初中中考数学复习：圆常考知识点总结和讲解

初中中考复习专题：圆常考知识点总结和讲解

重要考点一：圆中的相关计算

弧长公式：、察；

180

扇形面积公式：S=—=~IR

3602

圆柱表面积S表=S侧+2S底=2万泌+2%厂2（侧面是矩形，底面是圆）

圆柱的体积：V=万厂”（底乘以高）

圆锥表面积：S表=%j+S底=»rx母线长+乃严（r是底面圆的半径）

圆锥的体积：V=-7ir-h

3

例题］（2017•齐齐哈尔）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的

圆心角是（）

A.120°B.180°C.240°D.300°

【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧

面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数.

【解答】解：设底面圆的半径为r,侧面展开扇形的半径为R,扇形的圆心角为n度.

由题意得S底面面积=兀「2，

I底面周长=2rtr，

S扇形=3S底面面积=3兀「2,

I扇形弧长=1底面周长二2nr.

2

由s扇形=11扇形弧长XR得3nr=—X2nrXR，

22

故R=3r.

由।扇形弧长二门可W得:

180

2nr=n兀＞〈3r解得n=12o0.

180

故选A.

重要考点二：垂径定理

要求：画图描述垂径定理

如图，CD为前弦，如果AB为直径且AB垂直于CD,那么CE=DE.BC=&）,AC=AD

i

这个定理中一共有五个因素：直径，垂直于弦，平分弦，平分优弧，平分劣弧（知二推三）

考察形式：垂径定理及逆命题的理解与判断，几何证明，线段的长度求解（常常需要连半径,

做弦的垂线构建直角三角形）

切记“平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧"中如果题目没有

强调“不是直径的弦”，则果断判断这句话是错的。

例题2如图，AB是。。的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,

ZAPC=30°,则CD的长为（）

A.V15B.2而C.2,^15D.8

【分析】题目中出现了0,并且CD、AB为的勺弦，且两弦夹角30°,此时要考虑过圆心

作弦CD的垂线，这就同时用上了30°特殊角和弦的条件

作OHLCD于H,连结OC,如图，根据垂径定理由OHLCD得至UHC=HD,再利用AP=2,

BP=6可计算出半径OA=4,则OP=OA-AP=2,接着在RtAOPH中根据含30度的直角三角形

的性质计算出OH=}OP=1,然后在RtAOHC中利用勾股定理计算出CH=任，所以CD=2CH=2

V15.

【解答】解：作OHLCD于H,连结0C,如图，

VOH±CD,

，HC=HD,

VAP=2,BP=6,

2

，AB=8,

.*.0A=4,

.*.OP=OA-AP=2,

在RtZXOPH中，•.♦NOPHuBO。，

ZPOH=60°,

/.OH=XoP=l,

2

在RtZXOHC中，VOC=4,OH=1,

CHRoc2_0H2=4,

.*.CD=2CH=2V15.

故选C.

【总结】见到圆中的弦，可以考虑过圆心作弦的垂线，用垂径定理解题

例题3已知。。的半径为10,P为。。内一点，且0P=6,则过P点，且长度为整数的弦有

()

A.5条B.6条C.8条D.10条

【分析】求出过P点的弦长的取值范围，取特殊解，根据对称性综合求解.

【解答】解：如图，AB是直径，OA=10,0P=6,过点P作CDLAB,交圆于点C,D两点.

由垂径定理知，点P是CD的中点，由勾股定理求得，PC=8,CD=16,则CD是过点P最短的

弦，长为16；AB是过P最长的弦，长为20.所以过点P的弦的弦长可以是17,18,19各两

条.总共有8条长度为整数的弦.

故选：C.

3

【总结】结论：过圆内一点的任意弦中，由该点和圆心确定的直径是过该点的最长弦，垂直

于这条直径的弦为最短的弦。注意在最短和最长的弦中的弦长为某一整数时有两条弦(圆的

对称性)。

讲义回顾：秋季人教版尖子班第五讲例题1(2)和随堂测第1题

例题4如图，在。0内有折线OABC,点B、C在圆上，点A在。。内，其中0A=4cm,

BC=10cm,NA=NB=60。，则AB的长为()

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【分析】延长AO交BC于D,过。作BC的垂线，设垂足为E,根据NA、NB的度数易证得

△ABD是等边三角形，设AB的长为xcm,由此可表示出OD、BD和DE的长；在RgODE

中，根据NODE的度数，可得出OD=2DE,进而可求出x的值.

