第14讲解三角形(原卷版+解析)

第14讲解三角形方法总结：1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解2.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：设为的一条中线，则（2）角平分线定理：设为中的角平分线，则3.三角形面积公式：（1）（为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：（5）向量方法：（其中为边所构成的向量，方向任意）典型例题：例1．（2023·福建福州·高三期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)试判断的形状，并说明理由；(2)设点D在边AC上，若，，求的值.例2．（2023·福建漳州·一模）设的内角A，B，C所对的边分别为，，，.(1)求C；(2)若，，求的面积.例3．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，将的图象向右平移单位后，得到的图象，且的图象关于对称．(1)求；(2)若的角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且，若点D为边靠近B的三等分点，试求的长度．例4．（2023·云南昭通·高三期末（理））在中，内角的对边分别为.在①；②；③，且.这三个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）.(1)若___________，求角C；(2)在（1）的条件下，若，求的面积.例5．（2023·江苏镇江·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，，，．(1)求AD的长；(2)求sinB．例6．（2023·福建三明·高三期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，求△ABC的面积．例7．（2023·天津市红桥区教师发展中心高三期末）在的内角，，所对边的长分别是，，，已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．例8．（2023·河南·模拟预测（理））已知的内角A，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．过关练习：1．（2023·四川成都·高三阶段练习（理））在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·模拟预测（理））如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸B码头与A码头相距，江水向正东流.己知一渡船从A码头按方向以的速度航行，且，若航行到达北岸的B码头，则江水速度是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三阶段练习（文））在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（

）A． B． C． D．4．（2023·河南濮阳·高三开学考试（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·陕西武功·二模（文））在中，已知，则（

）A．1 B． C．2 D．46．（2023·江西·高三阶段练习（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A． B．1 C． D．7．（2023·江西九江·一模（理））中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（

）．A． B． C． D．8．（2023·北京密云·高三期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（

