2024年高考第二次模拟数学试题及答案（江苏专用2024新题型）

2024年高考第二次模拟考试

高三数学（江苏卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

858788898990919192939393949698

则这组数据的40%分位数为（）

A.90B.91C.90.5D.92

2.已知双曲线C：V—去=13>0）的离心率则h的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,72）C.（l,+oo）D.（6+oo）

3.设等差数列｛4｝的前〃项和为若%+线+%+40+%]=20,则工7=（）

A.150B.120C.75D.68

已知角。满足tan-,则sin2a=(

74

99

已知在ABC中,点。在边8C上，S.BD=5DC,贝1JA。

iuum5uun1441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-AC-AB+-AC

66665555

6.已知加，”是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若加〃〃，且"ua,则机//1B.若/_L”,且〃ua,则力?_La

C.若mlla,且％///?,则a//£D.若且相，£,则。〃力

7.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行.秉持杭州亚

运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适

度.在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能

从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）

A.18B.24C.36D.48

20221

8.已知。=e-痂，6=ln2024-ln2023,c=,则（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<a

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知复数Z=l-3i,z2=（2-i）\Z3=¥/9,则（）

A.4+Z2=4+7iB.zee的实部依次成等比数列

Z”Z2，Z3的虚部依次成等差数列

c.^|zj=2|z2|D.

10.如图，点A点C是函数〃x）=sin3x+e）（0>O）的图象与直线y=3相邻的三个交点,且

D.若将函数“X）的图象沿x轴平移6个单位，得到一个偶函数的图像，则|M的最小值为或

11.已知定义域为R的函数“X）,满足=42-"（2-y）,且〃0）w0,

〃一2）=0,则（）

A./（2）=1B.是偶函数

c."（x）［+［/（2+x）］=1D.，/（i）=T

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1l+gj(l-2x)4的展开式中常数项为.

13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和3为7r三，侧面积分别为S甲和S乙，体积

分别为3口%.若建=2,则标.

14.在三棱锥P—ABC中，AP,AB,AC两两互相垂直，AB=AC,AB+AP=9,当三棱锥尸-ABC

的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)已知函数/(x)=尤111%-依2+a(awR).

(1)若函数/(x)在x=l处的切线与直线2x-y+l=0垂直，求实数a的值.

(2)若函数/(x)存在两个极值点，求实数〃的取值范围.

16.(本小题满分15分)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，

某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比

赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比

3

赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是手

(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；

(2)若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及

期望.

17.(本小题满分15分)如图，多面体PS-ABCD由正四棱锥P-ABCD和正四面体S-尸BC组合

而成.

(1)证明：&//平面ABC。；

(2)求AS与平面PAD所成角的正弦值.

22

18.(本小题满分17分)已知椭圆C:\+与=1(〃＞。〉0)的右焦点是尸，上顶点A是抛物线炉=分

ab

的焦点，直线AF的斜率为-；.

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/：＞=履+〃2(〃?片1)与椭圆C交于RQ两点，尸。的中点为当NPM4=2/PQA时,

证明：直线/过定点.

19.(本小题满分17分)已知数表4"=["%"劭']中的项为”1,2;/=1,2,.♦,〃)互不相同,

%2,a2n)

且满足下列条件：

①为e{1,2,,2〃}；

②(T严际f)＜。(%=1，2,，〃).

则称这样的数表4〃具有性质尸.

(1)若数表42具有性质P，且%=4,写出所有满足条件的数表42,并求出知+%2的值；

(2)对于具有性质P的数表4“，当知+生+…+%取最大值时，求证：存在正整数左。4左W”),

使得&i=2〃；

(3)对于具有性质P的数表4“，当〃为偶数时，求％i+%2+…+q”的最大值.

