历年高考数学真题-椭圆

历年高考数学真题精选（按考点分类）

目

椭（学生版）

一.选择题（共12小题）

已知椭圆竺+止=（）的离心率为则（）

1.（2019•北乐）1°>6>0L,

。2/?22

A.。2=2拉B.3G=4b2C.a=2bD.3a=4b

已知椭圆上+竺过点（）和（），则椭圆离心率（）

2.（2018•全国）=1-4,?3,/e=

a2b255

A,正

B.—C.-D.-

5555

3.（2018•新课标1）已知椭圆C:=+二=1的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为（）

。24

A.1B.1C.旦D.述

3223

4.（2010•福建）若点。和点尸分别为椭圆三十”=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任

43

意一点，则。P•厂户的最大值为（）

A.2B.3C.6D.8

5.（2013•大纲版）已知产（-1,0）,尸（1,0）是椭圆C的两个焦点，过尸且垂直于x轴的直线

122

交椭圆于4、8两点，且IABI=3,则C的方程为（）

AX2X2,2尤2y2X2）2

A•卜y2=1B.1------1C.-----1------1D.1-1

2324354

6.（2019•新课标I）已知椭圆。的焦点为/（-1,0）,尸（1,0）,过点尸的直线与椭圆。交于

122

A,8两点.若IA尸|=21尸81,IA8I=IB尸I,则C的方程为（）

22

.X21

A.-+y2=IB4AD"I

2cP畀

7.（2018•新课标II）已知尸是椭圆C:=+二=l（a>b>0）的左、右焦点，A是C的

2Q2/72

且的直线上，为等腰三角形，ZFFP=120°,则C

左顶点，点P在过A且斜率为

61212

的离心率为（）

11

AB.C.D.-

t234

8.（2017•全国）椭圆。的焦点为/（-1,0）,尸（1,0）,点尸在C上，FP=2,NFFP=—

122123

则C的长轴长为（）

A.2B.2点C.2+苏D.2+2赤

9.（2017•新课标I）设A,8是椭圆C：E+竺=1长轴的两个端点，若C上存在点M满

3m

足/AA"=120。，则m的取值范围是（)

A.(0,ljj[9,+oo)B.(0,我U[9，+00)

C.(0,ljj[4,+oo)D.(0,>/3]|J[4，+00)

10.（2017•新课标III）已知椭圆C:=+二=l（a>b>0）的左、右顶点分别为A,,A,且以

a2b212

线段AA为直径的圆与直线版-〃y+2帅=0相切，则。的离心率为（）

I2

B也

C正D.-

A-T333

IL（2016•新课标I）直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到/的距离为其

短轴长的;，则该椭圆的离心率为（）

A"B.-cD.-

2-14

12.（2016•新课标III）已知。为坐标原点，尸是椭圆C:=+二=l（a>6>0）的左焦点，A,

。2匕2

8分别为C的左，右顶点.尸为C上一点，且尸尸，x轴，过点A的直线/与线段P歹交

于点M,与y轴交于点E.若直线经过OE的中点，则C的离心率为（）

二.填空题（共7小题）

13.（2015•新课标I）一个圆经过椭圆竺+注=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则

164

该圆标准方程为一.

14.（2014•安徽）设尸，尸分别是椭圆E:x2+V=l（0<b<l）的左、右焦点，过点尸的直

12b21

线交椭圆E于A、B两点,若IA歹1=31尸81,AB轴，则椭圆E的方程为.

112

15.（2011•江西）若椭圆上+”=1的焦点在无轴上，过点（1,1）做圆x2+yz=l的切线，切

。2b22

点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是.

16.（2019•新课标III）设匕，下为椭圆C：E+”=1的两个焦点，M为C上一点且在第一

123620

象限.若为等腰三角形，则M的坐标为—.

12

17.（2019•浙江）已知椭圆竺+22=1的左焦点为歹，点尸在椭圆上且在x轴的上方.若线

95

段尸尸的中点在以原点。为圆心，I。”为半径的圆上，则直线P尸的斜率是.

