2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷及答案解析

2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）

1.计算J（一2）2的结果为（）

A.2B.-2C.4D.±2

4。2„,b

2.右工=则----=()

b3a+b

1235

A.-B.-C.一D.-

3353

3.用配方法解方程/-6%-1=0,若配方后结果为（x-m）2==n,则n的值为（）

A.-10B.10C.-3D.9

4.如图，矩形ABCD的对角线AC,瓦）交于点。，若/4。2=60°,42=4,则BC=（）

A.6B.8C.4A/3D.4V2

5.下列计算正确的是（）

-11

A.V2+V9=VilB.3V2-V2=2V2c.2V54-V10=2V5D.V2x-^=1

6.定义一种新运算“8”：aoob=a2+ab^b2.则方程（x+2）8了==1的实数根是（）

A.xi=l,X2=-2B.xi=x2=l

C.Xl=0,X2=lD.X1=X2=-1

AB

7.如图，以点。为位似中心，将△043放大后得到△OC0,OA=3,AC=5,则一=()

8.某地区2023年投入教育经费1000万元，为了发展教育事业，该地区之后每年教育经费

的年增长率均为了,预计2025年将投入2500万元，则下列方程正确的是（）

A.1000?=2500

B.1000(1+无)2=2500

C.1000(1+无)=2500

D.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=2500

9.如图，边长为2的正方形A8CO的对角线交于点O,ZEOF=90°,绕点0旋转NEOF,

交边AD,CD于点、E,F,则线段跖的最小值为（）

l3/-3

A.V2B.1C.-V2D.-

44

10.如图，点。在等腰Rt^ABC的斜边3C上，以AO为边作等腰斜边AE交

BC于尸,则图中的相似三角形有（

C.5对D.6对

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）

x—3

11.对于后与'X的取值范围是

12.已知m是方程x2-2%-2=0的一个根，则1-川+2机的值为

13.小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置

一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为・米.

14.如图，有一矩形纸片48C。，AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.则

折痕EF的长为

AED

BFC

15.关于x的方程l）x+F-1=0的两个实数根的平方和等于16"的值为.

16.某校的校门是伸缩门（图①）.整个伸缩门在每个横向位置上都有30个连在一起的菱形

结构，每个菱形结构的边长都是30cm.若校门完全关闭时，每个菱形结构的锐角都是60°

（图②）.当校门部分打开时，每个菱形结构的60°角都变为120°角（图③），则此时

校门打开的宽度为，

图①图②图③

三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）

、,^712+7181

17.（5分）计算——尸一-2-XVr3.

V3弋2

18.（7分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广

高低.长竿横进使归室，争奈门狭四尺.随即整竿过去，亦长二尺无疑.两隅斜去恰方

齐，请问门高几何？意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度

比长竿小4尺（即CE=4尺）;将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺（即AP=2尺）.将

长竿斜放穿过门的对角，恰好进门.试问门高是多少尺？（要求：列方程解决问题）

19.（8分）如图，点E,尸都在NA4。的平分线上，BF〃AD交DE于点、C.CF=BF,AB

=1,AD=4,求SAEFC：SAEAD的值.

20.（9分）已知关于x的一元二次方程/+2x+A-2=0有两个不相等的实数根.

（1）求发的取值范围；

（2）若k为非负整数，且该方程的根都是整数，求上的值.

21.（9分）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：（1）以点B为圆心，区4长为半径画弧,

交BC于点D；（2）以点C为圆心，CA长为半径画弧，交CB于点、E.若A8=AC=2,

22.（10分）【材料阅读】

把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化.

1

例如：化简尔.

解:广相;乎)厂、=仙-5

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

【问题解决】

1

(1)若a是有的小数部分，化简：一；

a

…2222

(2)化筒：0+i+逐+遮+近+逐+…+V2023+V2021'

23.(12分)如图，在△ABC中，边AC,48上的中线8。，CE相交于点H,点G,尸分别

为HC,的中点，连接DE,EF,FG,GD.

(1)连接若AH=BC,判断四边形。EFG的形状，并说明理由；

(2)在(1)的条件下，若A2=AC,求证：四边形。EPG是正方形.

A

24.(12分)己知：四边形A2CD和AEPG都是正方形.