2024年高考第二次模拟考试

高三数学（江苏卷）•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

858788898990919192939393949698

则这组数据的40%分位数为（）

A.90B.91C.90.5D.92

【答案】C

【解析】由题意，15x0.4=6,故这组数据的40%分位数为从小到大第6,7位数据的平均数,

即^~工=90.5.故选：C

2

2.已知双曲线。:丁-m=1（6>0）的离心率6<a,贝!|6的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.D.（"+⑹

【答案】A

【解析】由已知可得双曲线的焦点在V轴上时，a=l,c2=l+b2,

所以e=£="+"〈应,1+万<2,由6>0,解得0<6<1.故选：A.

a1

3.设等差数列｛%｝的前〃项和为工，若%+线+%+即）+%1=20,则）、7=（）

A.150B.120C.75D.68

【答案】D

【解析】由等差数列的性质可知%+。8+%+4（）+%=5%=20,

„.17(A,+a)“、4

所以的=4,$='17=17%=68,故选：D.

已知角a满足tan[a_t）=；,

4.则sin2a=()

4474

A.-B.——C.一—D.-

5599

【答案】A

【解析】因为化简得鲁E]，所以tanj,

.2smacosa2tana。2x24田在

又sm2a=------厂=--——所以sin2a=丁二=:，故选：A.

sina+cosatana+i4+15

5.已知在ASC中，点。在边2C上，E.BD=5DC,则AZ>=()

iuun5uuni441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

【答案】A

【解析】在.ABC中，BC=AC-AB,又点。在边BC上，且8O=5DC,

贝!)AD=AB+3O=A8+9BC=AB+9(AC-AB)」AB+9AC,故选：A.

66''66

6.已知加，”是两条不同的直线，a夕是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若加〃力，且〃ua,则根//aB.若机J_〃，且〃ua,则mJ_a

C.若mlla,且机〃夕，则。//4D.若m_La,且m则a///7

【答案】D

【解析】如图所示正方体，

对于A,若"〃，或对应直线AS,8与平面A5CD,显然符合条件，但根ua,故A错误；

对于B,若“7。对应直线与平面MCD,显然符合条件，但根ua,故B错误；

对于C,若孙外£对应直线A3与平面HGCD,平面HG尸E,显然符合条件，但0ca=HG,故C

错误；

对于D,若机J_a,且加_L£,又a,夕是两个不同的平面，则a〃/,故D正确.

故选；D

7.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行.秉持杭州亚

运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度.在

杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能从甲、乙、

丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）

A.18B.24C.36D.48

【答案】B

【解析】当第一棒为丙时，排列方案有=12种；

当第一棒为甲或乙时，排列方案有A；A；=12种；

故不同的传递方案有12+12=24种，故选B

20221

8.已知°=e-腻，b=ln2024-ln2023,c=sin^j,贝!!（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<a

【答案】D

【解析】令〃x）=e'-x—1,x<0,

则尸（x）=e<1<0在（一毛0）上恒成立，故在0）上单调递减,

2022

a/（x）>/（o）=i-o-i=o,故小篇-20232022]

e2023J-l>0,

即e丽—=_,即〃〉——

202320232023

令g(x)=x—sin无，则g(%)=l-cosxN。,故g(%)在定义域内单调递增,

故M-一sin—^>g⑼=0-0=0,即"c；

<2023J20232023v7

令/z(x)=sinx-ln(x+l),0<x<l,

11c.2%IYC

贝！I〃(%)=cosx--------=l-2sin----------->l-2x

x+l2l+x

%(2+%)(l-x)

>0在（0,l）上恒成立,

2l+x2(l+x)

故M”在（o,i）上单调递增，

又M0）=sin0-lnl=0,故彳盛j>M°）=°，

〜I।（2024>口口,

故sin------>In-------,即c〉b,

2023U023J

故有a>c>b.

