自动控制原理 第3版 课件 陶洪峰 05 频率法

第5章频率响应法

本章重点研究的内容（5个）：频率特性及图示法、典型环节的频率特性、系统开环频率特性的绘制、Nyquist稳定判据、稳定裕量及计算。（1）频率特性具有明确的物理意义，其数学模型可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）主要利用开环频率特性图的特点对闭环系统性能进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。频率特性的特点：5.1频率特性的基本概念定义：频率特性又称频率响应，它是线性定常系统（环节或元件），在不同频率的正弦信号作用下，响应到达稳态时，输出与输入的复数比。定义表达式为理解：因为线性定常系统满足叠加性和齐次性，因此当其输入端施加一正弦信号，系统响应到达稳态时必为一与输入信号同频率的正弦信号，且输出响应的幅值和相位均为输入信号频率的函数。3设系统输入信号为证明：其中，Cl、B、D均为待定系数。响应到达稳态时有：（稳态分量）（暂态分量）其稳态分量为：由于:所以:（欧拉公式）稳态响应的幅值稳态响应的相位设：则有：用复数指数形式表示为：则，系统的频率特性为：频率特性的物理意义：反映了系统（环节）对于正弦输入信号幅值和相位的改变情况。对幅值的改变，变现为放大器的特性；对于相位的改变表现为移相器的特性。定义：

为系统幅频特性，反映系统输出与输入的幅值之比。（1）为系统相频特性，反映系统输出与输入的相位之差。（2）三种数学模型之间的关系输出响应到达稳态时有：

t→∞

s=σ+jω→jω

G(jω)=G(s)|s=jω频率特性的表示形式

代数形式：G(jω)=P(ω)+jQ(ω)

幅相(极坐标)式：G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)

指数式：G(jω)=A(ω)ejφ(ω)实频特性虚频特性

正弦式：G(jω)=A(ω)[cosφ(ω)+jsinφ(ω)]四种表达式之间的关系图5.1复数的表示

极坐标图（幅相频率特性图或奈奎斯特图，简称奈氏图）的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为奈氏曲线，构成的图形称为奈氏图。定义：当输入信号的频率连续变化时，向量频率特性的几何图示法★

特点：是一种复平面中的极坐标曲线，因此也称为极坐标图。一般为绕坐标原点顺时针转动的一条曲线。曲线上面必须表明ω↑的方向。A(ω)φ(ω)ω作用：主要用于判断系统的稳定性—乃氏稳定判据图5.2乃氏曲线的特点特点：乃氏曲线绕坐标原点顺时针旋转；一般情况下都终止于坐标原点，只有当n=m时终止于实轴上的有限点；

0型系统起始于正实轴上的有限点；Ⅰ型和Ⅱ型系统分别沿-90°和-180°方向起始于无穷远处。对数坐标图---Bode图特点：两条曲线绘在同一对数坐标系中。

横坐标ω/s-1：按10倍频程(dec)即lgω分度，但标注ω的真值。纵坐标：按线性分度L(ω)/dB：0，±20，±40等。φ(ω)：0°，±90°，±180°等。作用：用实验法求系统传递函数；进行系统的性能校正。ω1ω2ΔL(ω)α0.1110102103ω/s-1(-10123(lgω)

φ(ω)6040200-20-40dB/dec-20dB/dec-40dB/dec图5.3对数坐标系的表示L(ω)/dB90°0°-90°-180°0.1110102103ω/s-1(1)横坐标按lgω刻度，但标的是ω的真值。(2)斜率±20dB/dec表示ω每增加10倍频程，幅值L(ω)上升或下降20dB。(3)根据直线斜率的定义有:-40=-tanα=-ΔL(ω)/lg(ω2/ω1)则:ΔL(ω)=40lg(ω2/ω1)注意：L(ω)/dB

