山东2024年高考仿真模拟数学试卷含解析

山东师大附属中2024年高考仿真模拟数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.若双曲线三一方=1(。〉0］〉0)的渐近线与圆(x—2丫+丁2=1相切，则双曲线的离心率为()

A.2B.BC.D.6

23

2.已知直线尸A(x+l)(A>0)与抛物线C:/=©相交于A,B两点,歹为C的焦点，^\FA\=2\FB\,则|E4|=()

A.1B.2C.3D.4

3.在0++a展开式中的常数项为()

A.1B.2C.3D.7

4.圆锥底面半径为J?,高为2,SA是一条母线，P点是底面圆周上一点，则P点到SA所在直线的距离的最大值是

()

A.-B.C.3D.4

33

22

5.已知椭圆「：三+与=1(。>6>0)的左、右焦点分别为小工，上顶点为点A，延长人工交椭圆广于点人若ABF1

ab

为等腰三角形，则椭圆广的离心率e=

A.-B.正

33

C.-D.—

22

6.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几

何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理“，若正整数N除以正整数后的余数为〃，则记为N=”(modm),例如

ll=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的〃等于().

A.21B.22C.23D.24

7.已知三点A(1,O),B(0,),C(2,5,则AABC外接圆的圆心到原点的距离为()

A5V21

33

22

8.已知双曲线C：二—二=l(a>0,b>0)的一条渐近线经过圆E:第,2+/+2x—4y=0的圆心，则双曲线C的离

ab

心率为()

A.手B.^5C.72D.2

9.在正项等比数列｛斯｝中，。5・。1=15,«4-«2=6,则的=()

1

A.2B.4C.-D.8

2

10.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角

形ABC的斜边BC,直角边筋,AC.已知以直角边AC,为直径的半圆的面积之比为工，记NABC=c,贝!!

4

sin2a=()

BC

11.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x,y）分别为（2』.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回归直线方程为£=1.6x+d,若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

X2、冗

12.已知双曲线二+产=1的一条渐近线倾斜角为T，则。=（）

a6

A.3B.-V3C.一旦D.-3

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量：服从正态分布NR,。?），若P（7>6）=0.4,则P（f<0）=.

14.已知数列｛%,｝的各项均为正数，满足q=l,。*+1-4=%.（i<k,k=1,2,3,-,n-l）,若｛4｝是等比数列，

数列｛4｝的通项公式.

15.已知函数y=/（x）为R上的奇函数，满足/'（£）>—2.则不等式/（x—l）<f（3—21nx）+3（l—2x）的解集为

16.已知函数/（%）=cos2x+a（sin九一cosx）+3%+2019在［0,n］上单调递增，则实数a值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通

过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数2515020025022510050

（1）已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（〃,210）,〃近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求尸（36<Z<79.5）；

（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

（i）得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

（ii）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

赠送的随机话费/元2040

2£

概率

44

现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.

附：，210x14.5，若X,则P(〃—crvX<〃+cr)=0.6827,P(//-2cr<X<//+2(T)=0.9545,

尸(〃-3b<X<〃+3。)=0.9973.

18.(12分)设函数/(x)=sin(2x+V)+cos2x+gsinxcosx.

(1)若|x|<—，求函数/(%)的值域；

4

(2)设A,5c为A6c的三个内角，若/(m)=g,cos(A+C)=—手，求cosC的值；

x=l+乌

19.(12分)已知曲线C的极坐标方程为夕=4cos。，直线/的参数方程为2。为参数).

y=-t

[2

(1)求曲线C的直角坐标方程与直线/的普通方程；

(2)已知点”(1,0),直线/与曲线。交于4、3两点，求H〃A|-|M®].

22

20.(12分)已知椭圆C：L+匕=1的右顶点为。，E为上顶点，点A为椭圆C上一动点.

43

(1)若DELAE,求直线AD与V轴的交点坐标；

(2)设歹为椭圆C的右焦点，过点M(4,0)与x轴垂直的直线为4，9的中点为N,过点A作直线/°的垂线，垂

足为B,求证：直线AF与直线的交点在椭圆C上.

21.(12分)已知在多面体ABCZ)跖中，平面CD尸平面ABCD,且四边形ECDb为正方形，且DC//AB,

AB=3DC—69AD=BC=5,点尸，Q分别是BE,AD的中点.

（1）求证：P。//平面EEC。；

（2）求平面AEE与平面PC。所成的锐二面角的余弦值.

