【一轮复习讲义】2024年高考数学考点题型归纳与方法总结（新高考）解析版第34讲空间直线、平面的垂直

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第34讲空间直线、平面的垂直（精讲）

题型目录一览

①垂直性质的简单判

定

②线面垂直的判定-

③线线垂直的判定-

④面面垂直的判定

、知识点梳理

一、直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

二、判定定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平1

a,bua

面内的两条相交直a.LI

判断定理n/J_a

线都垂直，则该直7bll

acb=P

线与此平面垂直

两个平面垂直，则

a10

在一个平面内垂直Lac0=a

面，面n线_1面>=>bJ_a

Jbu(3

于交线的直线与另*

b.La

一个平面垂直

一条直线与两平行

7

平面中的一个平面ZLZa11(3}

平行与垂直的关系二n

a-La]

垂直，则该直线与二7

另一个平面也垂直

两平行直线中有一ab

一

条与平面垂直，则allb\

平行与垂直的关系

/a

另一条直线与该平a-La]

面也垂直

三、性质定理

文字语言图形语言符号语言

ab

垂直于同一平面的两alia

性质定理au0'=a1电

条直线平行ac0=b

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一直线a-La]

垂直与平行的关系ZZ〃_L尸J\na1113

的两个平面平行二

如果一条直线垂

直于一个平面，则

线垂直于面的性质/_La,aua=/_La

该直线与平面内

所有直线都垂直

四'平面与平面垂直

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ac^=C£>,Cr>_L/,且&八/=45,4门/=3瓦则［，£）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

五、判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一b-La]

卜=a-L尸

小bu°\

个平面的垂线，则

二7

这两个平面垂直

六、性质定理

文字语言图形语言符号语言

两个平面垂直，则一aP

ac。=a

个平面内垂直于交>=>Z?±cr

bu0

性质定理线的直线与另一个J<1/bLaJ

平面垂直

【常用结论】

1.证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(aJ_Z?)；

⑦平行线垂直直线的传递性ka1c,alIbnblc).

2.证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(a_L6,aJ_c,cutz,6ua6cc=P=>a_l_a)；

③面面垂直的性质(aL/3,ac/3=b,aLb,aua=a，/3)；

平行线垂直平面的传递性(a_La,6//anb_L(z);

⑤面面垂直的性质(e_L7,分_L7,ec£=/=>/_!_/).

3.证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(o_L£,auane_1_尸).

二、题型分类精讲

题型二垂直性质的简单判定

策略方法

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

【典例1】（单选题）若/为一条直线，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A.a±y,p±/=>a±B.若〃/a,a_!_£=>/u/

C.a±/,pily=>aLpD.若〃/a,tz_1_万=>/_1_尸

【答案】C

【分析】根据线面，面面，平行，垂直的性质与判定判断即可.

【详解】对A,若£，/,/?，/,名口可能相交也可能平行，故A项不正确；

对BD,〃/则可能有〃//?,故B,D项不正确；

对C,a_!_7,£///则必有a_L6，故C项正确.

故选：C

【题型训练】

一、单选题

1.若a、夕是两个不重合的平面，

①若a内的两条相交直线分别平行于夕内的两条直线，则c〃4；

②设a、夕相交于直线/,若。内有一条直线垂直于/,则&，夕；

③若a外一条直线/与a内的一条直线平行，贝U〃a；

以上说法中成立的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】利用直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理判定

即可.

【详解】对于①，设4/<=平面a,且4c4=A,

由直线与平面平行的判定定理可知4〃夕，4〃夕，

再由平面与平面平行的判定定理可知a〃/，则①正确；

对于②，设。、夕交于直线/,若a内有一条直线垂直于/,

则a、夕可能垂直也可能不垂直，则②错误；

对于③，由直线与平面平行的判定定理可知〃/a,则③正确,

故选：C.