φ(ω)00.300.480.700.850.95

0.600.780.901

lgω图5.410倍频程的表示1234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0ω/s-1注意：(1)横坐标按lgω刻度，但标的是ω的真值。(2)每10倍频程，距离相等，但10倍频程内按lgω分度，所以刻度由稀逐渐到密。§5.2典型环节的频率特性

奈氏图的绘制——“三点法”

起点：ω→0，[A(0),φ(0)]终点：ω→∞，[A(∞),φ(∞)]与负实轴的交点：令φ(ω)

=-180°→ωx

则交点为[A(ωx)，-180°]G(jω)=A(ω)ejφ(ω)→A(ω)：起止位置φ(ω)

：起止方向相位穿越

(截止、剪切)频率注意：由φ(0)→φ(∞)的变化范围可判断乃氏图所在的象限。一、频率特性的概略绘制

Bode图的绘制——“两段一点法”

低频段渐近线：ω→0，L(0)；φ(0)高频段渐近线：ω→∞，L(∞)；φ(∞)转折点：高低频段渐近线的交点。令L(0)=L(∞)→ω0→交点[ω0，

L(ω0)]G(jω)=A(ω)ejφ(ω)→L(ω)=20lgA(ω)φ(ω)对于相频特性就是对称点二、典型环节(8个)的频率特性1.比例环节图5.5比例环节奈氏图（K，0°）（1）奈氏图与ω无关，是正实轴上的一个点（K，0°）。（2）Bode图L(ω)=20lgKφ(ω)=0°是与ω无关的两条水平线。图5.6比例环节的Bode图作用：比例环节只改变原系统的幅值（K＜1，降低；K

＞1，抬高），不改变原系统的相位。2.积分环节（1）奈氏图图5.7积分环节奈氏图ω起点：[∞,-90°]；终点：[0,-90°]特点：是一条与负虚轴重合并指向坐标原点的直线。（2）Bode图

L(ω)=-20lgω，是一条斜率为-20dB/dec，过(1,0)点的直线。

φ(ω)=-90°，是一条与ω无关的-90°直线。图5.8积分、微分环节Bode图积分环节微分环节3.纯微分环节传递函数与积分环节互为“倒数”（1）奈氏图起点:(0,90°);终点:(∞,90°)是一条与正虚轴重合，由坐标原点指向∞的直线。图5.9微分环节奈氏图3.纯微分环节传递函数与积分环节互为倒数注意：传递函数互为倒数时，其

Bode图以ω轴为镜像对称。（2）Bode图幅频：L(ω)=20lgω，是一条斜率为+20dB/dec，并过(1,0)点的直线。相频：φ(ω)=90°,是一条与ω无关的+90°直线。积分环节微分环节4.惯性环节（1）奈氏图

起点：（1,0°）终点：（0,-90°）特点：惯性环节的奈氏图是位于第四象限的半圆。图5.10

惯性环节的奈氏图（1,0°）Re0Imω（2）Bode图联立消去ω可以得到实部和虚部的关系式：故，惯性环节的奈氏图是圆心为点（0.5，j0）上，半径为0.5的半园（ω=0~∞）。证明：实频特性和虚频特性为低频段：ω→0L(ω)≈0dB，幅频特性是一条0dB的直线。φ(ω)≈0°，相频特性是一条0°的直线。高频段：ω→∞L(ω)≈-20lgωT=-20lgω-20lgT

幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的直线φ(ω)≈-90°

相频特性是一条-90°的直线转折点：令-20lgωT=0dB或令-arctanωT=-45°

可得转折频率ω=1/T

转折点的实际幅频值：L(1/T)=-20lg

≈-3dB

转折点的相位：φ(1/T)≈-45°低频渐近线

高频渐近线

精确曲线

Asymptote

Asymptote

Cornerfrequency：ωn=1/T=10Exactcurve精确曲线

Exactcurve图5.11惯性环节的Bode图

惯性环节对数频率响应的误差修正曲线见P121图5-15。5.一阶微分环节图5.13一阶微分环节奈氏图（1）奈氏图

起点：（1,0°）终点：（∞,90°）特点：一阶微分环节的乃氏图是位于第Ⅰ象限（0°→90°）的垂线。传递函数与惯性环节互为倒数。（2）Bode图转折点：令20lgωT=0dB或令arctanωT=45°