22.（10分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本V（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据:

X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87

y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26

（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与X的关系，请用相关系数厂加以说明；

（2）①建立月总成本y与月产量X之间的回归方程；②通过建立的y关于X的回归方程，估计某月产量为1.98万件

时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）

ioioRoI7o

附注：①参考数据：2菁=14・45,2%=27.31,2_I。于230850,框片_I。92士1042,b=1.223-

日i=l'普，普

£/％一西^X.y.-rixy

②参考公式：相关系数.=曰v〃、,6=号---------，a^y-bx.

&2-^2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

利用圆心（2,0）到渐近线的距离等于半径即可建立a,b,c间的关系.

【详解】

12切

由已知，双曲线的渐近线方程为法土今=0,故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1,即=1,

yJa2+b~

所以a?=3Z?2>e---

a

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立。力,。三者间的方程或不等关系，本题是一道基础

题.

2、C

【解析】

方法一：设尸(-1,。)，利用抛物线的定义判断出B是AP的中点，结合等腰三角形的性质求得B点的横坐标，根据抛

物线的定义求得IFB|,进而求得|E4|.

方法二：设出A,3两点的横坐标5,乙，由抛物线的定义，结合|E4|=2|EB|求得的关系式，联立直线

丁=左(九+1)的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得与，进而求得|E4|.

【详解】

方法一：由题意得抛物线/=4%的准线方程为/:x=-1,直线y=左(％+1)恒过定点P(-l,0),过A,3分别作AM±I

于M,BNLI于N,连接08,由|E4|=2|EB|,贝！J|AM|=21BN|,所以点3为AP的中点，又点。是PF的

中点，

贝!)|。8|=1|4用，所以|。8|=|3/|,又|。尸|=1

2

所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为

2

13

所以|EB|=l+7=—，所以|E4|二2|EB|=3.

22

由题意设A6两点横坐标分别为5,xB(xA,xB>0),

则由抛物线定义得IFA|=4+LIFB|=4+1

又X

|E4|=2|FB|,xA+l^2(B+1)=>=2XB+1①

y2=4x„

s=>左~9厂+(24-9-4)x+左"=0=>4•勺=1②

y=k(x+l)

由①②得x；-乙-2=0,xA=2,\FA\=xA+l=3.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.

3、D

【解析】

求出(2%+1)3展开项中的常数项及含X的项，问题得解。

【详解】

(2%+1)3展开项中的常数项及含X的项分别为：

C；(I)3(2x)°=1,C；(2x)ixl2=6%,

所以11+：］(2X+1)3展开式中的常数项为：lxl+/><6x=7.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

4、C

【解析】

分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P的位置，推出结果即可.

详解：圆锥底面半径为逐，高为2,&L是一条母线，P点是底面圆周上一点，P在底面的射影为。；SA=JE=3,

OA>SO,过&L的轴截面如图：

ZASQ>9Q°,过。作QTLSA于7，则QT<QS,在底面圆周，选择p,使得NP&L=90°,则P到S4的距离

的最大值为3,故选：C

点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题.

5、B

【解析】

设|2鸟|=f,则|B7"=2a-f,\AB\=a+t,

因为|阳=°,所以若|A4|=|班;I,则a=2a-f,所以"乙

所以|明|+|8不|=|AB|=2a,不符合题意，所以|3E|=|AB|,贝！）2aT=a+r,

所以a=2f,所以|B£|=|AB|=3r,\AF}\=2t,设乙BA£=29,贝!|e=sin。，

在中，易得cos26=；,所以1—2sin28=；,解得sin，=当（负值舍去），

所以椭圆厂的离心率e=、2.故选B.

3

6、C

【解析】

从21开始，输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.

7、B

【解析】

因为△月3。外接国的国心在直线0C的垂直平分线上,即直线工=1上

可设圆心P（l,p）,由=P砥:|p|=J1+（p_/）2,得p=苧

圆心坐标为尸（1,竽）

I

/

所以国心到原点的距离|0尸|=11+

选B.

考点：圆心坐标

8、B

【解析】

求出圆心，代入渐近线方程，找到a、Z?的关系，即可求解.

【详解】

解：£（-1,2）,

/v2b

C:j—==1（。>0）>0）一条渐近线丁=——X

a"b~a

2=—2a=b

c2=<72+b2,c2=a2+（2<7）2,e=V5

故选:B

【点睛】

利用a、b的关系求双曲线的离心率，是基础题.

9、B

【解析】

根据题意得到%=。々4-卬=15,=%/-。闷=6,解得答案.

【详解】

a=—16

a[

43A=1

o5-67]=axq-ax=15,a4-a2=a1q-axq=6,解得<一或《1（舍去）.

q—2q=一

2

故。3=%q2=4.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.