故选：D.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分）

2

9.已知复数Z=l-3i,z2=（2-i）,23="她，则（）

l+l

A.4+Z2=4+7iB.Z，Z2，Z3的实部依次成等比数列

，

C.Vl0|zl|=2|z2|D.z”Z2Z3的虚部依次成等差数列

【答案】ABC

/、28+l0i（8+l0i）（l-i）

【解析】因为Z2=2—i『=3—4i,23==一J4I,=9+i,所以z+z2=4—7i,所以

、）l+i（l+iWl-i）

4+Z2=4+7i,故A正确；

因为Z1,z2,Z3的实部分别为I,3,9,所以Z1,z2,Z3的实部依次成等比数列，故B正确；

因为向，z2,Z3的虚部分别为-3,-4,I,所以4，z2,Z3的虚部依次不成等差数列，故D错误;

J可Zi|=7I3x&Z?=2|z2|=2x5=l0,故C正确.

故选：ABC.

10.如图，点ABC是函数"x）=sin（ox+e）3>0）的图象与直线>=¥相邻的三个交点，且

\BC\-\AB\=^,f（-^\=0,则（）

A.co=4

9K

B.

函数“X)在生,

c.上单调递减

D.若将函数/'(x)的图象沿x轴平移。个单位，得到一个偶函数的图像，则冏的最小值为最

【答案】ACD

兀2兀

【解析】令/(%)=sin(。尤+°)=三得,a)x+(p=—+2kii^cox+(p=-+2kji,kwZ,

■JI兀2兀

由图可知：cox+0=1+2kli9CDXQ++2%兀+2兀，coxg+0=——2kjt,

一尹2兀,

所以忸c|=%—4=—\AB\=XB-XA=^,

co

所以白忸中网="一2兀\

飞~+2兀J,所以G=4,故A选项正确,

3(D\

71=0^sinf-y+<z>

所以〃x)=sin(4x+e),由/=0,

12

所以---F0=7i+2kli9kE7J9

4JT

所以0=+2kli,kETai

所以/(%)=sin]4x+野+2E=sin(4x+如=-sin(4xy1,

I3

9K兀

-sin一+—=-1,故B错误.

23

….兀35兀「71

当XW时，4x+-e\--2Ti+~\,

393

因为y=-sin/在f兀+']为减函数，故/(x)在7171

上单调递减，故C正确;

3,2

将函数〃x)的图象沿x轴平移。个单位得g(x)=—sin卜x+46+§),(8v0时向右平移，6〉0时向

左平移),

g(x)为偶函数得40+]=5+®,keZ,

所以。=合+,，kwZ,则冏的最小值为或，故D正确.

故选：ACD.

11.已知定义域为R的函数〃x),满足/(x+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且〃0)-0,

/(-2)=0,则()

A."2)=1B.是偶函数

2023

C."⑺丁+[〃2+无)丁=1D.2/(0=-1

Z=1

【答案】BCD

【解析】对于A项，由/(x+y)=/(x)/(y)-〃2-x)〃2-y),

令x=y=l,则/(2)="(1)]2-"⑴]=(J,故A项错误；

对于B项，令x=y=0,则/(0)="(0)]2-"(2)f="(0)]2,

因/(0)w0,故/(。)=1,

令＞=2,贝！]〃x+2)=/(x)/(2)-/(2—x)〃0)=-/(2—x)①，

知函数/(尤)关于点(2。成中心对称，

令x=y=2,则/(4)=[/(2)]2-[/(0)]2=-1,

令y=4,则/(x+4)=/(“(4)-〃2-山(-2)=-/(幼②,

由①可得：f(x+4)=-/(-x)③，由①③可知：/(-%)=/(%),

且函数/(x)的定义域为R,则函数/(x)是偶函数，故B项正确；

对于C项,令丁=一》,则〃0)=/(x)/(r)—/(2—x)〃2+x),

因"0)=1,/(-%)=/(%),〃x+2)=-/(2-x),

故得：[/(X)]2+[/(2+X)]2=1,故C项正确；

对于D项，由上可知：/(%+4)=-/(%),则/(x+8)=-/(x+4)=/(x),

故函数Ax)的一个周期为8.