18.（2019•上海）在椭圆三+工=1上任意一点P,。与尸关于x轴对称，若有FRF1N1,

4212

则尸尸与尸。的夹角范围为.

12

19.（2018•浙江）已知点P（0,l）,椭圆二+y2=加加>1）上两点A,8满足A尸=2E5,则

4

当机=___时，点8横坐标的绝对值最大.

三.解答题（共6小题）

20.（2016•北京）已知椭圆C:=+”=1过点A（2,0）,8（0,1）两点.

Q2

(I)求椭圆C的方程及离心率;

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点直线尸8与x轴交

于点N,求证：四边形的面积为定值.

21.(2019•天津)设椭圆竺+”=l(a>b>0)的左焦点为尸，左顶点为A,上顶点为3.已

。2/72

知百I1=21OBI(。为原点).

(I)求椭圆的离心率；

(II)设经过点尸且斜率为3的直线/与椭圆在X轴上方的交点为尸，圆C同时与X轴和直

4

线/相切，圆心C在直线x=4上，且。C//AP.求椭圆的方程.

22.(2019•天津)设椭圆三+丝=l(a>6>0)的左焦点为尸，上顶点为8.已知椭圆的短

。2/72

轴长为4,离心率为正.

5

(I)求椭圆的方程；

(II)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点0为直线尸8与x轴的交点，点N在

y轴的负半轴上.若ION1=1。川(。为原点)，且求直线尸8的斜率.

历年高考数学真题精选（按考点分类）

椭

（教师版）

选择题（共12小题）

1.（2019•北京）已知椭圆竺+二=l（a>b>0）的离心率为工，则（）

“2/?22

A.。2=2Z?2B.3a2=4/22C.a=2bD.3a=4。

【答案】B

【解析】由题意，-=得3则竺±=1，

a2s4。24

4〃2—4b2=〃2,BP3a2=4b2.

2.（2018•全国）已知椭圆三+二=1过点（一4二）和（3,-3）,则椭圆离心率e=（）

a2b255

A.侦B.逅C.1D.2

5555

【答案】A

【解析】椭圆三+丝=1过点（-4,3）和（3,-4）,

a2b255

竺+，=1

。225b2

则《解得〃=5,6=1,二。2=〃2一拉=24,

916

一+---=1

。225b2

c_2显

/.c=2痴，e

a5

3.（2018•新课标1）已知椭圆C:工+”=1的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为（）

“24

1cT

A.B.1D.述

3223

【答案】C

【解析】椭圆C:二+"=l的一个焦点为(2,0)，

。24

可得。2—4=4,解得Q=2\/^,\*c=2J:.e=—=.故选C.

a2V22

4.(2010•福建)若点。和点/分别为椭圆上+”=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任

43

意一点，则。尸・厂户的最大值为()

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

【解析】由题意，*-1,0),设点尸(x,y),则有匚+H=1,解得y2=3(1-匚)，

004304

因为尸P=(x+l,y),OP=(x,y),所以OP・"=x(x+1)+y2=-e-+x+3，

00000004°

此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=-2,

o

,2

因为-东部2,所以当q=2时，。户・EP取得最大值^+2+3=6,故选：C.

5.(2013•大纲版)已知尸(-1,0),尸(1,0)是椭圆C的两个焦点，过尸且垂直于％轴的直线

122

交椭圆于4、8两点，且1481=3,则C的方程为()