【解答】解：延长A0交BC于D,作OELBC于E,

设AB的长为xcm,

VZA=ZB=60°,AZADB=60°；

.•.△ADB为等边三角形；

，BD=AD=AB=x；

V0A=4cm,BC=10cm,

「・BE=5cm,DE=(x-5)cm,0D=(x-4)cm,

XVZADB=60°,

.•.DE」OD,

2

4

.*.x-5=—(x-4),

2

解得：x=6.

故选B.

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用.解答此题时，通过

作辅助线将半径0B置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得.

重要考点三：证明切线

思路一：有切点，连半径证垂直（依据判定定理）

运用判定定理是证明切线最常用的方法：如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心得半径，只

要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径，证垂直

例题5如图，在aABC中,AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,过点D

作DELAC于E.

求证:DE是。0的切线.

【分析】有切点D,连接0D证明ODLDE.

【解答】

证明:连接0D.

VOB=OD,

.*.ZOBD=ZODB.

VAB=AC,

.*.ZABC=ZACB.

.*.ZODB=ZACB.

.•.OD〃AC.

.*.ZODE=ZDEC.

VDEXAC,

5

.*.ZDEC=90o

.*.ZODE=90,即OD±DE.

ADE是。O的切线

思路二：没切点，作垂直证半径（依据性质）

当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到

直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂直，证半径.

例题6如图，在^ABC中，AB=AC,。是BC的中点，以。为圆心的。。切AB于D,求证:

AC是。。的切线.（提示：证明切线的基本思路：不知共点，作垂直，证半径）

【分析】连接OD、A0,作OELAC于E,只要证明OE=OD即可.

【解答】证明：连接OD、A0,作OELAC于E.

VAB=AC,OB=OC,

.,.0A平分NBAC,

VAB切。0于D,

.\OD±AB,

VOE±AC,

.*.OD=OE,

...AC是。0的切线.

重要考点四：圆中的导角

6

1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半

AB为。的弦，ZC,ZD为所对的圆周角，AD为直径，ZC=ZD=-ZAOB

2

证明方法，依据0。=05和来证

此外上图中是所对圆心角，NDA4是所对圆周角，ZDBA=-ZD0A=9&„

2圆周角定

即直径所对的圆周角为90。

理常用于在圆中导角关系，一定找准圆周角和圆心角对应的弧

直径所对的圆心角为90度，常记心间，常与三角函数、勾股定理结合，用于构造直角三角

形，求出边的长度或是未知角度

例题7已知：如图，在。。中，OALBC,ZAOB=70°,则NADC的度数为（）

A.30°B.35°C.45°D.70°

【分析】CB为。的弦（1）,OA垂直于四（2）,可推出CA=A5（即“知二推三”），再

由圆周角定理即可得出结论.

【解答】

解：VOA±BC,ZAOB=70°,

•*.AB=AC-

.•.NADC」NAOB=35°.

2

故选B.

2.圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角

7

A

D

A、B、C、D为。上的四个点，/A为BCD所对的圆周角，NC为A4D所对的圆周角

ZA=-ZBOD

2

ZC=1(360-ZBOD)

ZA+ZC=180°

A、B、aD为。上的四个点，NA为BCD所对的圆周角，NC为84。所对的圆周角

ZA+ZBCD=180'利用圆的

ZDCE+ZBCD=180°

NA=NDCE

内接四边形对角互补和平角180。通过互补关系导相等角

3.利用切线、直径通过互余关系导角

通过等角或者同角的余角相等倒角

例题8已知：如图，在；"「中，L"仆，以<为直径的•。交「I〃于点X,交于点

连接A、，过点（’的切线交A〃的延长线于点

(1)求证:./«7,-.H\,\.

AM_CB

(2)求证：砺・丽.

8

AC为。的直径，可推出NANC=90。，ZACN+ZCAN=90:

—尸。为切线，可推出N4CN+NPCB=90,

所以NPCB=NC4N

题目还有条件AB=AC,结合⑷V1BC,根据三线合一推出NA4N=NCAN

【解答】⑴证明：【7('为直径，

.IV'!lti,

\kticv_'Mi,

,All-

.//1V-.(AX,

「是.”的切线，

三90,

乙4CV+,

(2)

：AB^AC,

..乙4*=/AC8,

.」/力「一1〃jn心―k”，

由⑴知."「/'一.a\\,

/.ABH

AMBC

‘丽=丽.

重要考点五：切线长定理

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这点的连线平分两条切线的夹

角

例题9