2.已知加，”是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，有以下四个命题：

①若m//n,"ua,则加〃a,②若加ua,mV[3,则a_L#,

③若m±a,则a〃夕，④若a-L,mua,"ua,则力z〃

其中正确的命题是（）

A.②③B.②④C.①③D,①②

【答案】A

【分析】对于①，由线面平行的判定定理分析判断，对于②，由面面垂直的判定定理分析判断，对于③,

由线面垂直的性质分析判断，对于④，举例判断

【详解】对于①，当机〃"，"ua时，”?〃a或垃ua,所以①错误，

对于②，当加ua,时，由面面垂直的判定定理可得al■月，所以②正确，

对于③，当相，/，加，尸时，有a〃夕，所以③正确，

对于④，当。，/?,"2ua,"ua时，如图所示，加〃"，所以④错误，

故选：A

3.已知加，"，/是3条不同的直线，a,B,7是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若相,nl.1,则根〃〃

B.若a_L/?,aP=m,I_Lm,则/_Ltz

C.若〃m///3,则

D.若a_L/,/?!/,则a〃6

【答案】C

【分析】利用垂直于同一直线的两条直线的位置关系可判断A；利用面面垂直的性质可判断B；利用面面

垂直的判定可判断C；利用垂直于同一平面的两个平面的位置关系可判断D.

【详解】对于A,由加J_/,"J_/,在同一个平面可得相〃”，在空间不成立，故A错误；

对于B,由面面垂直的性质定理知缺少“/u。”，故B错误；

对于C,若mla,m〃。,则。_1_力，故C正确；

对于D,当三个平面。，/3,/两两垂直时，结论错误，故D错误.

故选：C.

4.设加，n,/是三条不同的直线，a,口，/是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（）

A.若〃2_1_〃，则相_!_/

B.若<z_L耳，。上丫,则aJ-7

C.若〃?_La,根〃"，n//P,则a_L尸

D.若〃〃，m//a,则〃〃a

【答案】C

【分析】根据线面位置关系的性质定理与判定定理一一判定即可.

【详解】对于A,若机J_〃，”_1_/,则相〃/或机,/相交或"2,/异面，错误；

对于B,若。，力，2,则C〃7或“7相交，错误；

对于C,若根J_<z,m//n,则〃_La,又〃〃尸，则a，/?,正确；

对于D,若m〃n,m//a,贝!J"ua或〃〃a,错误.

故选：C.

5.设〃?，/，/是三条不同的直线，a,P，/是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（）

A.若机_1_〃，则机_L/B.若a，。,/7_!_/,则a_Ly

C.若〃?_Ltz,m//n,则〃J_（zD.若mHn,ml/a,则“//or

【答案】C

【分析】由线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的理论逐一判断即可求解.

【详解】对于A选项：不妨设〃，平面万，Im,/u平面乃，加u平面万，则有〃z_L〃，«±/,但机与/

不垂直，故A选项错误.

对于B选项：若2,则a〃7或a与/相交，即a与/不一定垂直，故B选项错误.

对于C选项：设44u平面a且/1'4=P,若〃7_1_0，则有利J_4，

又机//〃，所以"」/”〃_!_4，结合4「"2=P、平面a,所以有〃_La,故C选项正确.

对于D选项：若加//〃，mlla,则"//a:或“ua,故D选项错误.

故选：C.

6.设外”是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若能_L",力〃e,则m_L（z

B.若m〃/3,/3La,则

C.若机_L〃,〃_L£,£_La,则机_!_&

D.若机_L£,〃_L£,〃_La,则机_L（z

【答案】D

【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.

【详解】当机_L〃，"〃口时，可能有m_1_打，但也有可能〃z//a或〃2uc,故A选项错误;

当机///?,/J_。时，可能有〃z_L（z,但也有可能加〃&或mua,故选项B错误；

在如图所示的正方体ABC。-4qCR中,

取m为Bg,n为cq,夕为平面A3CD,。为平面ADRA，这时满足加工力，B，a,但机_La不

成立，故选项C错误；

当〃z_L£,,H_LQ;•时，必有c〃尸，从而〃7_l_or,故选项D正确；

故选：D.

