重庆康德2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（二）数学试题(含答案与解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试

高考模拟调研卷数学(二)

数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=ae/?|Vxe(1,+oo),x+l-i------->6Z>,B={x||x-l|<5},则

X1I

A.H，2]B.[-4,4]C.[2,6]D.[4,6]

V123

2.双曲线——±_=2(A=0)的渐近线方程为

4

3一4

B.y=+—xD.y=+—x

"433

3.已知正方形A5CD的边长为2,石为AB中点,2BF=FC,贝UEDEF=

1£2

B.-D.-

323

4

力-

4.(x+2I展开式中的常数项为

A.-2B.0C.2D.6

5.若复数z=a+次(a,Z?eR)满足z"z(tieN*,n>2)，则称复数z的循环常数为〃----的最小

2--2

循环常数为

A.2B.3C.4D.6

6.已知5sina+2cos尸=A/T5,5cosa+2sin/?=5,则cos(2a+24)=

74r24

A.——B.-D.—

255片25

2X+13

7.已知函数/(x)=,且/(log2x)=-,贝If10gd

乙I乙乙17

12

B.-C.1D.

3

/]\2024z]、2023

4[2022]

8.已知——，则a,b,c的大小关系为

2024J

A.a>b>cB.a>c>bC.Z?>a>4D.c>b>a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某班主任为了解本班学生上学时间，抽取了12名学生早晨从家到学校的时长，得到如下数据(单位：分):

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20,18,23,27,32,21,26,23,12,17,19,20,则下列说法正确的是

A.这组数据的中位数是20.5B.这组数据的上四分位数是23

C.这组数据的平均数是21.5D.这组数据的极差是20

10.已知函数/(X)=5讥|2%|+卜052厘，则下列四个结论中正确的是

A.7(%)是偶函数B.7(%)的图象关于直线XF对称

C./(%)的最小正周期为万D./(%)的值域为［―1,行］

11.已知平行六面体ABC。—ABCIR的所有棱长均为1,NRM)=NAAD=NAAB=60°,则下列说法正

确的有

A.直线耳。与直线Bq夹角的余弦值为—B.直线AC1，平面43。

6

C.四面体ABC］。外接球的表面积为—D.点及到平面43。的距离为—

82

12.如凰在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°，过点3的光线经AC边上点M反射到A3上的点。，

若CDLBM,则下列结论正确的有

A.M为AC中点B.DM±AB

C.^ACD^xhABMD.BD=2DA

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某班在一次联欢会中进行一项抽奖游戏，规则如下：先在2种方法中随机选择一个，第一种方法，连续抛

掷3次质地均匀的硬币，如3次掷出相同面，则为一等奖，如有2次相同，则为二等奖，其余为三等奖;

第二种方法，从标有1,2,3数字的质地大小相同的3个小球中有放回地抽取3次，如3次抽取数字都相同,

为一等奖，如有2次相同，为二等奖，其余为三等奖。则在一次抽奖活动中，获得一等奖的概率为.

22

14.已知椭圆C:}=1(a>b>0)的左、右焦点分别为£,F2,直线/经过外且垂直于x轴，I

与C相交于M,N两点.若LMNF1是周长为12的正三角形,则b

3

15.已知函数/(%)满足：①/(%)的图象过点(］,8)；②/(%)是偶函数；③对任意的非零实数为,马,

/■(玉—々)之/的.请写出一个满足上述条件的函数,⑺=.

16.己知直四棱柱ABC。-ABCQi的底面是边长为4的菱形，440=60°,侧棱长为26,点E为

BBt的中点，点A/在直四棱柱.ABC。—的表面上运动，且|£M|=2,则石M的中点N

的轨迹的长度为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

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在/.ABC中，角A,B,C的对边分别是。，"c,已知A=C,且平面向量/n=(s讥=cos5),满足

ml.n.

(1)求角B的大小：

⑵若边的中线长为.求一ABC的面积.

