导数大题（进阶） - 学生版

目录TOC\o"1-3"\h\u第1讲隐零点问题 2第2讲放缩 5第3讲端点效应与洛必达法则 8第4讲凹凸反转 10第5讲数列不等式 12第6讲独立型双变量(变量可分离) 14题型一指数型 14题型二斜率型 14题型三双绝对值型 15第7讲糅合型双变量(变量不可分) 16题型一．双极值点问题——韦达定理消元 16题型二双零点（或等高线）问题 18题型三极值点偏移问题——对称差构造 22第1讲隐零点问题导函数为超越函数，零点存在却无法求出，我们称之为隐零点。通过对零点“设而不求”，整体代换，从而解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题。操作步骤如下：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简。【例1】已知函数在点处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）求证：．【例2】设函数，e为自然对数的底数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）证明：若，则．【例3】已知函数．（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；（2）若，求证：．【练习1】已知，.（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（Ⅱ）当时，证明.

【练习2】（卡根问题）已知,若,且对任意恒成立,求最大值.方法总结：隐零点的解题方法是“设而不求”，先把导函数的零点设出来，然后利用隐零点的双重身份，即是导函数的编号零点，又是原函数的极值点。有时需要根据零点存在定理估计隐零点的取值范围，估计范围越小，结果越精确。

第2讲放缩常见的指数放缩：常见的对数放缩：常见三角函数的放缩：学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1）且时，有（2）当且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）（3）（4）（5）（6）再结合常用的切线不等式lnxx-1，等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；注：所有公式先证后用，否则扣分。【例1】（2018年全国3卷）已知函数，证明：当时，【例2】（2016年山东理科）已知，求证：当时，对任意恒成立。【例3】已知，求证：【例4】已知，时，恒成立，求的取值范围。【例5】设,当时，恒成立，求的取值范围。【例6】函数的最小值为【例7】函数的最小值为【例8】已知对任意的正数恒成立，则实数的最大值为

端点效应与洛必达法则洛必达法则1：设，存在，且，存在，则洛必达法则2：设，存在，且，存在，则【例1】（2010新课标理）设函数对恒成立，求实数a的取值范围。【例2】（2015年山东）设函数，若恒成立，求的取值范围．【例3】（2010•全国卷Ⅱ）函数,当时，，求的取值范围．

第4讲凹凸反转证明不等式中，涉及到以下三种类型优先考虑凹凸反转（记笔记）：具体步骤分三步走（记笔记）：变形原则（记笔记）：【例1】设函数，证明：对任意的，都有.【例2】已知函数，求证：当时，．【练习1】已知函数，若，证明：【练习2】已知函数，证明：当时，.

第5讲数列不等式证明含n项的数列不等式，操作步骤如下：第一步：把要证明的结论看成，其中，；第二步：要证明，只需证明，必要时进行换元，让式子变得简单；第三步：通过作差法构造函数；第四步：如果不行，利用第一小问的结论进行放缩；第五步：必要时单独验证时，证明也成立，从而，累加即可。【例1】设函数，，，其中是的导函数.，求的表达式；若恒成立，求实数的取值范围；设，比较与的大小，并加以证明.【例2】已知函数，，求函数的单调区间；若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；求证：.【例3】已知函数.若函数在上为增函数，求实数的取值范围；当且时，证明：.【例4】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：

第6讲独立型双变量(变量可分离)题型一指数型题型一指数型第一步：把要证明的不等式两边同时取对数；第二步：分离变量，构造函数；第三步：求导证明单调性。【例1】已知mn1,m,nN*,求证：(1m)n(1n)m.题型二斜率型题型二斜率型第一步：将两个变量进行排序，去分母；第二步：分离变量，构造函数；第三步：求导证明单调性或利用单调性求参。【例2】设函数，对任意，有恒成立，求的取值范围。题型三双绝对值型题型三双绝对值型第一步：排序，去绝对值；第二步：分离变量，构造函数；第三步：求导证明单调性或利用单调性求参。【例3】已知函数，若，当时，恒成立，求的取值范围。

第7讲糅合型双变量(变量不可分)题型一．双极值点问题——韦达定理消元笔记：【例1】已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若有两个极值点，证明：.【例2】已知函数的导函数为.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.【练习1】已知函数（1）若在点处的切线与直线平行，求在点的切线方程；（2）若函数在定义城内有两个极值点，，求证：．【练习2】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若为的两个极值点，证明：.

题型二双零点（或等高线）问题对数平均值不等式（先证后用，否则扣分）若，则，其中称之为对数平均数.简证如下：不妨设，只需证明即可，即（下略）.与有关的双零点问题，两式作差相减，构造齐次式，比值换元，变量归一题型:若条件中和要证明的结果中都不含参，方法如下（记笔记）：（2）若条件中含参，要证明的结果中也含参，注意换参，方法如下（记笔记）：（3）若条件中含参，要证明的结果中不含参，注意消参，方法如下（记笔记）：与有关的双零点问题，两式作差相减，差值换元，变量归一，方法如下（记笔记）：既不能比值换元，又不能差值换元，可以用主元法（保命）。使用主元法注意两大原则（记笔记）：【例1】（条件结论都含参）（2018年安庆市二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设分别是函数的两个零点，求证：.【例2】（差值换元）（A10联盟2018年高考最后一卷）已知函数.当时，方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值范围；（2）当时，设是函数两个不同的极值点，证明：.【例3】(条件中含参，结论中不含参)已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明.【例4】（条件和结论都含参）已知函数.，若函数，是函数的两个零点，是函数的导函数，证明：.【例5】（主元法）已知函数，设,证明：.

题型三极值点偏移问题——对称差构造1.函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.图1图2极值点左偏：，处切线与x轴不平行；（图1）若上凸（递减），则，若下凸（递增），则.极值点右偏：，处切线与x轴不平行；（图2）若上凸（递减），则，若下凸（递增），则.2.具体答题方法分三步走（记笔记）：【例1】（201