求得

抛物线的方程y2=4x,进而求得A3的长.

【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，。与C重合,

设抛物线的方程为y2=2PMp>0),

由题意可得。(1,0)是抛物线的焦点，即孑=1，可得P=2,

所以抛物线的方程为y2=4x,

当％=1时，可=2,所以|A@=4m.

故选：C.

【解析】焦点在y轴上的是C和D,渐近线方程为y=+—x,故选C

b

考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的简单几何性质

11、C

【解析】利用两直线平行的等价条件求得如再结合充分必要条件进行判断即可.

【详解】由直线〃平行于得一机(m一l)=lx(—2),得加=2或加=-1,经验证，当机=—1时，直线。与，2重合，

舍去，所以“雨=2”是“平行于//的充要条件，

故选C.

【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题

12、A

【解析】依题意可得。4EB为正方形，即可得到从而得到双曲线的渐近线为>=±乙即可求出双曲线的

离心率；

【详解】解：依题意E4LQ4,FBLOB,且四边形。4EB为菱形，所以Q4EB为正方形，所以即双

曲线的渐近线为y=±x,即a=。，所以e=£=、忙邙1=血;

a\a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、29

【解析】根据给定信息利用系统抽样的特征直接计算作答.

【详解】因系统抽样是等距离抽样，依题意，相邻两个编号相距£40=8,

所以第四位的编号是5+3x8=29.

故答案为：29

14、16

【解析】利用椭圆的定义可知|伍|+|秋|=20=忸闾+忸胤，又取2的周长|9|+忸阊+|钻|,即可求焦点

三角形的周长.

【详解】由椭圆定义知：|然|+|明|=2。=忸阊+忸耳卜

所以△即月的周长为|至|+忸阊+|钻|=|至|+|秋|+忸闾+|班|=4a=16.

故答案为：16.

15、0

【解析】设切点分别为人（国,%）,利用导数的几何意义可得左=9一］=旷2,则为―%=1.由％=9一,

%=e*-1,计算可得k=丝』=1,进而求得A点坐标代入方程即可求得结果.

x2一百

【详解】设切点分别为B（x2,y2）

由题意可得左=t=e“2,则玉—1=%，即%—々=1

因为必=0、％=即一1,所以、二上显:e"le*=],即p-'i,解得罚=1,

%2一%—1

所以4U）,则1+A=1,解得6=0

故答案为：0

16、且（答案不唯一）

2

【解析】写出双曲线的渐近线方程，结合方向向量的定义求巴即可.

V

【详解】由题设，双曲线的渐近线方程为丁=土当X，又加=（〃#）是一条渐近线的一个方向向量，

所以m=（"0）或加=卜"0）或m=（点一0）或加=卜"-0）,

所以幺=，6或2=一逅.

V2V2

故答案为：渔（答案不唯一）

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析

⑵也

19

【解析】（1）由瓦尸分别是P5PC的中点，得到BC//EF,在由是圆的直径，所以结合面面垂直

的性质定理，证得面PAC,即可证得EFL面尸AC；

（2）以C为坐标原点，C4为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求

得平面AEF与平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：在PBC,因为E,尸分别是PB,PC的中点，所以BC//EF,

又因为是圆的直径，所以5CLAC,

又由平面？AC，平面ABC,平面PACi平面ABC=AC,且BCu平面ABC,

所以面PAC,

因为BCUEF,所以石尸，面PAC.

【小问2详解】

解：由（1）知面尸AC,所以直线A3与平面尸AC所成角为N54C,

由题意知gg=2,BC=4,以C为坐标原点，C4为A•轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空

间直角坐标系，如图所示，

可得4(2,0,0),3(0,4,0),「(1,0,若),石|,O,^j,F

则AE=-|，°，¥，EF=(0,2,0),AP=(-1,0,73),AF=-|,2,^

3y/3

、日-3-.,../、_.AE•m=—X]H-----z[二°

设面AE/7的法向s量为根=(石,%，4),贝“22，

EF-m=2y1=0

取为=1,可得乂=0/1=百，所以机=,

AP-n=-x2+A/3Z2=0

设面B4尸的法向量为〃=(%2，%，Z2)，贝卜36

AF，ri=—%2+2%-----z1=0'

、22

取Z2=l,可得"所以"=6洋1,

2127

in.“2J572屈

则|cos〈私外|=------=^—,所以锐二面角P—A尸—石的余弦值为

|m||n|1919

18、(1)证明见解析

,、71

(2)—

4

【解析】(1)由已知结合线面平行判定定理可得；

(2)建立空间直角坐标系，由向量法可解.