）A． B．2 C． D．1二、填空题9．（2023·四川省高县中学校模拟预测（文））在中，，，，则______10．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））如图所示，四边形是由等腰直角三角形以及直角三角形拼接而成，其中，若，则到的距离为__________．11．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，是窗户的高度，是遮阳篷的安装高度，是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为，窗户高度．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度_____．12．（2023·陕西武功·二模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_______．13．（2023·江西九江·一模（文））中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的值为______.14．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是_______．三、双空题15．（2023·全国·高三阶段练习（理））已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，，，则C＝________，△ABC的面积为________.16．（2023·浙江·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为b，c．若，，则＝___，tanC＝___．四、解答题17．（2023·江西上饶·高三阶段练习（文））已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小；(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（2023·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））如图，已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且的外接圆面积为.(1)求边c；(2)若，延长CB至M，使得，求BM.19．（2023·四川·威远中学校高三阶段练习（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b-a)cosC=ccosA.(1)求角C的大小；(2)若，，求△ABC的面积．20．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，．若，，______，求的长．从①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）21．（2023·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求角的大小；(2)设，，求的周长.22．（2023·山东·青岛二中高三开学考试）一道解三角形的题目有一个条件不清楚，具体如下：在中，，，______，求C．经推断横线处的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试问在横线上的条件是a的长度还是b的长度？并逐一说明理由．23．（2023·全国·高三阶段练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐角，，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A；(2)的内切圆半径r.①；②.24．（2023·河南安阳·二模（文））如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．(1)求角C：(2)若，，延长CB至M，使得，求BM．25．（2023·河南驻马店·高三期末（理））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角B的值；(2)若，点D是边BC的中点，且，求b.26．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若的面积，求.27．（2023·上海市实验学校高三开学考试）已知函数．(1)若，，求的值；(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值．28．（2023·广东高州·二模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积．29．（2023·浙江·模拟预测）在中，D是边AC上一点，满足，．(1)证明：；(2)若外接圆面积是外接圆面积的3倍，请在①；②中任选一个条件作为补充，求的面积注：如果选择两个条件分别求解，则按第一个条件的解答计分．30．（2023·重庆长寿·高三期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______且，△ABC的面积为，求△ABC的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．31．（2023·山东潍坊·高三期末）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且．(1)证明：；(2)求的面积．32．（2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））现有下列三个条件：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象可以由y＝sinx－cosx的图象平移得到；③函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离．从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答．已知向量，ω＞0，函数．且满足_________．(1)求f(x)的表达式；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，＝2，求cosA的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第14讲解三角形方法总结：1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解2.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：设为的一条中线，则（2）角平分线定理：设为中的角平分线，则3.