令x=2,y=l,则/(3)=〃2)〃1)-/(0)/⑴即有/(3)+/⑴=0,

因函数Ax)是偶函数，故有/(-3)+/(-1)=0,

由函数Ax)的一个周期为8,则/(5)+/(7)=/(-3)+/(-1)=0,

由上知:/(2)=0,/(4)=-1,/(6)=/(-2)=0,/(8)=/(0)=1,

于是：/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+/(8)=0+0+(-1)+0+0+1=0,

2023

则=253x0-7(2024)=-/(8)=-1,故D项正确.

1=1

故选：BCD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.2x)4的展开式中常数项为.

【答案】25

【解析】(1-2x)4中常数项为1,炉项为C(_2X)2=24/,

因此所求常数项为1+24=25.

13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆,心角之和为37三r，侧面积分别为4和%,体积

分别为%和%若萨=2,则掉________.

D乙V乙

【答案】述吟遂

55

【解析】设母线长为/，甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为小

又干+手=；,则厅=:,所以々=；,4=；,

所以甲圆锥的高4=j/2-：/2=3/,

V42

乙圆锥的高小=="1/,

所以除二叫力/_3亚

彩,也：x招5,

3164

14.在三棱锥P-AfiC中，AP,AB,AC两两互相垂直，AB=AC,AB+AP=9,当三棱锥P—ABC

的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为_________

3

【答案】4/0.75

4

【解析】设"=%(0＜工＜9),贝！1A6=AC=9—%，

由题意知AP，AB,AC两两互相垂直，

尸c

B

可得三棱锥尸—ABC的体积为丫=\!钻以。4尸=工(9-*)》2=1_(-丁+9/)，

令/(x)=-/+9x2,0<x<9,贝!|/(%)=-3%2+18x=-3x(x-6),

当0vxv6时，/r(x)>0,当6vxv9时，/r(x)<0,

故/(x)在(0,6)上单调递增，在(6,9)上单调递减，

故当x=6时，/(元)取到最大值，此时三棱锥尸-ABC的体积取得最大值，

设此时三棱锥尸-ASC的内切球的半径为r,

则"=6,AS=AC=3,BC=30,P3=PC=j62+32=3&，

则spBc=gBc[pB2-(与y=；x3exj45-(半y=£，

贝[)VpADC=-------A.B・A.C,A.P=一(SPAB+Sp+S+Sp),r

/、■*r—AoC323\zACADC/BDC/

3

BP3x3x6=(2x3x6+3x3+27)-r,解得r=士，

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)已知函数/(x)=xlnx-奴2+〃(4£尺).

(1)若函数"X)在X=1处的切线与直线2x-y+l=0垂直，求实数〃的值.

(2)若函数”%)存在两个极值点，求实数。的取值范围.

【解】(1)/(x)=lnx+l-2ox,

尸(1)=1—2a,

3

贝！)(1—2，)x2=—1,解得〃==.

4

(2)/(x)=Inx+1—2ax,

由题设可知f'M=0有两个不同的零点，且/(%)在零点的附近/(%)的符号发生变化.

令g(x)=1口％+1—2分,贝!|gr(x)=--2a,

x

若。WO,贝！|g'(%)>0,则g(x)为(0,+。)上为增函数，

g(x)在(0,+。)上至多有一个零点.

当。>0时，若0<x<1,贝iJg'O)>0,故g(x)在上为增函数，

若x>:,则g'(x)<0,故g(x)在。-,+s］上为减函数，

故g(x)max=g(；］=ln；>0,故o<a<j,

\2aJ2a2

X-<^-Kg(-)=-—<0,故g(x)在(o,；］上存在一个零点；

e2aee<2«7

下证当，>2时，总有21n，v"

71—t

令2)=21nrT,贝(J,⑺=：一1=亍，

当/>2时，//(。=：-1=亍<0,故7?«)为(2,+8)上的减函数，

故/")</?⑵=21n2-2<0,故21nt々成立.

令r=Vx,x>4,则InX<JX，

故当x>4时,有g(x)<Vx+1-lax,

(l+Jl+8〃y

=maxM,-————\则当时，

16〃9

有4+1一2办=_21&_^^丘_1-^^］<0,

I4a人4aJ

故g(x)<。，故在(2,+8)上，存在实数x,使得g(x)<0,

由零点存在定理及g(力的单调性可知可得g(无)在［(，+［上存在一个零点.