可得转折频率ω=1/T，与惯性环节相同，特性曲线与惯性环节以ω轴为镜像对称。低频段：ω→0L(ω)≈0dBφ(ω)≈0°低频段与惯性环节相同高频段：ω→∞L(ω)≈20lgωTφ(ω)≈90°高频段与惯性环节互为相反数，即以ω轴为镜像对称。BodeDiagramofG(jw)=jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)051015202510010110204590图5.14一阶微分环节的Bode图

6.振荡环节（1）奈氏图起点：(1,0°)，终点：(0,-180°)特点：振荡环节的奈氏曲线是位于第Ⅳ、Ⅲ象限(0°→180°)，随ζ变化的一簇曲线。ω=ωr时有谐振：与负虚轴的交点：令φ(ω)=-90°得：ω=ωn=1/T，A(ωn)=1/2ζ图5-15振荡环节奈氏图低频段：ω→0L(ω)≈0dBφ(ω)≈0°低频段与一阶环节相同（2）Bode图高频段：ω→∞L(ω)≈-40lgωT

幅频特性是一条斜率为-40dB/dec的直线。φ(ω)≈-180°相频特性是一条-180°的直线。

转折点：令-40lgωT=0dB或令arctanωT=-90°

可得转折频率ω=ωn=1/T，与一阶环节相同。

L(ωn)=-20lg1/2ζ，φ(ωn)=-90°谐振点：

L(ωr)=-20lgA(ωr)=-20lgMr=特点：振荡环节的Bode图是随ζ变化的一簇曲线。当ζ值在一定范围内时，其相应的精确曲线都有峰值，渐近线误差随ζ不同而不同，在转折点附近为最大，并且ζ值越小，误差越大。图5.16振荡环节的Bode图误差修正曲线见P124图5-20所示。ωnωrω7.二阶微分环节图5.18二阶微分环节的奈氏图（1）奈氏图（2）Bode图—

与振荡环节以ω轴为镜像对称。8.延迟环节图5.19延迟环节的奈氏图Im0Re1-1（1）奈氏图延迟环节的奈氏图是一单位园。（2）Bode图=-τωω01K

ReIm•ωωωωω1比例2积分3微分4惯性5一阶微分6振荡7二阶微分8滞后

结论：零点环节（三种微分环节），相位为正，奈氏图位于上半平面；无零点环节（积分、惯性、振荡）相位为负，奈氏图位于下半平面；比例环节奈氏图为正实轴上的（K,0°）点；滞后环节奈氏图为单位圆。典型环节奈氏图小结（1）无转折的环节：（比例、积分和纯微分）对数幅频特性是高度为20lgKdB的水平线、过(1,0)点斜率为-20dB/dec和+20dB/dec的直线；对数相频特性为0°、-90°和+90°水平线。（2）有转折的环节（惯性、比例微分、振荡）：对数幅频低频段均为0dB水平线，高频段斜率分别为：-20、+20、-40dB/dec；对数相频特性低频段是0°水平线，高频段是相位分别为-90°、+90°

、-180°的水平线；转折点的频率为1/T。

系统阶次每增加一次，其对数幅频特性高频段斜率增加-20dB/dec；对数相频特性高频段相位增加

-90°。

本节结束！典型环节Bode图小结37一般系统的结构如图。

其中，开环传递函数由若干典型环节组成，即：则，开环系统的频率特性为：结论：系统开环幅频特性是各串联环节幅值之积；相频特性是各串联环节相频特性相角之和。§5.3控制系统的开环频率特性…5.3.1概述系统开环传函的时间常数表达式为：

特点：开环频率特性的低频段决定于比例环节K和积分环节个数ν。开环频率特性的高频段决定于比例环节K、各有限环节的时间常数（T、τ）和开环极点数n、开环零点数m。其中：低频段：ω→0G（jω）≈K/（jω）ν=