三角形面积公式：（1）（为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：（5）向量方法：（其中为边所构成的向量，方向任意）典型例题：例1．（2023·福建福州·高三期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)试判断的形状，并说明理由；(2)设点D在边AC上，若，，求的值.答案:(1)为等腰三角形或直角三角形；(2).解析：分析：（1）将已知条件利用正弦定理边化角，然后再利用三角恒等变换化简变形即可判断三角形的形状；（2）由已知条件结合正弦定理可得，从而根据（1）中结论分两种情况分别求解即可得答案.(1)解：由已知条件，利用正弦定理可得，即，所以，由于、B、，所以或，所以或B=C，所以为等腰三角形或直角三角形；(2)解：在中，由正弦定理得，即，同理在中，有，所以，又，所以，即，所以，由（1）可知或，若，则，所以,因为，，所以，又，所以，所以，即BD平分，所以，即，所以，解得或（舍去），所以；若，则为直角三角形，BD为斜边，则，与题设矛盾，故舍去；综上，的值为.例2．（2023·福建漳州·一模）设的内角A，B，C所对的边分别为，，，.(1)求C；(2)若，，求的面积.答案:(1)(2)解析：分析：（1）根据条件化简后由余弦定理可求；（2）由正弦定理及可得，利用面积公式求解即可.(1)由得，即，所以因为所以(2)由正弦定理得，所以，即，，所以，故△ABC的面积为.例3．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，将的图象向右平移单位后，得到的图象，且的图象关于对称．(1)求；(2)若的角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且，若点D为边靠近B的三等分点，试求的长度．答案:(1)；(2).解析：分析：（1）利用三角恒等变换化简，根据三角函数图象的变换求得，再根据其对称中心，即可求得参数；（2）根据（1）中所求，求得，再利用余弦定理求得，再在△中，利用余弦定理，即可求得.(1)因为．又将的图象向右平移单位后，得到的图象则，又其一个对称中点为，故将代入，则，解得，故当时，满足题意，∴.(2)由（1）可知，又，则或，则或，即或，又，故可得，又，故在△中，由余弦定理可得，则，又为边上靠近点的三等分点，故；又，在中，由余弦定理可得：,故可得即为所求.例4．（2023·云南昭通·高三期末（理））在中，内角的对边分别为.在①；②；③，且.这三个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）.(1)若___________，求角C；(2)在（1）的条件下，若，求的面积.答案:(1)(2)解析：分析：（1）选择①，根据正玄定理，将已知条件进行“角化边”，结合余弦定理，即可求得角C；选择②，根据余弦二倍角公式化简已知条件，即可求得角C；选择③，由和，化简已知条件，即可求得角C；（2）根据正弦定理和，结合已知条件，即可求得答案.(1)解：（1）选择①由正弦定理得，化简得，选择②即或（舍去）选择③，即.(2)由（1）可知又由正弦定理得，的面积.故的面积为.例5．（2023·江苏镇江·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，，，．(1)求AD的长；(2)求sinB．答案:(1)2；(2).解析：分析：(1)在中，利用余弦定理建立方程求解即可；(2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算可求．(1)依题意，在中，由余弦定理得，即，解得；(2)在中，由(1)知，由余弦定理可得，则有，在中，由正弦定理得．．例6．（2023·福建三明·高三期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，求△ABC的面积．答案:解析：分析：由正弦定理的边角互化得出，再由余弦定理得出，，最后由公式得出面积.【详解】解：因为），由正弦定理得：，即即，又因为A为内角，，所以因为，所以．根据余弦定理及，，，得，即，即，．所以△ABC的面积例7．（2023·天津市红桥区教师发展中心高三期末）在的内角，，所对边的长分别是，，，已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．答案:(1)1(2)(3)解析：分析：（1）由，代入即得解；（2）利用可得，再利用正弦定理可得解；（3）先求解，利用两角和的余弦公式展开，即得解(1)因为，且，，所以；(2)因为，且，所以又，解得；(3)因为，，所以例8．（2023·河南·模拟预测（理））已知的内角A，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．答案:(1)(2)解析：分析：（1）利用正弦定理化角为边，得到，进而求出；（2）利用三角形面积公式得到，由面积公式得到，进而利用余弦定理求出.(1)由正弦定理及，得，所以．因为，所以．(2)因为，所以，即．又，所以．易知方程组有解且，均大于0，由余弦定理得：，所以．过关练习：1．（2023·四川成都·高三阶段练习（理））在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得出，即可得出结果.【详解】已知，由正弦定理，得，所以，有，由，得，，，，，由，解得，又，所以.故选：A.2．（2023·四川·模拟预测（理））如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸B码头与A码头相距，江水向正东流.己知一渡船从A码头按方向以的速度航行，且，若航行到达北岸的B码头，则江水速度是（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：由力学可知的位移是由和水流合成的，故满足平行四边形法则，解这个平行四边形即可.【详解】如图，以方向为邻边，为对角线作平行四边形，渡船经过小时航行，即，由题意，，，由余弦定理得.所以，渡船在按方向航行时，江水向方向流，形成合位移使渡船沿到达北岸B码头，此时水流动距离为，则水流速度为，故选：C.3．（2023·全国·高三阶段练习（文））在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：在中，利用余弦定理先求得，再在中利用余弦定理求得，再在中利用余弦定理求得的长．【详解】在中，由余弦定理有，所以，在中，由余弦定理有，又，所以，在中，由余弦定理有，所以．故选：B4．（2023·河南濮阳·高三开学考试（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：根据正弦定理及同角关系可得，再用余弦定理可求解.【详解】由，根据正弦定理有：，因为在三角形中,，所以，从而有再由余弦定理有：，解得.故选：A5．（2023·陕西武功·二模（文））在中，已知，则（