综上可知，实数0的取值范围是

16.(本小题满分15分)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神,

某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，

规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.

假设每-局比赛甲获胜的概率都是3|.

(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率;

(2)若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.

323486

【解】(D比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为《=或、lxx———------f

53125

1

32

恰好打了6局，乙获胜的概率为鸟=C；xIX

55I53125

48696582

所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P=片+鸟=---+---

312531253125

(2)X的可能取值为2,3,4,5,

9

尸(X=2)=---9

25

P(X=3)=C2X-X-X-=—

'7555125

2、4

22丫124

P(X=4)=C；x|xx|+

~5)一四,

、3

33o2Y3296

p(X=5)=C；x《xx-+C^xX—X—=--------

tr555625

所以X的分布列如下:

X2345

93612496

p

25125625625

961966

故E(X)=2x2+3x-5x

25125625625625

17.(本小题满分15分)如图，多面体PS-ABCD由正四棱锥尸-ABC。和正四面体组合

而成.

(1)证明：尸S〃平面ABCD；

(2)求AS与平面PAD所成角的正弦值.

【解】(D分别取ADICPS的中点瓦凡G,连接PE,PF,GF,SF,EF,

由题意可知多面体PS-ABC。的棱长全相等，且四边形ABC。为正方形，

所以EF1BC,PF1BC,SF±BC,

因为族门「尸=££77,尸产＜=平面PEF,

所以3C/平面尸£F,同理BC/平面PFS.

又平面PEFi平面尸邠=尸尸，所以P,E,£S四点共面.

又因为跳'=AB=PS,PE=PF=SF,所以四边形PEFS为平行四边形，

所以PS//EF,又E尸u平面ABCRPSN平面ABCZ),

所以PS〃平面ABCD

(2)以歹为原点，以庄，阳,FG所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设

AB=l,

EP•—Q—x+z—0

设平面上4£)的一个法向量为〃=(%y,z),则‘22

EA-n=O

—y=0

令z=l,贝!|x==0,所以"=(0,0,1).

设AS与平面BAD所成角为6,

.\n-AS\_0_V2

/n=际-

即AS与平面PAD所成角的正弦值为史.

3

22

18.（本小题满分17分）已知椭圆C:5+当=1（.>6>0）的右焦点是F,上顶点A是抛物线/=4y

ab

的焦点，直线AF的斜率为

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵直线/：、=辰+机（加大1）与椭圆C交于人。两点，尸Q的中点为M,当/PM4=2/PQA时，证

明：直线/过定点.

【解】（1）由题意知MM）,即6=1,

尸（。,0）,女FA=—=—5.,.c=2.

从而=力2+。2=5,

故椭圆C:]+V=l；

（2）•在△AMQ中，ZPMA=：ZMQA+ZMAQ,

且—PMA=2/PQA

ZMQA=ZMAQ，从而MA=MQ=^PQ,:.AP±AQ

y=kx+m

由，龙2,得（5左2+1）尤2+10近+5（加2_]）=0,

[5'

设尸（3，乂）、。（%2，%）

\0km

X1+x7=-----;——，XX,=——

-5左2+1f25k2+l

I-1)-(^,y—1)2+(+m-l)(fcc,+m-l)

贝！AP-AQ-(^x],yl2=为%处

5(公]0左2硕^1)

+(m-l)2

5左？+l5k2+1

6m2-2m-4_2(m-l)(3m+2)

=0,

5/+15r+1

2

解得：加=-耳或根=1（舍去），

所以直线/过定点I。,-1].

19.（本小题满分17分）已知数表4“=[“"%"勺]中的项%«=1,2"=1,2,⑼互不相同，

。22a2n）

且满足下列条件：

①4e{1,2,,2〃}；

②（T严&"一%"）＜°（m=12,n）.

则称这样的数表&，具有性