高频段：ω→∞，G（jω）≈

5.3.2开环乃氏图的绘制——三点法

起点（低频段ω→0）乃氏图的起始位置乃氏图的起始方向ν=0，乃氏图起始于正实轴上的(K，0°)点；ν=1，乃氏图起始于(∞，-90°)点，即由无穷远处沿趋于与负虚轴重合的方向出发。ν=2，乃氏图起始于(∞，-180°)点，即由无穷远处沿着趋于与负实轴重合的方向出发。n=m，乃氏图终止于正实轴上的(K′，0°)点；n

＞m

，乃氏图终止于[0，-90°(n-m)]点，即沿坐标轴的方向终止于坐标原点。2.终点（高频段ω→∞）乃氏图终止位置乃氏图终止方向3.与负实轴的交点

计算方法：令φ(ω)=-180°或令求得相位截止频率ωx，则交点为[A(ωx),-180°]

（a）乃氏图终止段（b）乃氏图起始段图5.23开环乃氏图的起始和终止形状4.

中频段的特点(1)无零点系统：如果系统没有开环零点，则当ω从0到∞的变化过程中，频率特性的相位角单调连续减小，乃氏图变化平滑。（2）有零点系统：如果系统有开环零点，则当ω从0到∞的变化过程中，频率特性的相位角不呈单调连续减小，极坐标图可能出现凹凸，其程度取决于开环零点的位置。如图5.24(b)、(c)所示。图5.24开环零点对乃氏图中频段的影响ω→0【例5.1】已知单位反馈系统开环传函分别如下，试画出其奈氏图。绘制方法：典型环节叠加法和分段叠加法。5.3.3

开环Bode图的绘制分段叠加法——低频段+中、高频段

低频段渐进线：ω→0或ω＜＜ω1低频段幅频Bode图表达式：特点：（1）是一条斜率为-20ν的直线[dL(ω)/dlgω=-20ν

]。（2）该直线过两个特殊点（1，20lgK）和（K1/ν，0）。（3）K决定了低频段的高度，ν决定了低频段的斜率。L(ω)/dB-40ν=2

ν=1

-20Kω/s-11ν=0

20lgK相频Bode图表达式：只决定于ν。

中、高段渐进线：

中频段：ω1

＜ω＜ωn；高频段：ω→∞或ω＞＞ωn

特点：①中、高频段渐进线决定于除比例和积分环节以外的其它有限环节②幅频特性按照转折频率分段进行斜率叠加；相频特性分段进行相位叠加。③高频渐近线斜率为-20(n-m)dB/dec；相位为-90°(n-m)。④各有限环节对应的斜率和相位分别为：0性系统为0°线，Ⅰ性系统为-90°线，Ⅱ型系统为-180°线。有限环节传递函数斜率（dB/dec）（低频，高频）相位（低频~高频）惯性0，-200°~-90°一阶微分0，+200°~+90°振荡0，-400°~-180°二阶微分0，+400°~+180°有转折的环节对应的斜率和相位注意：各环节幅频特性的斜率与相频特性的相位之间的对应关系。写出系统开环传递函数表达式，将其标准化（为了正确求出K和ν值）

；并计算20lgK。计算各典型环节的转折频率（ωi=1/Ti或τi），由小到大排列并依次标在频率轴上。

绘低频段：幅频：过（1，20lgK）点作-20νdB/dec直线至ω1；或者过（1，20lgK）点和（K1/ν，0）作直线至ω1。相频：作低频渐近线至ω1之前。4.绘中、高频段：从ω1开始依次叠加各对应环节高频段的斜率（相位），并据此依次改变幅频（相频）曲线，直到最后一个环节为止，则得到开环系统的幅频（相频）Bode图。