G

G

BA

M

CD

备用图

DG

⑴如图1,若点C在对角线旃上，则方的值为;(直接写

结果)

(2)将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a(0°<a<180°).

DG

①如图2,连接CF,DG.——的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的

CF

值及理由；

_CMDN1

②当8C=3,a=135°时，CP交于点M,DG父AE于■点N,且——=——=求

MFNG2

DG的长.

2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）

1.计算J（一2）2的结果为（）

A.2B.-2C.4D.±2

解：J(-2)2=A/4=2,

故选：A.

4a2zb

2.右工=则----=()

b3a+b

1235

A.-B.-C.一D.-

3353

ARa2

斛：77=7，

b3

••CL=京b,

.bbb3

-匚，

"a+b--b+b--5b,5

33

故选：C.

3.用配方法解方程-—6%-1=0,若配方后结果为(％-小)2=〃，则〃的值为()

A.-10B.10C.-3D.9

解：Vx2-6x-1—0,

・・/-6x=1,

.,.x2-6x+9=l+9,

即(x-3)2=10,

/.n=10.

故选：B.

4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点0,若NAO8=60°,A8=4,则BC=()

A.6B.8C.4V3D.4V2

解：•・•四边形ABCD是矩形,

：.OA=OB,ZABC=90°,

VZAOB=60°,

**./\AOB是等边三角形，

：.ZOAB=60°,

AZACB=180°-ZABC-ZOAB=30°,

•・・A8=4,

：.AC=2AB=S,

在RtZkABC中，BC=y/AC2-AB2=V82-42=4A/3,

故选：C.

5.下列计算正确的是（）

1

C.2V54-V10=2V5D.V2x

A.V2+V9=VilB.3V2-V2=2V2坛

解：A.鱼与四=3不是同类二次根式，不能合并，不正确，故不符合题意;

B.3V2-V2=2V2,原计算正确，故符合题意;

C.2^5+V10=2=V2,原计算不正确，故不符合题意;

I

=1,原计算不正确，故不符合题意;

故选：B.

6.定义一种新运算“8”：acob=a2+ab+b2.则方程（x+2）°°x=l的实数根是（)

A.Xi=1,X2=-2B.X1=X2=1

C.Xl=0，X2=lD.X1=X2=-1

解：*.，aoob=c^+ab+b2,

(x+2)°°x=l可转化为(尤+2)2+(X+2)*X+X2=1,

整理得了+2x+l=0,

解得X1=X2=-1.

故选：D.

AB

7.如图，以点。为位似中心，将△。45放大后得到△OCD,。4=3,AC=5,则一=()

D

35

c--

5D.3

解：：以点。为位似中心，将△OAB放大后得到△08,

.•.△OAB^AOCZ）,

,ABOA33

"CD~OC~3+5—8'

故选：A.

8.某地区2023年投入教育经费1000万元，为了发展教育事业，该地区之后每年教育经费

的年增长率均为无，预计2025年将投入2500万元，则下列方程正确的是（）

A.1000?=2500

B.1000（1+无）2=2500

C.1000（1+无）=2500

D.1000+1000（1+龙）+1000（1+x）2=2500

解：设该地区每年教育经费的年增长率均为x,则2024年的教育经费为1000（1+x）,

所以2025年的教育经费为1000（1+x）2,

/.1000（1+X）2=2500.

故选：B.

9.如图，边长为2的正方形ABC。的对角线交于点O,ZEOF=90°,绕点。旋转/EOF,

交边AD,CD于点E,F,则线段EF的最小值为（）

l3厂3

A.V2B.1C.-V2D.-

44

解：：四边形A3C。是正方形,

：.OA=OB=OC=OD,ZOCF=ZODE=45a,ZAOD=ZCOD=90°,

：.ZCOF+ZDOF=90°.

VZEOF=90°,

AZDOE+ZDOF=9Q°,

:・/COF=/DOE,

AACOF^ADOE(ASA),

：.OE=OF,

：.EF=y/OE2+OF2=y[2OE,

・••当OE取得最小值时，线段成取得最小值，

由垂线段最短可知，当时，OE取得最小值，

此时。E=豺。=1，

：.EF=V2OE=V2,线段EF的最小值为企.

故选：A.