）A．1 B． C．2 D．4答案:C解析：分析：直接利用余弦定理即可求得.【详解】在中，已知，即为，由余弦定理得：,解得：（边长大于0，所以舍去）即.故选：C6．（2023·江西·高三阶段练习（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A． B．1 C． D．答案:A解析：分析：由已知及余弦定理可得，再根据正弦定理的边角关系有，代入整理化简即可得结果.【详解】由，则，又，有，即，所以，整理得，故.故选：A7．（2023·江西九江·一模（理））中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（

）．A． B． C． D．答案:C解析：分析：解法一：根据得到，再根据，利用余弦定理得到，利用余弦定理求解；解法二：根据得到，再由，得到，利用正弦定理求解.【详解】解法一：由正弦定理及得，，．又∵，由余弦定理得：，即，由余弦定理得，又∵，∴．故选：C．解法二：由正弦定理及得，，．又∵，∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．故选：C．8．（2023·北京密云·高三期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（

）A． B．2 C． D．1答案:B解析：分析：由正弦定理边角关系及已知条件可得，再由三角形内角的性质有，进而应用余弦定理求的值.【详解】由题设，且，可得，，所以，又，，所以，即.故选：B.二、填空题9．（2023·四川省高县中学校模拟预测（文））在中，，，，则______答案:解析：分析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值．【详解】解：，，，，，可得，，则．故答案为：．10．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））如图所示，四边形是由等腰直角三角形以及直角三角形拼接而成，其中，若，则到的距离为__________．答案:解析：分析：根据正切的二倍角公式可求得，再由同角三角函数间的关系求得，再在中，运用余弦定理可求得答案.【详解】解：因为，解得或（舍去），由，解得，因为是等腰直角三角形，所以，故，，在中，，由余弦定理得，故答案为：.11．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，是窗户的高度，是遮阳篷的安装高度，是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为，窗户高度．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度_____．答案:解析：分析：利用锐角三角函数的定义计算可得；【详解】解：依题意可得，，，在中，，在中，，又，所以，解得故答案为：12．（2023·陕西武功·二模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_______．答案:##解析：分析：以正弦定理即可求得的值.【详解】中，由，可得则由，可得故答案为：13．（2023·江西九江·一模（文））中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的值为______.答案:2解析：分析：利用正弦定理及三角恒等变换即求.【详解】解法一：由正弦定理得，∴，∴，∴，∴，即，∴，即，即.解法二：由正弦定理得，∴，∴，又∵，∴，∴，即.故答案为：2.14．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是_______．答案:##3.6解析：分析：本题采用等和线的性质可得PD和AD长度，解△ACD即可.【详解】∵(为常数)，由系数为常数，结合等和线性质可知，故，，故，故．在中，；在中，由正弦定理得，即．三、双空题15．（2023·全国·高三阶段练习（理））已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，，，则C＝________，△ABC的面积为________.答案:

4解析：分析：利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，求得，进而求得.利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，进而求得三角形的面积.【详解】因为，故，则，故，因为，则，则，故，则；而，故，则，化简得，则，故△ABC的面积.故答案为：；16．（2023·浙江·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为b，c．若，，则＝___，tanC＝___．答案:

解析：分析：在△ABC中，由可得，首先根据正弦定理可得即可得解，利用，，利用代入即可得解.【详解】在△ABC中，由可得，由，所以，又由，，所以.故答案为：；.四、解答题17．（2023·江西上饶·高三阶段练习（文））已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小；(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．答案:(1)(2)解析：分析：（1）利用正弦定理得到，求出角B的大小；（2）根据面积公式得到，再由余弦定理求出，求出周长.(1)，由正弦定理得：，，∵∴∵∴，∴∵∴．(2)由（1）及已知得：所以，∴由余弦定理得：，，得：，所以△ABC的周长为．18．（2023·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））如图，已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且的外接圆面积为.(1)求边c；(2)若，延长CB至M，使得，求BM.答案:(1)(2)解析：分析：（1）先得出的外接圆半径为R，再由正弦定理的边化角公式得出边c；（2）由，，，结合余弦定理得出，再由余弦定理结合三角恒等变换得出，最后由正弦定理得出BM.(1)设的外接圆半径为R，由题意，解得.由条件及正弦定理可得，因为，所以，即，因为，故.故.(2)因为，，，故，得，解得（舍去）.由余弦定理可得，所以.由得.故由正弦定理可得，则.19．（2023·四川·威远中学校高三阶段练习（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b-a)cosC=ccosA.(1)求角C的大小；(2)若，，求△ABC的面积．答案:(1)(2)解析：分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求的值，结合，可求的值；（2）利用余弦定理化角为边可求的值，结合已知利用三角形的面积公式即可计算得解．(1)解：因为，由正弦定理可得，即，因为，故，因为，故；(2)解：因为，，整理可得，可得，又，所以．20．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，．若，，______，求的长．从①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）答案:选①；选②；选③或．解析：分析：若选①：先在中用正弦定理，然后在中使用余弦定理即可解决；若选②：先在中用正弦定理，然后在中使用余弦定理即可解决；若选③：先在中用正弦定理，然后在中利用三角形面积公式及其余弦定理即可解决；【详解】若选①，在中，∵，，，∴由正弦定理可知，解得，又∵，∴，即，∴，在中，，，．由余弦定理得，解得．若选②，在中，，，，由正弦定理得，解得，在中，，，，由余弦定理得，即．若选③，在中，，，，由正弦定理得，解得，在中，由，解得，则或，由余弦定理得，当时，解得，当时，解得，综上所述：或．21．（2023·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求角的大小；(2)设，，求的周长.答案:(1)(2)解析：分析：（1）正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得角；（2）由余弦定理求解得出后可得三角形周长．(1)由及正弦定理得，得，所以.又，所以.又，所以.(2)由余弦定理，，得，解得.则.所以的周长为.22．（2023·山东·青岛二中高三开学考试）一道解三角形的题目有一个条件不清楚，具体如下：在中，，，______，求C．经推断横线处的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试问在横线上的条件是a的长度还是b的长度？并逐一说明理由．答案:横线处的条件为；答案见解析．解析：分析：分别计算两种条件下，利用正弦定理、余弦定理求C即可根据结果判断条件.【详解】（1）将看作已知条件．由，得．由正弦定理，得，则．验证如下：若该条件为，由正弦定理，得，则，由，得或，即C有两解，但“答案提示”，所以不合题意．（2）将看作已知条件．；由正弦定理，得，则；验证如下：该条件为，由余弦定理，得，即，所以，故．综上，横线处的条件为．23．（2023·全国·高三阶段练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐角，，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A；(2)的内切圆半径r.①；②.答案:(1)(2)解析：分析：（1）若选条件①，由正弦定理边化角，结合诱导公式可得；若选条件②，切化弦结合正弦定理边化角，然后可解；（2）向量数量积结合余弦定理可得b+c，再由可解.(1)若选条件①.由正弦定理得，，因为,所以sinB>0，所以，又，所以，所以，所以A所以.若选条件②.由，得，，，，.(2)由，得.在中，由余弦定理得，，，，.又，.24．（2023·河南安阳·二模（文））如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．(1)求角C：(2)若，，延长CB至M，使得，求BM．答案:(1);(2).解析：分析：（1）将正弦定理代入条件整理得，从而有，根据角的范围可得角大小；（2）在中，由余弦定理求得，然后在中，由正弦定理求得，进一步计算可得．(1)解：（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以．(2)在中，由余弦定理可得，解得舍去，在中，，由正弦定理可得，即，解得，所以．25．（2023·河南驻马店·高三期末（理））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角B的值；(2)若，点D是边BC的中点，且，求b.答案:(1)(2)7解析：分析：（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换即可求出；（2）分别在和△中使用余弦定理即可求解.(1)∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.(2)在中，，，，由余弦定理得，整理得，解得（舍去）在△中，由余弦定理得，即，解得.26．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若的面积，求.答案:(1)(2)解析：分析：（1）根据二倍角公式化简可得，进而可得解；（2）由，及余弦定理，整理得，进而可得解.(1)由题意，..有.(2)由余弦定理，，有.又，代入得：，整理得：即.此时..27．（2023·上海市实验学校高三开学考试）已知函数．(1)若，，求的值；(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值．答案:(1)(2)解析：分析：（1）化简可得，由题意可知，进而可得，分析角可知，用两角差的正弦公式即可求得；（2）由（1）可知，结合的范围可得,再由面积公式即可求得，最后利用余弦定理即可求得.(1)∵，∴，又∵，∴，∴，∴，(2)∵，∴，又∵，∴，∴，即，又∵，∴，由余弦定理得，，即.28．（2023·广东高州·二模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积．答案:(1)；(2)或.解析：分析：（1）根据正弦定理的边角关系，及已知条件可得，再根据三角形内角性质求B的大小；（2）由（1）及余弦定理求c，再根据三角形面积公式求面积即可.(1)由正弦定理知：，则，所以，则且，可得或，又，所以.(2)由题设，，则，又，所以，整理得，解得，满足题设.由，所以，当时；当时；29．（2023·浙江·模拟预测）在中，D是边AC上一点，满足，．(1)证明：；(2)若外接圆面积是外接圆面积的3倍，请在①；②中任选一个条件作为补充，求的面积注：如果选择两个条件分别求解，则按第一个条件的解答计分．答案:(1)证明见解析(2)解析：分析：（1）在不同的三角形利用正弦定理可得，再利用二倍角公式可得不等式.（2）若选条件①，利用正弦定理和同角三角函数的关系式可求，，求出边长后可得三角形面积，若选②，利用（1）的结论可得，从而可得为直角，求出边长后可求面积.(1)在中，由正弦定理有．在中，由正弦定理有．因为和互为补角，故其正弦值相等，故，又因为，故，故.(2)因为外接圆面积是外接圆面积的3倍，故外接圆的半径是外接圆的倍.所以，故，故，若选条件①：因为，故，结合解得，故，因为，故均为锐角，故，，所以，故，故，所以，，故的面积为.若选择条件②，则由（1）知．结合可知，故．由勾股定理知，而，故解得，，故．30．（2023·重庆长寿·高三期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题