7.下列命题中，不正确的是（）

A.夹在两个平行平面间的平行线段相等

B.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C.若直线“〃平面a,Pea,则过点P且平行于直线。的直线有无数条，且一定在a内

D.已知机，w为异面直线，平面a,〃_L平面用，若直线/满足/_!_%，ILn,IUa,IB0,则。

与夕相交，且交线平行于/

【答案】C

【分析】利用面面平行的性质推理判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理判断B；利用线面

平行的性质判断C；利用反证法结合线面平行的性质推理判断D作答.

【详解】对于A,平面S//平面？，点A,Oe平面5,民Cw平面7,且AB//CD,

D

/T_______/

由AB//CD,得点A,8,C,D共面，平面人以力—平面万二仞，平面ABCDc平面T=3C,

而平面5//平面「，于是AP//8C,因此四边形ABCD是平行四边形，所以A3=CD,A正确;

对于B,设平面X、/、K两两垂直，它们的交线分别为b、c、d,

过平面2内点。的直线e、f分别满足f±c,如图，

由/L_L7,2y=b,eu/l,得e_L7，而广K=d,则e_Ld,同理/_Ld,

因此d_L2,又b,cu九,从而d_L6,1_Lc,同理匕_Lc,

所以三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，B正确；

对于C,由直线。//平面。，Pe«,得直线。与点尸确定一个平面b,令平面b与平面a的交线为"，

显然a〃a,且"u平面a,直线"唯一，C错误；

对于D,假定a与夕平行，由7〃_L平面。，得平面夕，又w_L平面夕，于是血/〃，

这与m,n为异面直线矛盾，即假设不成立，因此a与夕相交，

由〃，平面/、口〃及/0尸，得/〃口，同理〃/a,在平面a内存在直线，〃/,

在平面耳内存在直线/"///（/'/均不为平面a与夕的交线），

即有/'///〃，于是/"/£,直线/‘平行于平面a与夕的交线，所以直线/平行于平面a与夕的交线，D正确.

故选：C

8.己知加，"，/是三条不同的直线，«,用是两个不同的平面，且加」/,nil,nL/3,则下

列命题错误的是（）

A.若机_L〃，则B.若〃2〃“，则tz〃?

C.若加//£,则a///?D.若〃则"J_a

【答案】C

【分析】A选项，分%u£与mcz#两种情况，由线面垂直得到面面垂直；B选项，得到结合〃，，，

可得e//〃；C选项，先得到小，结合A选项可得1上尸，C错误；D选项，可得到mHn,进而得到〃_La.

【详解】A选项，若mu/3,如图1,因为机，所以a_L£,

图I

若加0尸，如图2,因为m_L〃，77」。，则加〃刀，过直线m的平面7交平面夕于直线a,

则加〃a,故a_La,因为au/7,所以a_L,,

图2

综上，若加工“，则。，力，A正确；

B选项，因为〃?〃“，〃?J_a,所以〃JLar,

因为"，/，可得a//£,B正确；

C选项，因为机//6，nVp,所以m_L〃，

由A选项可知C6,C错误；

D选项，因为m_L/?,则相〃"，因为所以〃_La,D正确.

故选：C

二、多选题

9.已知加，”为不同的直线，«,夕为不同的平面，则下列说法错误的是()

A.若〃2〃£，n//(3,aV[3,则如J_"B.若〃z_l_a,n±J3,aY(3,则？九〃〃

C.若加〃a,nVP,mVn,则a〃6D.若m〃a,nVj3,m//n,则cz_L6

【答案】ABC

【分析】通过分析不同情况下直线和平面的位置关系即可得出结论.