开环Bode图的绘制步骤：

【例题分析】系统开环传递函数为，试绘制其Bode图。5.3.4

最小相位系统与非最小相位系统1.定义：

开环传递函数在[s]右半平面内无任何极点和零点（即开环传递函数没有正实部的零、极点）的系统，称为最小相位系统；开环传递函数在[s]右半平面内至少有一个极点或或零点的系统，称为非最小相位系统。2.特点：①幅值相同的系统中，最小相位系统的相位是最小的。②实际工程应用的系统大部分都是由典型环节组成，因此均为最小相位系统。③最小相位系统，其幅频Bode图和相频Bode图随ω的变化规律具有一一对应的关系，因此其特性可由单一的幅频曲线唯一确定；非最小相位系统特性由幅频和相频共同确定。

显然，G1(s)为最小相位系统，而G2(s)为非最小相位系统，但它们具有相同的幅频特性，即:

而相频特性则不同:

重要结论：最小相位系统：，而非最小相位系统无此关系。因此。最小相位系统的特性可由L(ω)单独确定，而非最小相位系统特性则由共同决定。【例】

两系统开环传函分别为：和5.3.5传递函数的实验法确定

依据：最小相位系统L(ω)G(s)。

思路：先由频率特性实验测得系统开环Bode曲线，然后分别用斜率为0dB/dec、±20dB/dec的直线段逼近确定分段渐近线，最后根据下列步骤进行。

(1)由低频段确定ν和K：由图得：低频段斜率=-20ν→ν；由图得：ω=1对应的低频段或其延长线的高度=20lgK→K或由图得低频段或其延长线与ω轴的交点频率ω0=K1/ν→K。(2)由中、高频段的转折频率确定各有限环节的时间常数T(τ)：幅值抬高，则对应微分环节，ωi=1/τi

，抬高+20dB/dec，则为（τis+1），抬高+40dB/dec，则为（τis+1）2。幅值下降，则对应惯性环节，ωi=1/Ti。

下降-20dB/dec→，下降-40dB/dec时有两种情况：若没有谐振，则为双惯性，若有谐振，则为振荡，必须按照已知的谐振频率和幅值求出对应的ωn和ζ，才能写出该环节的传函如下。自学例题5-5，5-6作业：习题5-3(2)(5)(6)5-5(a)(b)(d)本节结束！§5.4奈奎斯特稳定判据—奈氏判据（1）奈氏判据是根据开环频率特性判断闭环系统稳定性的一种几何判据。（2）奈氏判据不需要求解闭环系统的特征根，当系统某些环节（延迟）无法用分析法写出时，可以通过实验法获得系统开环频率特性来判断闭环稳定性。（3）奈氏判据能给出系统的稳定裕量（幅值裕量、相位裕量）来描述系统的相对稳定性，能指出提高和改善系统动态性能的途径，因而这种方法在工程上获得广泛的应用。（4）依据：映射（幅角）原理和系统稳定的条件。5.4.1

引言——奈氏判据的特点：本节主要内容：奈氏判据、稳定裕量及计算。先看下面对应关系因此，可称[GH]中(-1,j0)点为使系统闭环稳定的开环临界点。5.4.2幅角原理—映射原理(1)辅助函数F(s)设则：Dk(s)=N1(s)N2(s)令令引入辅助函数—复变函数F(s)的特点：其零点是闭环极点，其极点是开环极点，因此F(s)的零、极点个数（用Z表示）相同。系统稳定条件是闭环所有极点即F(s)的所有零点全部位于[s]左半平面。(2)幅角原理（映射原理）

对于[s]内任一封闭曲线Γs

，在[F(s)]内都能映射出另一封闭曲线ΓF；当Γs包围F(s)的Z个零点和P个极点，且Γs不通过F(s)的任何零、极点时，则当s顺时针方向沿Γ

s转一圈时，ΓF

逆时针包围其坐标原点N圈，且N=P-Z。如下图说明：Γ

sjω[s]σ0ΓFjω[F(s)]σ0z

ip

lF(s)的零点（Z个）极点（P个）N圈(3)奈氏路径及映射

选取[s]右半平面边界线为Γs，称为奈氏路径。如图有：ω=-j∞→0-→0+→+j∞→-j∞即：奈氏路径=虚轴+半径为∞的半圆而半径为∞的半圆可表示为：因n≥m，所以此时有：或1+K