【小问1详解】

VAB±AD,ABLBC,：.AD//BC,

又AZ)U平面SBC,BC4平面SBC,

BC〃平面S4D；

【小问2详解】

；&4_L平面ABC。且AB、ADCu平面ABC。，：.SA±AB,SALAD,又

故分别以AD,A3,AS所在直线为x轴，，轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，

如图所示：

由&1=帅=5。=1,AD=L

2

可得：A(0,0,0),3(0,1,0),C(l,l,0),D(1,0,0),S(0,0,l),

由已知SA_L平面ABC。，ABI平面ABC。，SA±AB,AB±AD,

SA\AD=A,SA,A£)u平面&ID,

所以平面SW,

.•.AB为平面SW的一个法向量，且A3=(0,1,0)；

设〃=(x,y,z)为平面SBC的一个法向量，

则〃，3C，n±SB>

n,BC=0>n-SB=0>

BC=(1,0,0),S5=(0,l,-l),

x=0

[y-z=o

令z=l,贝!Jx=0,y=i,

.•."=(0,1,1),

设平面154n与平面SBC的夹角大小为e,

1V2

cos0=|cos<AB,n>|=-----=---,

lxV22

ITTF

由0e(0,=]得：平面SCD与平面SAB的夹角大小为

24

19、(1)极大值为工，无极小值

e

(2)[0,+co)

【解析】(1)求函数的导数，根据导数的正负判断极值点，代入原函数计算即可；

(2)将以2e*+(2x+l)e'+i—x»0变形，即口之工—巴与0对X/xe(—8,0)(0,+8)恒成立，然后构造函数,

XQX

利用求导判定函数的单调性，进而确定实数”的取值范围..

【小问1详解】

对函数了。)求导可得：r(x)=T

可知当xe(—a?,l)时，/'(x)>0,xe(L+8)时，f'(x)<0,

即可知/(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+<»)上单调递减

由上可知，f(x)的极大值为了⑴二,,无极小值

e

【小问2详解】

由ax2ex+(2x+De'-x20对VxeH恒成立，

当x=0时，e»0恒成立;

当时，以2旷+(2x+l)e'M—xNO对Vxe(-oo,0)U(0,+<»)恒成立,

可变形为：a23-e(2'+1)对^(_oo,0)、(0,+o。)恒成立,

xex

令g(x)=二-e(2;+l),%(-oo,0)L(0,+oo),

xex

贝！JaNglAOma^xel-co,。)，(0,+oo)；

%+1+2e(x+1)

求导可得：g'(x)=-

x2e-X3

(2ex+1-x)(x+l)e12e—；(x+l)

x3ex3ex

|xY

由(1)知2e>—2—即2e——>0恒成立,

eexex

当xe(0,+s)时，g'(x)>0,则g(x)在(0,+s)上单调递增;

x(l-2ev+1-ex+1

又g(x)=!e(2尤+1)

x2x2eA

因xe(0,+oo),故1—2e*+i<0，x(l-2el+1)-e'r+1<0,

所以g(x)<0在(0,+s)上恒成立,

当xe(—oo,0)时，令g'(x)=O,得％=-1,

当xe(-oo,-l)时，g'(x)>0,g(x)在(一8,T)上单调递增,

当xe(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)在(-1,0)上单调递减，

从而可知g(x)的最大值为g(—l)=。，即g(x)<。,

因此，对,0)50,+8)都有8。)<0恒成立，

所以。之0,实数。的取值范围是［0,+«)).

20、(1)a=0.005

3

(2)232(3)-

5

【解析】(1)由频率和为1列方程求解即可，

(2)由于前3组的频率和小于0.6,前4组的频率和大于0.6,所以三科总分成绩的第60百分位数在第4组内，设第

60百分位数为了,则0.45+0.0125x(』-220)=0.6,从而可求得结果，

(3)利用列举法求解即可

【小问1详解】

由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)x20=1,

解得a=0.005

【小问2详解】

因为(0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.6,(0.002+0.0095+0.011+0.0125)x20=0.7>0.6,

所以三科总分成绩的第60百分位数在［220,240)内，

设第60百分位数为X,则0.45+0.0125X。-220)=0.6,

解得了=232,即第60百分位数为232

【小问3详解】

将物理、化学、生物、政治、技术5门学科分别记作a,b,c,d,e,则

。={(a,伍c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,

事件A表示小明选中“技术”，贝！IA={(a,b,e),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e)},

3

所以P(A)=-

21、(1)抛物线方程为，椭圆方程为

(2)