【详解】由题意，

人项，设加，〃,机,〃所在平面7,76=4,7&=只需44,根”即满足题设，故A错误；

B项，设〃z_L#且相u（z,〃_La且〃u尸，此时机_|_〃，B错误；

C项，当加〃蟆，〃z_L〃时，a可能垂直于4，C错误；

D项，当相〃tz,nl/3,m//n,则々_1_2，故D正确.

故选：ABC.

10.设加，”是两条不同的直线，。，尸是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若相u»,cz_l_p,则〃?J_aB.若ar〃/?,mu/3,则根〃（z

C.若〃_La,nV[5,则a〃"D.若inUa,加〃夕，则£〃尸

【答案】BC

【分析】根据空间中线面、面面位置关系判断即可.

【详解】因为加，”是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，

对于A：若mu。,a1/3,则m_La或加//cr或"ua或m与a相交（不垂直），故A错误；

对于B：若£〃/?,机u£,则相〃a,故B正确；

对于C：若"_La,则a〃尸，故C正确；

对于D：若加〃£，加〃尸，则3勿或a与夕相交，故D错误.

故选：BC

11.设加，〃是两条不同的直线，。，£是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（）

A.若nlla,则〃2_L〃B.若/”〃〃，m<Zor,"ua,则根//C

C.若mlla,则〃?_L力D.若机_La,mu/7,则a_L分

【答案】ABD

【分析】利用线面平行性质、线面垂直的性质推理判断A；利用线面垂直的判定判断B；举例说明判断C；

利用面面垂直的判定判断D作答.

【详解】对于A,由“〃e,得存在过直线”的平面7与平面。相交，令交线为c,贝Ue//”，

由〃z_L（z,cua内，得因此A正确；

对于B,由〃2〃“，my〃ua,%mlla,B正确；

对于C,由于<z_L尸，令a/3=l,当时，有机〃c,此时相u尸或根//6，C错误；

对于D,由mu0,得c_L#,D正确.

故选：ABD

12.已知八”是两条不重合的直线，d〃是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（）

A.若mlla,mlIp,nila,nll/3,则a//"

B.若根_L〃，mlla,n±/3,则（z_L»

C.若根_L〃，“zua,nu/3,则

D.若相〃"，mVa,H-LJ3,则tz〃/?

【答案】ABC

【分析】由空间中线面位置关系可判断.

【详解】由加，”是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，知：

在A中，若mlla,m//,nila,nlip,则a与4相交或平行，故A错误；

在B中，若加_L〃，ml/a,n，B,则a与4相交或平行，故B错误；

在C中，若〃z，〃，mua,nu/3,则a与4相交或平行，故C错误；

在D中，若加/〃，mla,八/3,则由线面垂直，线线平行的性质可得故D正确.

故选：ABC.

三、填空题

13.给出下列四个命题：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；

④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.

其中正确的命题共有个.

【答案】2

【分析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】①中，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直,

所以①不正确；

②中，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直,

所以②正确；

③中，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰时相交直线，若直线垂直于梯形的两腰所在的

直线，可得直线垂直梯形底面所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，所以③正确；

④中，因为梯形的两底所在的直线相互平行，根据线面垂直判定定理，直线与这个平面不一定垂直，这条

直线不一定垂直于两腰所在的直线，所以④不正确.

故答案为：2.

14.已知名"是两个不同的平面，%〃是平面&及4之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：

①②cz_L£；③〃_!_£；@mLa.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.（用序号表示）

【答案】①③④n②（或②③④n①）

【分析】已知①③④时，将利,“平移到相交位置，根据线面垂直的判定与性质以及直二面角的定义可推出

②；已知②③④时，根据直二面角的定义可推出①.

【详解】若根ml.a,则

证明：过平面a和平面尸外一点尸，悴R4交a于A,作尸B〃“，PB交B于B，

则PA_La,PB1/3,PA±PB,

显然a与夕不平行，设aB=l,则PA_U,PBLI,

因为PAPB=P,PAPBu平面所以//平面P4B,

延展平面RW交/于点连贝!/IBM,

则ZAMB是二面角a-1-p的一个平面角，

因为上4_La,AM^a,所以同理有尸

又PA工PB,所以四边形为矩形，则

则平面a和平面夕形成的二面角的平面角直二面角，故a1（3,

若a_L，,n，［3,m.La,则〃_zL〃.