10.如图，点。在等腰Rt^ABC的斜边BC上，以A。为边作等腰RtZXADE,斜边AE交

8c于凡则图中的相似三角形有()

解：:△ABC和△&£)£是等腰直角三角形，

：.ZB=ZC=45°,ZE=ZDAE=45°,

：./B=/E,/C=NDAE,

：.AABC^/XDEA,

•：/B=/E,ZAFB^ZDFE,

：.AABF^^DFE,

VZADF=ZC+ZDAC^45a+ZDAC,ZCAF^ZDAE+ZDAC^45°+ZDAC,

：.ZADF=ZCAF,

,：ZAFD^ZCFA,

：.AAFD^ACM,

同理，△AFDsXBAD,

：.△BAZ）S2\CE4,

综上，图中相似三角形共有5对,

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）

X—3

1L对于反与'”的取值范围是尤>2・

解：由题意得：尤-2>0,

解得：x>2,

故答案为：x>2.

12.已知m是方程/-2元-2=0的一个根，则1-〃，+2机的值为-j

解：是方程x2-2x-2=0的一个根,

/.m2-2m-2=0,

即m2-2m—2,

1-m2+2m=l-（加2-2m）=1-2=-1.

故答案为：-L

13.小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置

40

一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为米.

-3—

解：设楼高为尤米,

2x

根据题意得，-=-.

解得：*=竽，

,40

故答案为：-

14.如图，有一矩形纸片ABC。，AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.则

15

折痕EF的长为—

解：如图所示，过/作fWLAE于X,则W=A8=6,

设BF=x,贝I]CF=8-x^AF,

RtAABFAB2+BF2^AF2,

62+^=(8-x)2,

解得尤另，

：.AH=BF=7^AF=2^5

由折叠可得，NCFE=/AFE,

U：AE//CF,

：.ZCFE=NAEF,

：.ZAEF=NAFE,

：.AF=AE=箸25，

2579

：・EH=AE-AH=等一：=热

RtAEFH中,EF=7HE?+FH?=号,

15

故答案为：—.

15.关于x的方程%2-2（%-l）x+F-1=0的两个实数根的平方和等于161的值为-1

解：・.,关于％的方程--2（2-1）x+F-1=0有两个实数根，

AA=4（攵-1）2-4（9一1）20,

解得，kWl.

设方程--2（左-1）X+3-1=0两个实数根为羽、以贝I

Xl+%2=2（左-1）,Xl9X2=lc-1,

+%2=（xi+%2）2-2x1X2=4（攵-1）2-2（Q-1）=16,即M-4左-5=0,

解得，ki=-1,k2=5（不合题意，舍去），

故答案为：-1.

16.某校的校门是伸缩门（图①）.整个伸缩门在每个横向位置上都有30个连在一起的菱形

结构，每个菱形结构的边长都是30cm.若校门完全关闭时，每个菱形结构的锐角都是60°

（图②）.当校门部分打开时，每个菱形结构的60°角都变为120°角（图③），则此时

校门打开的宽度为_（900百-900）_cm.

图①图②图③

解：如图,

J.ACLBD,AB=AD.

:校门关闭时，每个菱形结构的锐角都是60°,

1

：.^ABO=^ABC=30°,

1

.X。=^AB=15,

：.BO=V302-152=15V3cm,

:.BD-2BO=3OA/3cm,

校门关闭时，伸缩门的宽度为30x30V3=900V3cm,

:校门部分打开时，每个菱形结构的60°角都变为120°角,

AZA'=60°,

：.XNB'D'是等边三角形,

：.B'D'=A'B'=30cm,

校门部分打开时，伸缩门的宽度为30X30=900cm,

，校门打开了（900禽-900）cni,

故答案为：（900V3-900）.

三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）

17.（5分）计算叵善^一2-xV3.

V372

5V12+V1811

解：F——JxWr

=V4+V6—

=2+V6—V6

=2.

18.（7分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广

高低.长竿横进使归室，争奈门狭四尺.随即整竿过去，亦长二尺无疑.两隅斜去恰方

齐，请问门高几何？意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度

比长竿小4尺（即CE=4尺）;将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺（即A尸=2尺）.将

长竿斜放穿过门的对角，恰好进门.试问门高是多少尺？（要求：列方程解决问题）

解：设竿长x尺，依题意得AC=x,BC—x-4,AB-x-2,

在RtZXABC中，BC2+AB2=AC1,

（x-4）2+（%-2）2=x2.