10、D

【解析】

AC1

由半圆面积之比，可求出两个直角边AB,AC的长度之比，从而可知tana=—上=—,结合同角三角函数的基本关

AB2

系，即可求出sin。,cosa,由二倍角公式即可求出sin2a.

【详解】

解：由题意知,以AB为直径的半圆面积■"［学），

以AC为直径的半圆面积S2,则今=箓=（，即tana=2£=g.

sina+cosa=1sina=——厂厂

5,所以sin2。=2sinacosa=2xx=—・

由<sina1，得<

tana---------=—2V5555

、cosa2cosa-------

故选:D.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.

11、D

【解析】

根据样本中心点丘,亍）在回归直线上，求出Q,求解y>15,即可求出答案.

【详解】

依题意卜3.5J=45（3.5,4.5）在回归直线上，

4.5=1.6x3.5+〃,a=~1.1,y=1.6x—1.1，

由y—1.6x—1.1>15,%>10^-^f

估计第11年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

12、D

【解析】

由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.

【详解】

由双曲线方程可知：a<0,渐近线方程为：y=+-^x,

7-a

•一条渐近线的倾斜角为孚，；.—」=tan区=—立，解得：a=-3.

6G63

故选：D.

【点睛】

本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示

双曲线对于。的范围的要求.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0.4

【解析】

因为随机变量，服从正态分布N3,er?,利用正态曲线的对称性，即得解.

【详解】

因为随机变量，服从正态分布N3,er2

所以正态曲线关于x=3对称，

所尸（，<0）=/6>6）=。4.

【点睛】

本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础

题.

14、

【解析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.

【详解】

因为%-q=q,所以g=2%,

因为｛4｝是等比数列，所以数列｛4｝的公比为1.

又如用一%=4右4人,左=1,2,3,-,n-l),

所以当，=左时，有以+1=2久.

这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以q=2"，

故答案为：2'T.

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.

15、(0,1)

【解析】

构造函数g(x)=/(X—1)—三(3—21nx)—3(1—2力，利用导数判断出函数y=g(x)的单调性，再将所求不等式变

形为g(1)<g⑴，利用函数y=g(%)的单调性即可得解.

【详解】

设g(x)=/(%-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),则/(%)=/,(x-l)+4xlnx-4x+6,

设/z(x)=4xlnx-4x+6,贝()//(x)=41nx.

当0<x<l时，〃(尤)<0,此时函数y=〃(x)单调递减；当x>l时，此时函数y=〃(x)单调递增.

所以，函数y=〃(x)在x=l处取得极小值，也是最小值，即丸(力1mli=g)=2,

/,(x-l)>-2,/z(x)>2,/,(x-l)+/z(x)>0,即g'(x)>0,

所以，函数y=g(x)在(0,+。)上为增函数，

函数y=/(x)为R上的奇函数,则/(0)=0,

■g(l)=/(O)-3+3=O,则不等式/。-1)<右(3—2出力+3(1—21等价于g(x)<g(l),

又x>0,解得0v%v1.

因此，不等式/(x-l)<x2(3-21nx)+3(l-2x)的解集为(0,1).

故答案为：(0,1).

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.综合

性较强.

【解析】

由f(x)2。在[0,7T]上恒成立可求解.

【详解】

f\x)=-2sin2x+a(cosx+sin%)+3,

■^-t=cosx+sinx=A/2sin(^+—),xe[0,TV],ze[-l,V2],

4

又r=1+sin2x>sin2x=1—厂，从而/'(x)=—2t2+at+5)令g(f)=—2厂+at+5)

g(-l)=-2-a+5>0J2

问题等价于g(t)2。在/e[-1,利时恒成立,厂厂，解得—在<。<3

g(V2)=-4+V2«+5>02

[-冬引.

故答案为:

【点睛】

本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为尸(%)20恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)0.8186；(2)见解析.

【解析】

(1)根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数〃的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为36=〃-2。,

79.5=〃+b,利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；

(2)根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为工，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据

2

都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.

【详解】

,、上皿-垢35x25+45x150+55x200+65x250+75x225+85x100+95x50公

(1)由题意可得〃=----------------------------------------------------------------=65,

易知=土14.5,,36=65—29=65—2x14.5=〃—2cr,

79.5=65+14.5=〃+cr,

P(36<Z<79.5)=P(//-2cr<Z<〃+cr)=P(〃-2cr<ZW〃)+P(〃<ZW〃+cr)

_尸(〃一2cr<XV〃+2cr)+P(〃一cr<X<〃+cr)_0,9545+0.6827

-2—2

(2)根据题意，可得出随机变量X的可能取值有20、40、60、80元,

p(X=20)=-x-=~,p(x=40)=-x-+-x-x-=—,

'7248'72424432

1133ill1

p(X=60)=2x-x-x-=—,P(X=80)=-x-x-=—.