证明：因为尸，所以a与夕所成的二面角为90,

因为mLa,所以直线〃〃所成的角也为90,即%_L〃.

若〃z_L〃，al/3,nL/3,则加与a相交或m//a或机u（z.

若根J_九，a.L/3,m-La,则〃与a相交或〃//a或〃ua.

故答案为：①③④n②（或②③④n①）.

题型二线面垂直的判定

【答案】见解析

【分析】通过证明CFL8E和ABLCF,进而可得证.

【详解】

E,F分别是棱与G,好8的中点，

在RtABB、E和RtACBF中，BBt=BC,BlE=BF,

所以RtABBtE=RtACBF,所以△ZBtBE=ZBCF,

因为NB]BE+NEBC=90,所以ZBCF+N£BC=90,

所以N3OC=90,即Cb_L3E,

又因为正方体ABCD-中，AB1平面BCC^,CFu平面BCQB,,

所以ABLC尸，A3和BE平面EAB内的两条相交直线，

所以CF_L平面EAB.

【题型训练】

一、解答题

1.如图所示，在四棱锥产一A2CD中，底面A8CD为矩形，如，平面ABC。，点E在线段PC上，PC,平

面BDE.证明：平面PAC

【答案】证明见解析

【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可.

【详解】证明：平面ABC。，BOu平面ABC。

：.PA±BD.同理由PCJ_平面30E,可证得PC_L5D

XPAHPC=P,平面RIC.

2.如图，在四棱锥P—MCD中，底面ABC。是梯形，AD//BC,且AD=2BC,PALPD,AB^PB.

⑴若厂为融的中点，求证的〃平面尸。

(2)求证平面PCD.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）取PD中点E,连接EF、EC,可得EF//BC且EF=BC,则四边形EFBC为平行四边形,

则BB//EC,根据线面平行的判定定理，即可得证

（2）根据三角形性质，可证班'LAP,结合（1）可得ECLAP,根据线面垂直的判定定理，即可得证

【详解】（1）取PD中点E,连接EF、EC,如图所示

因为E、F分别为PD、PA中点，

所以E尸//AD，且EF=JAD,

又因为RAD=2BC,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四边形EFBC为平行四边形，

所以BF//EC,

因为平面PCD,ECu平面PCD,

所以所〃平面PCD

（2）因为=F为PA中点，

所以加'_LAP,则EC_LAP,

因为上4_LP£）,ECPOu平面PCD,

所以PA_L平面PCD.

3.如图，在四棱锥P-MCD中，上4,平面A3CD,底面ABCD为菱形，E为CO的中点.

p

(1)求证：加上平面PAC；

(2)若点P是棱AB的中点，求证：C尸［平面R4E.

【答案】⑴答案见解析

(2)答案见解析

【分析】由24,平面A3CD,且底面ABCD为菱形，即可得到①51平面PAC内的两条相交直线，则可证

得比)1平面PAC.

(2)由瓦尸分别为中点，可得到Cf7/AE,则问题即可得以证明.

【详解】(1)因为PA_L平面ABCD,3£>u平面ABCD,所以B4_LBD,又因为底面ABCD是菱形，贝!|

BD1AC,PAAC=A,P4,ACu平面PAC,所以即工平面PAC.

(2)连接CP,AE如图所示:

因为瓦厂分别为CD,A3的中点，贝!|A尸〃CE且A/^=CE,所以四边形AFCE为平行四边形，所以AE〃b,

AEu平面R4E,CF<z平面E4E,所以CF〃平面B4E.

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CQ为正方形，上4,底面ABCZ),B4=AB=2,E为线段尸3的中点产为

线段8c的中点.

⑴证明:平面PBC;

（2）求点P到平面AEF的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵坐.