可见：[s]内的奈氏路径即Γs曲线在[F(s)]内的映射即ΓF曲线只决定于虚轴，即ω=-j∞→0-→0+→+j∞的部分。而此时的ΓF即F(jω)曲线。

特别说明：在奈氏路径中，ω=-∞→0-和ω=0+→+∞是关于实轴对称的，所以一般只需画出ω=0+→+∞的虚轴及其在[F(s)]平面的映射部分即可，为使奈氏判据使用起来简单，下面的讨论均指ω=0+→+∞的虚轴及其映射部分。(4)[F(s)]与[GH]的映射关系F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=-1+F(s)[F(s)]坐标原点[GH]即为（-1,j0）点

所以：当ω=0+→+∞变化时，[F(s)]内ΓF逆时针包围其坐标原点的圈数N=奈氏曲线G(jω)H(jω)逆时针包围[GH]内（-1，j0）点的圈数。即有下面对应关系：Γs

ΓF

ΓGH

ω=0+→+∞[s]第一象限边界线

奈氏曲线G(jω)H(jω)

F(jω)曲线对应ω=0+→+∞的部分63

由此，幅角原理可以叙述为：如果某系统在[s]右半平面中含其闭环传递的Z个极点和开环传函的P个极点时，则[s]右半平面的包络线在[GH]中的映射就是系统的开环奈氏曲线G(jω)H(jω)，而且当ω=0+→+∞变化时，奈氏曲线G(jω)H(jω)逆时针方向包围（-1,j0）点的圈数为：其中：

N

—[F(s)]内ΓF逆时针包围其坐标原点的圈数，即[GH]内奈氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数。

P

—

Γs内[F(s)]的极点数即[s]右半平面开环极点数。

Z

—

Γs内[F(s)]的零点数，即[s]右半平面闭环极点数。

显然Z=0时系统稳定。此时闭环系统稳定的充要条件可表述为：N=P/2。0型系统

特点：系统开环传函不含0极点，开环系统稳定。奈氏判据：当ω=0→∞变化时，开环奈氏曲线逆时针包围（-1,j0）点的圈数N=P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定，此时不稳定闭环特征根的个数为Z=P-2N。

设P为系统开环传函右半平面极点数，N为奈氏曲线逆时针包围临界点（-1，j0）的圈数。则奈氏稳定判据为：5.4.3奈氏稳定判据

非0型系统

特点：系统开环传函含有0极点，开环系统处于临界稳定。说明：开环传函含有零极点因子，相当于Γs

经过了F(s)的零极点，这不符合幅角原理的要求，因此不能直接应用奈氏判据，需要做一些数学处理。

如图所示，可用半径为无穷小的1/4圆弧“代替”s=0的极点。这1/4圆弧可表示为：开环传函含有0极点因子的数学处理：

此时，开环传递函数可表示为：

可见，当s沿半径为无穷小的圆弧从j0变化到j0+时，奈氏曲线则在无穷远处由0°变化到-90°ν，即顺时针方向变化的角度为90°ν。因此，若开环系统含有ν个积分环节，在应用奈氏判据时，应先绘出ω=0+→∞的奈氏曲线，再从ω=0+开始逆时针补画一个半径为∞，相角为90°ν的大圆弧增补线（至ω=0处），作为奈氏曲线的起始部分，然后再根据0型系统奈氏判据的方法判断系统的稳定性。

奈氏稳定判据使用说明：(1)奈氏曲线

0型系统奈氏曲线在ω=0点是封闭的（加上实轴的一部分），无需作辅助线；对于非0型系统，奈氏曲线ω=0点不封闭，需做辅助线，方法是从ω=0+开始逆时针作半径为∞，角度为90°ν的圆弧至ω=0。(2)开环右半平面极点数P可根据已知的开环传函确定。(3)奈氏曲线逆时针包围(-1，j0)点时，N为正；反之N为负。(4)奈氏曲线穿过（-1，j0）点时，闭环临界稳定，此时N是不定的。奈氏稳定判据中N的简易判断方法——