18.(12分)

篮球世界杯于2023年9月10日在菲律宾马尼拉圆满结束，德国男篮凭借出色表现连续击败美国、塞尔维亚

夺得冠军，德国也成为阿根廷、西班牙之后又一支在足球、篮球世界大赛中都夺得冠军的国家。重庆市某中学对

学生对于篮球的喜爱情况进行调查，将每周打篮球或观看篮球比赛超过5小时的学生称为“篮球迷，；否则称为“非

2

篮球迷从调查结果中随机抽取100人进行分析，抽取的女生人数是男生人数的一；抽取的男生中“非篮球迷”人

3

22

数是“篮球迷”入数的一。抽取的女生中“篮球迷”人数是“非篮球迷”人数的一.

33

篮球迷非篮球迷总计

男生

女生

总计

(1)完成列联表，并依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为是否为“篮球迷”与性别有关联？

(2)现从抽取的男生中，按是否为“篮球迷”比例采用分层抽样的方法抽取5人参加篮球知识闯关比赛，已知

21

其中“篮球迷“非篮球迷”独立闯关成功的概率分别为一，-;在恰有两人闯关成功的条件下，求有“篮球迷”

33

闯关成功的概率.

参考数据与公式：

a0.100.050.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

n(ad-be)"

,其中〃=a+b+c+d.

(a+))(c+d)(a+c)(6+d)

19.(12分)

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TT

已知四棱锥P—A3CE＞的底面是直角梯形，DALDC,ZBCD=-,AB=1,PD1底面ABCD,

4

M为边PC上的点，PD=AD，且创/平面？A。.

⑴若/点为尸C的中点，求四棱锥P—ABCD的体积；

(2)若,1PCD的面积为3,求直线与平面尸5。的夹角的正弦值.

20.(12分)

2

已知数列｛«„｝,也｝满足an-3n=bn+3n,bn+l=2bn-l,a2=23.

(1)求｛〃｝的通项公式；

⑵求｛a“｝的前”项和S”.

21.(12分)

已知抛物线。：炉=2py(p>0),过焦点E的直线/与抛物线。交于A,3两点，|A3|的最小值为4.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点尸是抛物线上异于A,B的任意一点，直线y=-l分别与直线PA,PB交于点N;是否存在

y轴上的定点。，使得QM1_QV恒成立？若存在，求出所有符合条件的定点。的坐标；若不存在,

请说明理由。

22.(12分)

已知函数/(x)=lux,g(^x)=-^ax2.

(1)若方程=有2个实数根,求实数a的取值范围；

(2)若方程/(x)=g'(x)有2个实数根.为々&<々),且不等式/+*〈甘/对任意丘(0,2］恒成立，求正

数4的取值范围(e为自然对数的底数).

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数学（二）参考答案

一、选择题

1-8,BCBACCAD

8题提示：对a,b,c取对数，历a=—2024/〃2022,历6=—2023历2023,/〃c=—2022历2024,考察函

数/(x)=(x—2023)加(x+2023)，贝尸(无)=ln(x+2023)+^~^>0(%之一1),所以/(%)为

x+2023

增函数,/(一1)</(0)</(1),所以/“a</"b</〃c,所以a<Z><c

二、选择题

9.ACD10.AD11.ABC12.AD

11题提示：设AB=a,AD=bAAi=c,贝ijBXD=BXBBA+AD=—c—a-\-b

g=BC+CG=b+c所以直线8。1与直线BC］夹角的余弦值为

cos6=|〈cos5iZ5,5di〉卜逅所以A正确,B选项，

116

AQ=a+b+c9BD=b-a,AB=a-c经计算，ACrBD=0,ACi-^3=0所以直线

AC1，平面ABD,正确；C选项，如图，A^B=BD=A^D=1,CXAX=CXB=CXD=A/3在平面

2J7

\BD,内射影为等边三角形48。中心。],外接球球心。在CO]上，由一解得外接球

半径为绊所以球的表面积为平正确；D选项，点⑸到平面ABD

j的距离

o8

IBS-ACJ、后

d=L_T=—错误,故选ABC.