3

【分析】⑴先根据PA，底面ABCD,得至!）PA±3C,再根据AB13C,利用线面垂直的判定定理证明3C1平

面PAB,即再根据一次线面垂直的判定定理证明平面PBC;

（2）先根据长度及垂直关系得到AF,AE,EF,进而得到△AEF的面积，再计算出VF_PAE，根据等体积法即可求得

点P到平面AEF的距离.

【详解】（1）证明:因为PA_L底面ABCD,3Cu平面ABCD,所以3c.

因为ABCD为正方形，所以AB±BC,

因为PAAB=A,PAu平面PAB,ABu平面PAB,所以BC1平面PAB,

因为AEu平面PAB,所以AE_L8C,

因为上4=AS,E为线段PB的中点，所以

又因为BBc5C=3,P3u平面PBC,3Cu平面PBC,所以AE_L平面PBC.

（2）由F是BC的中点.所以=产=有,

因为PA_L底面ABCD,ABu平面ABCD,

所以R4_LAB,因为E为线段PB的中点，

所以AE=gpB=0,

由⑴知AE_L平面PBC,跖u平面PBC,

所以，所以所=JARZ—AE?=6,

所以5.=以石•所="，

A"22

因为7^4=AB=2,所以SPAE=—SPAB=—PA-AB=1,

由⑴知BC1平面PAB,所以FB，平面PAB,

设点P到平面AEF的距离为h,

则有*£尸=15AEF-h=^-h=VF_PAE=|SPAE-BF=^~,

3o33

解得〃=逅，所以点P到平面AEF的距离为逅.

33

5.如图，在四棱锥尸一AfiCD中，AB=BC=1,DC=2,PD=PC,NDPC=90。，ZDCB=NCBA=90°,

平面PDC_L平面ABCD.证明：PD_L平面BBC

【答案】证明见解析

【分析】由面面、线面垂直的性质可得且3CLCD,根据线面垂直的判定即可证结论；

【详解】证明：由题设，BCLCD,又面面PDC面ABCD=CD,BCu面ABCD,

所以3C1面PDC,而尸£>u面尸DC,则3CL尸。，

由/DPC=90。得：PC1PD,

又BCcPC=C,则PD_L平面PBC.

6.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，底面ABC。，E,尸分别是PC,尸D的中点.

(1)若PA=AB=1,BC=2,求四棱锥尸―ABCD的体积;

(2)求证：平面上4D.

【答案】⑴]

(2)证明详见解析

【分析】（1）根据锥体的体积公式，即可求出结果；

（2）根据线面垂直的判定定理，即可证明CD，面PAD,又由中位线定理，可得EF//CD,进而证明出结

果.

【详解】（1）解：,••在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，24,底面ABCD,PA=AB=1,BC=2,

112

^P-ABCD='^=JX1X2X1=J；

（2）证明：I•四边形A3CD为矩形，

...CD1AD,

PAJ_底面ABCD,CDu面ABCD,

/.PA±CD,

又ADcR4=A,二。£>_1面24。，

又E,尸分别是PC,PD的中点，

,EF//CD,

：.EF2平面PAD.

7.如图，B4是圆柱的母线，48是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A.8的一点，S.PA=AC=BC=2.

⑴求证：平面B4C

（2）若M是PC的中点，求三棱锥3-ACM的体积.

【答案】⑴证明见解析

（2）t

【分析】（1）通过证明网，8。,8。，4。来证得86：1平面必。.

（2）先求得三棱锥3-ACM的高，进而求得三棱锥3-AQW的体积.

【详解】（D'.•PA为圆柱母线，

二尸4,平面ACB,

3Cu平面ACB,

二PA±BC,

VAB为底面圆直径，；.BC±AC,

；ACu平面APC,PAu平面APC,ACr\PA=A,

二平面PAC.