穿越法

因为开环奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，则其必然由上向下穿越(-1,j0)左边负实轴一次，因此可利用ω=0→∞变化时开环奈氏曲线上、下穿越(-1,j0)点左边负实轴的次数来计算N，从而判断系统闭环稳定性。将开环奈氏曲线从上而下，即逆时针穿越(-1,j0)左边负实轴称为正穿越一次，用N+表示，反之称为负穿越一次，用N-表示。如果奈氏曲线起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴上，则称为半次穿越，同样有+0.5次穿越和-0.5次穿越。

则开环奈氏曲线在ω=0→∞变化时，逆时针方向包围(-1,j0)点的圈数为：N=N+-N-【例题分析】见P138-140例5-7~5-9。练习：P159习题5-7。作业：P159-160习题5-6，5-8。本节结束！§5.5控制系统的相对稳定性即：稳定裕量及计算1.开环频率特性图上系统临界稳定点（线）

复平面上(-1,j0)，即(1,-180°)点为奈氏图上使系统闭环稳定的开环临界点。对应Bode图上为两条临界稳定线：幅频临界线相频临界线2.定义两个重要频率：幅值截止频率ω

c：开环奈氏图上对应于幅值为临界值1的点的频率或幅频Bode图与临界线0dB线（ω轴）的交点频率。表达式为：A(ωc)=1或L(ωc)=0dB。相位穿越频率ω

x：开环奈氏图上对应于相位为临界值-180°的点的频率或相频Bode图与-180°临界线的交点频率。表达式为：

φ(ω

x)=-180°

。3.

稳定裕量定义：稳定裕量是指在频率特性图中，系统的稳定运行点到临界稳定点（临界稳定线）之间的“距离”。在实际工程系统中常用相位裕量γ和幅值裕量h表示。相位裕量又称相角裕量(PhaseMargin)γ：定义：相位裕量是指在截止频率ω

c处，使系统达到不稳定时所需要附加的相角滞后量。

定义表达式：物理意义：幅值裕量又称增益裕量(PhaseMargin)h：定义：幅值裕量是指在穿越频率ωx处，使系统达到不稳定时，开环幅值还可以增加的倍数。物理意义：γ＞0°h＞1奈氏图上的相位裕量与幅值裕量（a）稳定系统-1ωMN1负相位裕度（b）不稳定系统ωMNγ＜0°h＜1M点N点Bode图上的相位裕量与幅值裕量0dB20lgh＞0dB（a）稳定系统(ωc＜ω

x)0dB20lgh＜0dB（b）不稳定系统(ωc＞ω

x)结论：

根据稳定裕量指标可判断系统稳定性

γ＞0°且h＞1或20lgh＞0dB时系统稳定

γ＝0°且h=1或20lgh=0dB

时系统临界稳定；

γ＜0°且h＜1或20lgh＜0dB

时系统不稳定；对最小相位系统，因为γ与h（20lgh）有唯一的对应关系，因此，可只用相位裕量γ来判断系统的稳定性。一般工程要求：γ=30°~60°；20lgh=6~10dB。相对稳定性在奈氏图与Bode图中的比较（a）系统稳定（b）系统临界稳定（c）系统不稳定γ＞0°h＞120lgh＞0dBΓ=0°h=120lgh=0dBΓ＜0°h＜120lgh＜0dB

两种特殊情况的处理：（a）曲线与单位圆有三个交点，其相位裕量的值各不相同；（b）曲线与负实轴有三个交点，其幅值裕量的值也各不相同。对以上两种特殊情况，一般以最坏情况考虑。123123

根据定义首先计算两个截止频率ωc和ωx：

ωc的计算：方法1：根据开