')24416,724432

所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X20406080

31331

p

8321632

3133175

所以，随机变量X的数学期望为EX=20x—+40x—+60x—+80义一=.

83216322

【点睛】

本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题

时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.

18、(1)|--A/3,—(2)cosC=33

122j14

【解析】

(1)将/(x)=sin[2x+W]+cos2x+gsinxcosx,利用三角恒等变换转化为:，/(x)=2sin〔2x+?1+:，再

根据正弦函数的性质求解，

(2)根据=得sin(A+/]=l,又A为ABC的内角，得到A=f,再根据cos(A+C)=-述，利

<2；2koj314

用两角和与差的余弦公式求解，

【详解】

小，/、百•c,1c,1+COS2X也.

(1)f(%)——sin2xH—cos2xH-------------1------sin2x,

2222

—A/3sin2x+cos2xH——2sin\2xH—jH—,

2I62

.|%—---<2%H—<—----<sin2%H—|V1,

43632I6；

-A/S<y(%)<—,

即/(%)的值域为也,"I;

⑵由j得sin[A+f=l，

IT

又A为45c的内角，所以A=不，

又因为在「ABC中，cos(A+C)=-—,

14

所以sin(A+C)=—,

14

所以cosC=cos(A+C-=gcos(A+C)+sin(A+C)=.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题，

19、(1)(x-2)2+y2=4.y=^x-^(2)石

【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；

(2)设A,3两点对应的参数分别为*t2,将直线/的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】

(1)对于曲线C的极坐标方程为夕=4cos，，可得"=40cose,

又由1.C，可得Y+y2=4x,BP(X-2)-/=4,

y=/?sin''、/+

所以曲线C的普通方程为(x-2p+y2=4.

x=l+—tr

由直线/的参数方程为2。为参数)，消去参数可得上

即

小1x-13

直线/的方程为y=4(x—1),即y=—g.

[3x=l-\-t----

2

(2)设A,8两点对应的参数分别为％,弓，将直线/的参数方程a为参数)代入曲线C：炉+y2—4x=0

■

中，可得(1+且，+工/一4，+且「=0.

24

1J12J

化简得：产—后一3=0，则4+/2=6.

所以11AMl-1AffiH%1TJ11=限+寸=

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的应用，着重考查了

推理与运算能力，属于基础题.

(拒、

20、(1)0,——(2)见解析

【解析】

(1)直接求出直线AE方程，与椭圆方程联立求出A点坐标，从而可得直线AD方程，得其与V轴交点坐标；

(2)设则5(4,%),求出直线和AF的方程,从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上,

即此点坐标适合椭圆方程.代入验证即可.注意分%=1和%/I说明.

【详解】

解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，

(1)由题知0(2,0),E(0,6),则及E=—因为。所2

48

oHy=—x+y/3%~~25

则直线AE的方程为y=Wx+G，联立2)，可得，

3xy17A/3

——+—=1V

〔431~~~25

述

(487g).则左。4=，^=走，直线AD的方程为y=3(x—2)・令尤=0,

故A「王

DA。，4814-14

ZH----

25

，故直线AD与y轴的交点坐标为

⑵证明：因为尸(1,0),M(4,o),所以Ne,o).设点4%0，%),则5(4,%).

设

当毛=1时，设贝!此时直线4尸与X轴垂直,

其直线方程为x=l,

5

直线BN的方程为y-0=即Hny=x_].

在方程y=x—g中，令x=l,得丁=一：，得交点为显然在椭圆°上・

同理当A,一|

时，交点也在椭圆。上.

当时，可设直线BN的方程为

直线AF的方程为y=4彳a-1)，

/一1

5%0—8

消去y得(X-1),化简并解得x=

2x0-5

□xn-dyn/八3yn

将x=；7y代入y=中，化简得)=三弋.

2x0-5x0-12x0-5

所以两直线的交点为

72

因为2出YJ3%

3^2x0-5

4^2x0-5j

25XQ—80%0+643y；25XQ—80%0+64+12y；

（）（）

42x°—52+2x0_5,―4（2x。-5）2

22

又因为今+?=1,所以4y=12—3片，

川25苍—80%0+64+12yj4xj—20x0+25(2x()—5)1

--2

月4(2--5)2(2x°—5)2(2x0-5)-

所以点在椭圆c上.

(2%-52x0-5J

综上所述，直线AF与直线BN的交点在椭圆C上.

【点睛】

本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线

方程验证点在曲线.本题考查了学生的运算求解能力.

17

21、(1)证明见解析；(2),

【解析】

(1