(2),.,BC1平面APC,平面4WC=平面APC,

，3C，平面ACM,BC为三棱锥3-ACM的高，BC=2,

'：AC=PA=2,M为PC中点，

/.AMPC,AM=MC=BSACM='义®乂血=\，

VB-ACM=§X1X2=§.

8.已知Rtz^ABC的斜边为AB,过点A作B4_L平面ABC,于M,AN_LPC于N.求证:

(1)BC_L平面B4C；

(2)尸3_L平面AMN.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)由题意可证得PA_LBC,BC1AC,再由线面垂直的判定定理即可证明.

(2)由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明.

【详解】⑴；PA_L平面ABC,BCu平面ABC,/.PA±BC.

,/ABC是直角三角形，AB为斜边，.,.BC1AC,

XACnPA=A,AC,PAu平面PAC,.\BCJ_平面PAC.

(2)由(1)知BC_L平面PAC,

；ANu平面PAC,/.BC±AN,

又；AN_LPC,BCAPC=C,BC,PCu平面PBC,

.•.AN_L平面PBC,又PBu平面PBC,AAN1PB,

又；PB_LAM,AMAAN=A,AM,ANu平面AMN,

平面AMN.

9.如图，在三棱柱ABC-44G中，A4,，平面分别为AC,AG的中点，AB=BC=45,AC=AA,=2.

(1)求证：AC_L平面BDE;

(2)求点D到平面ABE的距离.

【答案】⑴证明见解析；

⑵当

【分析】(1)通过证明ACLDB，AC±DE,得证AC_L平面BDE.

(2)由/_槐=%一"。，利用体积法求点D到平面ABE的距离.

【详解】(1)证明：•；=D,E分别为AC,的中点，

/.ACA.DB,且DE〃叫，

又A4,_L平面ABC工平面ABC,

又ACu平面ABC,/.ACLDE,

又AC_L£>3,且DEcDB=D,£>E,u平面瓦)£,

AC_L平面3£>E.

(2)VAC±DB,AB<,AC=2AD=2,

BD=\lAB2-AD2=2>

2222xx2

BE=yjDE+BD=242>AE=y/DE+AD=45>5AABD=|l=l•

在..ABE中，AB=AE=垂,BE=2近,

...BE边上的高为小同=V3.

.*.SAAfi£=|x2V2xV3=V6.

设点D到平面ABE的距离为d,

根据％-ABE=%TBD，得卜#X4=1X1X2,解得d="，

333

所以点D到平面ABE的距离为逅.

3

10.如图四棱锥尸-ABCD中，四边形45CD为等腰梯形，AB//CD,平面ABS人平面PCD,

ZADC=NCDP=45°,CD=2AB=4,PO=30，BEVCD.

(1)证明：CD_L平面尸EB；

(2)若。在线段尸C上，且PQ=2CQ,求三棱锥Q-PEB的体积.

【答案】(1)证明见详解

⑵！

3

【分析】(1)根据题意结合余弦定理可求得PE=3,由勾股定理可证尸ELCD,结合线面垂直的判定定理

可证；

(2)根据题意结合面面垂直的性质定理可得PEL平面ABCD,利用锥体的体积公式运算求解.

【详解】(1)•••四边形ABC。为等腰梯形，且

/.CE=-AB=1,DE=3,

2

万

又；ZCDP=45°,贝！J尸炉=。炉+PO2-2OEJ£)・COSNC£>P=9+18-2X3X3A/^X—=9,即PE=3,

2

PD2=DE2+PE2，则尸E_LDE,即PE_LCD,

又：BELCD,PEcBE=E,PE,8Eu平面尸

二CD_L平面尸EB.

(2)VPELCD,平面ABCD，平面尸CD,平面ABCDc平面PCD=CD,PEu平面尸CD,

/.PE_L平面ABC。，

由题意可得：一3CE为等腰直角三角形，则3E=CE=1,

又；PQ=2CQ,

22111

二三棱锥。的体积%-的=1L-CEB=]X]X/xlxlx3='.