可3

12题提示：以C为坐标原点，CA,CB为轴，

建立平面直角坐标系，设4（1,0）,3（。」）,B'（0,-l）,M（a,0）,0<a<l

直线A8:x+y=18'N:y=Lx—l

a

（2〃]—1）71—ci,,1—d1.1,,,人

■Dp-\k=---,kxk=——x（）=-l,a=彳故A正确；

++CD2aCDBM2aa2

D正确；左°”=2,故B错误;由DM不垂直AB,/CBMw/DBM

所以NACDwNABM，所以上人。。与一ABM不相似,C错误，故选AD.

三、填空题

[3

13.—14.7615,4|r|（答案合理即可）16,271

16题提示.点E是定点，则的中点N的轨迹的长度是点M的轨迹的长度的一半；c

由ABAD=60°知NA3C=120。；点E到侧面CDjG、侧面ADD.A,的距离为./叶

45足60°=2逐,故平面。£）£«、平面ADD,上没有满足条件|EM|=2的点”;j./一

若点/在底面ABCD上，则\BM\=y/EM2-EB2=当=1,则点M的轨迹为：以B

为圆心，半径厂=1的g圆，轨迹长度为gx2〃xl=g;同理若点M在底面A与G。上时轨迹长

度也为与；若点"在侧面43与4上，则点”的轨迹为：以E为圆心，半径厂=2的g圆，轨迹

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长度为

]4万4〃

§x2乃x2=日-;同理：若点M在侧面BCG用上时，轨迹长度也为y；

27r47r

综上所述：点V的轨迹的长度为一x2+—x2=4〃故点N的轨迹的长度2乃.

33

四、解答题

17.（10分）

解:（1）因为根，所以mn=sinA+cosB-0,,gpcosB=—sinA；...........（2分）因为

ABe（0,TT），所以sz九4>0,故cos3=—sz九4<0，故Be]/万:Ae10弓）....（4分）由

n,A（4"）4n4冗

cosB=-sinA=cosAd——知B-A-\——;

I2j2

n2开

结合A=C、A+B+C=7r知A=C=-,B=................（6分）

63

⑵记BC的中点为。，设BD=CD=xJIJAB=2苍

在△ABD中，由余弦定理：AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB=>7%2=28,

解得：x=2;...............（8分）

所以AB=BC=4,5ARr=—BABOsinB=—x4x4xsin^-=4^/3

，-223

所以4ABC的面积为473..........（10分）

18.（12分）

解:⑴列联表:（2分）

篮球迷非篮球迷总计

男生362460

女生162440

总计5248100

提出零假设40:是否为“篮球迷”与性别无关联；

,n(ad-bc)100(36x24—24x16)250

则炉=——'—>———-=—--------------->-=—H3.846<6.635..............(5分)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x48x5213

依据小概率值1=0.01的独立性检验，没有充分证据认为零假设“°不成立；则“°成立，故没有把

握认为是否为篮球迷”与性别有关联............................(6分)

(2)根据按比例的分层抽样：抽取的“篮球迷”人数为3人，“非篮球迷”人数为2人；.......(7分)

记“恰有两人闯关成功”为事件A、”有“篮球迷”闯关成功”为事件B；

（9分）

（11分）

/、P（AB）72

由条件概率的公式得P（B\A）=\/=—;

、7P（A）73

故在恰有两人闯关成功的条件下，有‘‘篮球迷”闯关成功的概率为二......Q2分)

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19.（12分）

解⑴取中点N，则由M为PC中点知儿W//CD//AB;

故M,N,AB四点共面;..........（2分）

由浏///平面PAD,平面，平面脑\46c平面PA。=AN

得BMIIAN，故为平行四边形，故跖V=AB；

由MN.CD得AB=gcD=l,故CD=2;（4分）

由DA±DC,ZBCD=^得PD=AD=（2-l）tan^=l;