A冗2X2y2X2y2X2V2

A.—+v2=1B.^—+—=1C.H-----=1D.H-----=1

2324354

【答案】c

【解析】设椭圆的方程为=+£=l(a>b>0),

〃2b2

可得C=J〃2一核=1,所以Q2_拉=]…①

・.•A3经过右焦点心且垂直于尤轴，且IABI=3

33126

可得2(1,-三)，代入椭圆方程得上+2-=1,…②

22a2b2

联解①②，可得。2=4,Z?2=3

，椭圆c的方程为E+二=1

43

6.（2019•新课标I）已知椭圆。的焦点为尸（-1,0）,尸（1,0）,过点方的直线与椭圆。交于

122

A,B两点.若IAFl=2IFBI,IA8I=I3FI,则C的方程为（）

221

AX2X2）2X2y2X2y2

A.----Fy2=1B.----1-----=1C.-----1-----=1D.-----1----=1

2324354

【答案】B

【角军析】-/IAF\=2\BFI,/.IAB\=31BFI,

222

又IAB1=1BFI,.'.IBF1=31BFI,又IBFI+18P1=2。，.-.IBF^1=-,

1121222

3

UA/1=。，15£1=—。，-.-IAFI+IAF\=2a,:.\AF\=a,

212121

.'.IAF1=1AFI,在y轴上.在放△AFO中，cosZAFO=-,

1222a

4+(-)2-(-a)2

在尸尸中，由余弦定理可得cosNBPP=——工------2—

1221c八。

2x2x-

2

]4—2Q2L

根据cos/A/O+cosNB尸尸=0,可得一+------=0,解得〃2=3,1.a=6.

221a2a

/?2=Q2_02=3-1=2.所以椭圆。的方程为：—+—=1.

32

7.（2018•新课标H）已知凡，2是椭圆C:上+>=13>6>0）的左、右焦点，A是C的

1242b2

左顶点，点尸在过A且斜率为苴的直线上，△PPF为等腰三角形，ZFFP=120°,则C

61212

的离心率为（）

【答案】D

【解析】由题意可知：4-a,0),F(-c,0),F(c,0),

12

j3

直线AP的方程为：y=—{x+a）,由/尸BP=120。，I尸歹1=1尸产1=2c,则P（2c,历），

612212

代入直线AP:（2c+4）,整理得：a=4c,题意的离心率e=£=L

6a4

【答案】D

【解析】椭圆C的焦点为尸(一1,0),F(1,0),点尸在C上，FP=2,NFFP=—,则C的

122123

长轴长为()

A.2B.2芯C.2+出D.2+2上

【解答】解:椭圆C的焦点为尸(-1,0),尸(1,0),则c=l,

12

・・・|PF1=2,/.IPF1=2a-1PF1=2。一2,

212

2兀

由余弦定理可得IPE|2=|歹歹|2+1PF|2-2IFF\-\PFl«cos—,

11221223

BP(2a-2)2=4+4-2x2x2x(-1),解得a=l+6a=l-石(舍去)，

.•.2。=2+2百，故选：D.

9.(2017•新课标I)设A,8是椭圆C:?+匕=1长轴的两个端点，若C上存在点M满

3m

足/AMB=120。，则m的取值范围是()

A.(0,ljj[9,+oo)B.(0,73]|J[9,+oo)

C.(0,ljj[4,+oo)D.(0,>/3]|J[4,+00)

【答案】A

【解析】假设椭圆的焦点在x轴上，贝|0<加<3时，

设椭圆的方程为：—+—=l(a>&>0),设4-a,0),B(a,0),M(x,y),y>0,

〃2Z?2

贝麟一举=竺匕

b2

ZMAB=a,ZMBA=P,ZAMB=y,tana=——,tanp=——，

x+aa-x

/Q、_,/0、tana+tanB24y2ay_2ab22ab2

rtany=tan[7U-(a+p)]=-tan(a+p)--------------------

1-tanatanPa2-x2-y242。2y(a2-Z22)C2y

b2~y2

tany=,当y最大时,即y=b时，取最大值,

C2y

.•.拉位于短轴的端点时，ZAM8取最大值，要使椭圆C上存在点M满足ZA"B=120。，

/AM诊120。，ZAM/60。，tanNAMO=gtan60°=>/3,

y/m

解得：o<yi；

当椭圆的焦点在y轴上时，冽>3,

当M位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆C上存在点M满足/AMB=120。，

tanZAMO=®tan60°=>5，解得：

/AM砂120°,ZAMC^60°,m^9,

V3

.•.机的取值范围是（0,ill[9，+8）

10.（2017•新课标ni）已知椭圆C:=+竺=1（。>6>0）的左、右顶点分别为A，A,且以

612b212

线段A4为直径的圆与直线bx-ay+2a6=0相切，则C的离心率为（）

12

A.巫B.正D.1

C.