11.如图所示，在长方体ABCD-A4GR中,AB=2,BC=2,CG=4,M为棱CQ上一点.

⑴若CtM=1，求异面直线和CR所成角的正切值；

⑵若QM=2,求证_L平面AXB{M.

【答案】⑴更

2

(2)证明见解析

【分析】(1)由G2〃耳4,则异面直线AM和G2所成角即为,根据线面垂直的性质定理可得

A片1月M,再根据长度关系求得VA4M中的各个长度，进而求得正切值即可；

(2)根据GM=2,可得M为CG中点，根据长度关系可知BIM±BM，再根据线面垂直的性质定理可得

\B^BM，根据线面垂直判定定理即可证得结论.

【详解】(1)解:因为长方体ABC。-AqGA,所以CQ〃取1H

所以n耳AM是异面直线AM和G2所成的角，

因为在长方体A3。-A耳£A中,A内_L平面BCGA,所以A片，耳加，

因为钙=2,3。=2,"1=4,”为棱阳上一点,。掰=1,

所以gM=JBC：+MC；=A/4+I=下,

所以在直角三角形AB眼中,tan/即BM=—亚,

2

即异面直线和GQ所成角的正切值为赵;

2

(2)证蜂当GM=2时,M为CG中场，所以B[M=BM=&产=2垃,

即有BXM-+BM-=BB；，所以B,M1BM,

因为4月，平面BCGB-BMu平面BCC4,

所以44,8M.又A4与M=4,

AtBtu平面A[B[M,B[Mu平面AtBtM,

所以3Ml平面AB阳.

12.如图，在三棱锥P—ABC中，D,E分别为AB,尸3的中点，EB=EA,且R4LAC,PC±BC.求证:

平面PAC.

B

【答案】证明见解析.

【分析】由题可得利用线面垂直的判定定理可得24,平面ABC,进而可得24,3C,然后利用

线面垂直的判定定理即得.

【详解】I•在△A£B中，D是AB的中点，EB=EA,

：.ED±AB,

；E是PB的中点，D是AB的中点，

:.ED//PA,

J.PA±AB,

又B4_LAC,ABr>AC=A,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

PA_L平面ABC,

:3Cu平面ABC,

/.PALBC,

又PCLBC,PAPC=P,上4u平面PAC,PCu平面PAC,

二平面PAC.

13.如图，在四棱柱A8CD-A4C1D中，底面A8CD为平行四边形，M=2AB=2,ZBAD=60°,平面

_L平面ABC。，BC1BD,,DD11BD,E为C。上的一点.

(1)求证：AD,平面8BQQ；

⑵若AQ〃平面BDE,求三棱锥E-ABD,的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵如

24

【分析】(1)由面面垂直的性质，可得平面A3CD,从而DRLAD,结合ADLB，，即可证明

平面班QD；

(2)利用等体积法，求三棱锥E-A2A的体积转化为求三棱锥.-ACD体积的一半，即可求得本题答案.

【详解】(1)因为平面平面A3CD,平面BBNQc平面ABCD=3D,

又DD,1BD,DD、u平面BB,D、D,所以_L平面ABCD,

又因为ADu平面ABCD,所以DD|_LA。；

因为四边形ABCD为平行四边形，所以3C〃AD,

又因为BCLBR,所以ADLBR,

因为B^u平面BBQ。，ORu平面B8QD,且BRDD}=D},

所以AC平面B3QQ.

(2)如图，连接AC交于点。，连接OE,

因为AD1〃平面B£)E,平面ACQc平面BDE=OE,ADq平面AC2，

所以AR〃OE,

因为。为AC的中点，所以E为Cj的中点，

因为A£)_L平面BDu平面B8Q。，所以AD18£),

因为/54。=60。，所以乙血)=30。，

因为AB=1,所以在Rt&WD中，A£)=ABsin30°=-,

2

所以SAAe=LADC»sinl20o=L*LxlxE=@，

AACD22228

y=Ay=1-V