故匕-MC0=gsABmP°=gxgx（l+2）xlxl=g.........................................（6分）

（2）以。为原点，DA.DC、DP分别为X轴、Y轴、Z轴建立空间直角坐标系。—孙z

71

设PD=AD=a，则CD=l+〃tan—=l+Q

4

故Spg=g〃（〃+l）=3,解得〃=2;..................（7分）

故D（0,0,0）,A（2,0,0）,5（2,LO）,C（0,3,0）,尸（0,0,2）;

由5M//平面PAD知%=兀=1，故M（0,LJ故而=（一2,0,：）；DP=（0,0,2）,£>B=（2,1,0）;

、DDP=2z=0

设平面PBD的法向量”=（zx,y,z），则4；

n-DB=2%+y=0

取x=l,则«=（1,-2,0）;............................................（10分）

记直线BM与平面PBD的夹角为8，则sin0=|cos〈n,BM）\=幽=一=—765

|n[\BM\f-2>/1365

/丁

故直线与平面的夹角的正弦值为』后............................（12分）

65

20.（12分）

解:（1）由ax-3n-bn+3rr,a2-23,得b2=5;.................................................................................................（2分）

因为4+1=2%—1，所以伪=3,且2+1—1=2（2—1）,故也+1｝是首项为2、公比为2的等比数列，所以

2―1=2",所以2=2"+1........................................................................................................................（5分）

3

（2）由（1）知an=2"+3"?+3"+1=2n+（“+1）3_n,..........................................................................（8分）

故Sn=（2+22++2"）+23-13+33-23++（H+1）3-H3

2（1—2"）33

='12'+（“+]）_]=2"M+（“+]）—3（12分）

第7页共10页

21.（12分）

解：⑴抛物线的焦点坐标为R0,泉直线/的方程为y=kx+g

2

>履+2得产_2夕依―//=0,设a（X],xj,3（%,%）,

联立《

f=2py

x+x0-2pk

由韦达定理：<['="；…（2分）

则|AB|=%+%+p=M%+/）+2p=（2A+2）p；故当k=0时,L=2P=4，P=2;

抛物线的标准方程为x2=4y（4分）

⑵由⑴知抛物线的标准方程为炉=分；故A卜1x+x=4k

，且《9

-A；•………（6分）设

4%1%2=-4

晨23;

P[X。'ZX。）’则“PA4140

再一见

/4、

元。玉一4

令y=-1.得：%,即Mx°x「，一1同理可得N

x+%!

o1%%>一”

若存在y轴上的定点。，使得QM±QN恒成立,

‘-4、

贝1J设。（0,m）贝=,—1—m.ON—

（西+々）

7

24%（%1+%）+16

故QMQNf4/々一4+（-l-/n）2=（l+/n2）+X°^2r02

%+石x0+x2

=（1+/+-¥—16^+16=

XQ+4AXQ—4

所以，定点。的坐标为（0,1）或（0,—3

22.（12分）

解：（1）令/z（x）=/（x）-^（x）=lnx-^ax2,

义域（0,+8）；

第8t

当a<0时，〃(X)>0在(0,”)上恒成立,y=/z(x)在(0,+s)上单调递增，至多有1个零点；

当a>0时，令“(X)=0得％=+；

当时,"")>,h(x)在区间

0<*<40I0,^|上单调递增;

<y/aJ

7=,+°°］上单调递减；

当x>

1、211

故以龙)的极大值也是最大值为h句口〒——.

4aJa

724a2

1111

因为力(龙)有2个零点，所以人—In—7=—>0,解得0<〃<一;

4a

7y/a2e

综上所述：实数a的取值范围是fo,1

(4分)

(2)^^(x)=f(x)-g\x)=lwc-ax，则y=0(%)有2个零点不x2;

ln五

InX]=axx两式相减得：〃二山七一=\⑸分)

即《In.

lnx2=ax2,%一%2%一%2

八山/\lux./、1-lnx

0(x)=In%一〃x=0o0(%)=-a=0;考察函数(p(x)=-----a,(p(x)=——