333

【答案】A

【解析】以线段44为直径的圆与直线6尤-分+2浦=0相切,

12

二.原点到直线的距离/b化为：利=3w.

+人2

二椭圆C的离心率0=

11.(2016•新课标I)直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距离为其

短轴长的工，则该椭圆的离心率为()

4

1173

A.-B.-C.-D.-

3234

【答案】B

【解析】设椭圆的方程为：—+=直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，

G/?2

则直线方程为：*+丁=1,椭圆中心到/的距离为其短轴长的！，

cb4

12.(2016•新课标III)已知。为坐标原点，尸是椭圆C:二+竺=l(a>b>0)的左焦点，A,

8分别为C的左，右顶点.尸为C上一点，且尸尸，x轴，过点A的直线/与线段P歹交

于点与y轴交于点£.若直线经过的中点，则C的离心率为()

【答案】A

【解析】由题意可设歹(-c,0),A(-a,O),B(a,O),

设直线AE的方程为y=々(x+a),令x=-c,可得M(-c，k(a-c)),令尤=0,可得E(0,㈤，

设0E的中点为〃，可得8（0,一）,由8,H,M三点共线，可得k=k,

2BHBM

ka

即为2=幺口，化简可得纥£=1，即为a=3c,可得e=£=L

—a—c—ci〃+c2ci3

二.填空题（共7小题）

13.（2015•新课标I）一个圆经过椭圆二十二=1的三个顶点.且圆心在1轴的正半轴上.则

164

该圆标准方程为—.

【答案】（x-g）2+y2=V

【解析】一个圆经过椭圆三十丝=1的三个顶点.且圆心在X轴的正半轴上.

164

可知椭圆的右顶点坐标（4,0）,上下顶点坐标（0,±2）,

设圆的圆心（。,0）,则J3-O）*o二2）2=4一a,解得°=|,

圆的半径为：

2

所求圆的方程为：（n-3）2+产=”.

2-4

14.（2014•安徽）设b，&分别是椭圆E:m+匕=1（0<6<1）的左、右焦点，过点尸的直

12b21

线交椭圆E于A、8两点，若IAFI=3IbBl,AP轴，则椭圆E的方程为.

112

L答案1%2+—y2=1

2

【解析】由题意，F(-c,0)，F(c,0)，AF_Lx轴，b\=bi,

1222

点坐标为（c,Z?2）,

设5(%,y),vlAF1=31FBI,..AF=3FB,

(一c-c,-Z?2)=3(x+c,y),

,一；匕2），

5（一;拉）2

代入椭圆方程可得（-＞）2+」一二1,

3。2

,/1=/72+C2,人2=—，。2=—，，X2+—丫2=1.

332

故答案为：%2+—372=1.

2

15.（2011•江西）若椭圆三+二=1的焦点在x轴上，过点（让）做圆£+y2=l的切线，切

〃2/?22

点分别为A,B,直线A3恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是—.

【答案】//I

【解析】设切点坐标为（加,九）则

1

〃----1

2Y口口1八

----•一=-1B|J冽2+〃2----n-m=0

m-1m2

•<,m2+H2=1

:.m+—n—l=Q

2

即AB的直线方程为2x+y-2=0

•/线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点

2c-2=0；b-2=0

解得c=1,b=2

所以〃2=5

故椭圆方程为竺+工=1

54

16.（2019•新课标山）设工，F为椭圆C:二+"=l的两个焦点，M为C上一点且在第一

123620

象限.若AM尸尸为等腰三角形，则M的坐标为—.

12

【答案】（3,后

【解析】设M（加,及），m，n>0,椭圆C:二+匕=1的a=6,b=2亚,c=4,

3620

c———，

a3

由于M为C上一点且在第一象限，可得1〃/1>1加/1,

12

△为等腰三角形，可能IMF1=2c或IMF1=2c,

,7

即有6H——m=8,即m=3,n=；

3

2

6—机=8,即m=一3<0,舍去.

3

可得"（3,而）.

故答案为：（3,x/IW）.

17.（2019•浙江）已知椭圆兰+竺=1的左焦点为尸，点尸在椭圆上且在x轴的上方.若线

95

段尸尸的中点在以原点。为圆心，I。”为半径的圆上，则直线P尸的斜率是

【答案】而

【解析】椭圆乙+匕=1的〃=3,b=后，c=2,e2

953

设椭圆的右焦点为F,连接PP,

线段尸产的中点A在以原点。为圆心，2为半径的圆,

连接A。，可得I尸尸'1=21401=4,

岳

设尸的坐标为(W),可得3-m=4,可得机=——n=-----，

322

由F(-2,0)，可得直线尸尸的斜率为

岳

2

3

-+2

2

另解：由IPFI=2IAOI=4,|PFI=6-4=2,\FF'\=2c=4,

可得cosN—学!口；,

sinZPFF'=J1--=—,

V164

可得直线房的斜率为酸篝;而.

故答案为：厉.

18.（2019•上海）在椭圆二+丝=1上任意一点P,。与尸关于x轴对称，若有尸P•尸庆1,

4212

则FP与FQ的夹角范围为.

12

【答案】［兀一arccos-,兀］

3

［解析1设P（x,y）,则。点（x,-y），

椭圆竺+21=1的焦点坐标为（—点，0）,（&,0）,

42

•/FP・FXl,

12

%2-2+y20,

结合三+J

42

可得：y2G［1,2］

故尸P与力。的夹角。满足：

12

x2-2-y22-3尸8h

cose=^Q--------=—5H----------W1-1,----J

+2+产）2—8%2丁2+2y2+23

故。£［兀—arccos士，兀］

19.（2018•浙江）已知点尸（0,1）,椭圆一+尸=用（加〉1）上两点A，B满足AP=2而，则

当根=时，点3横坐标的绝对值最大.

【答案】5

【解析】设A（x,乂），B（x，y）,

1122

由尸（0,1）,AP=2PB,

可得-x=2x,1-y=2（y一1）,

1212

即有x=-2x，y+2y=3,

即为X2+y2=m，①

①-②得(y-2y)(y+2y)=-3m，

1212

可得y-2y=-m，

12

解得y=4,y=213,

1224

贝!J瓶=X2+(-_—)2,

22

3—YY]-m2+10m-9-(m-5)2+16

艮|]有％2—m—(----)2=

即有机=5时，X2有最大值4,

即点8横坐标的绝对值最大.

故答案为：5.

三.解答题(共6小题)

20.(2016•北京)已知椭圆C:二+竺=1过点A(2,0),8(0,1)两点.

42/72

(I)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点直线尸8与x轴交

于点N,求证：四边形的面积为定值.

(1)解：•.・椭圆C:三+二=1过点4(2,0),8(0,1)两点，

。2枚

:.a=2b=l9则c=一＞=,4-1=G,

：.椭圆C的方程为土+尸=1,离心率为6=3；

42

(2)证明：如图，

设P(x,y),则左=—纥一，PA所在直线方程为丁=—匕一(1-2),

。0PAX-2X-2

00

取冗=0,得y=—2%；

MX-2

0

k=二，所在直线方程为丁=41+1,

PBXX

00

取y=0,得x=%，.

N1-V

0

x2—2y—x

「」AN\=2—x=2---------8-=------------8e-，

1—y1—y

Noo

2yx+2y—2

\BM\=l-x=1+T-=T_4—.

MX-2x-2

00

112—2y—xx+2y—2

/.S=--1ANMBM\=">——4__4-

ABNM