解得尤1=10,无2=2（舍）.

所以尤-2=8.

答：门高为8尺.

19.（8分）如图，点E,尸都在NA4。的平分线上，BF〃AD交DE于点、C.CF=BF,AB

=1,AD=4,求SAEFC：S^EAD的值.

解：平分NBA。,

・・・N1=N2.

9：BC//AD,

・・.N3=N2.

AZ1=Z3.

：.AB=BF.

・「CF=BF,

：.CF=AB=1.

•:BC//AD,

：.AEFC^AEAD,

.S^EFCFC2I21

•・0西=（而）=（N=G

20.（9分）已知关于x的一元二次方程/+2x+A-2=0有两个不相等的实数根.

（1）求发的取值范围；

（2）若%为非负整数，且该方程的根都是整数，求上的值.

解：（1）根据题意得△=22-4（%-2）>0,

解得上<3；

（2）..次为非负整数，

k—1或k—2或k=0,

当上=0时，A=-4,所以该方程无解，

当左=1时，A=8,所以该方程的根为无理数，

当左=2是，原方程为7+2尤=0,解得xi=0,xi--2,

所有k的值为2.

21.（9分）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：（1）以点2为圆心，84长为半径画弧,

交BC于点D；（2）以点C为圆心，C4长为半径画弧，交CB于点、E.若AB=AC=2,

NB=36°,求ED的长.

么

由作图可得5A=5。，CA=CE,

'：AB=AC,N3=36°,

：.ZB=ZC=36°,

：.ZBAD=ZADB=72°,ZAEC=ZCEA=72°,

：.AE=AD.

9：ZBAD=ZAED=72°,NADB=NCDA=72°,

・•・AABD^ADAE,

.EDAD

DA~BA

即旦-=七处，

2-ED2

解得，ED=3-45.

22.(10分)【材料阅读】

把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化.

1

例如：化简尔.

解：4=万2需兽六=«_班.

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

【问题解决】

_1

(1)若a是近的小数部分，化简：一；

a

2222

(2)化筒：~~p-+~~p-+-7=~p-+…+/■

V3+1V5+V3V7+V5V2023+V2021

解：(1)V4<5<9,

.,.2<V5<3,

即逐的整数部分为2,

a=V5—2.

1—11V5+2!—

当(1=近一2时，-=-7=—=—p—I---=V5+2.

aV5-2(V5-2)(V5+2)

(2)原式=V3-1+V5-V3+V7-V5+---+V2021-VW9+V2023-V2021

=17V7-1.

23.(12分)如图，在△ABC中，边AC,AB上的中线B。，CE相交于点〃，点G,尸分别

为HC,，"的中点，连接。E,EF,FG,GD.

(1)连接若AH=BC,判断四边形。EFG的形状，并说明理由；

(2)在(1)的条件下，若A8=AC,求证：四边形。EFG是正方形.

；点D，E分别为AC,A8的中点,

1

：.ED//BC,ED=^BC.

同理尸G〃5C,FG=^BC.

：.ED//FG,ED=FG.

・・・四边形DEFG是平行四边形.

•・•点E,/分别为AB,的中点,

1

：.EF=^AH.

9：AH=BC,

：.EF=DE.

・・・口。瓦6是菱形.

(2)证明：VAB=AC,

・•・ZABC=ZACB.

,；BD,CE■分另U为AC,AB边上的中线,

11

ACD=»C，BE/AB.

：.CD=BE.

•:BC=CB,

:•△DCBmLEBC(SAS).

:.NDBC=NECB.

：.HC=HB.

•・,点G,/分别为"C,"8的中点，

11

：.HG=^HC,HF=^HB.

:・GH=HF.

・・•四边形DEFG是菱形，

：.DF=2FH,EG=2GH.

：.DF=EG.

・•・四边形。跖G为正方形.

24.(12分)已知：四边形A3CD和AEbG都是正方形.

（1）如图1,若点。在对角线A尸上，则力的值为一；（直接写结果）

CF一2一

（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（00<a<180°）.

DG

①如图2,连接CF,DG.——的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的

CF

值及理由；

_CMDN1

②当BC=3,a=135°时，CP交于点M,DG父AE于点N,且——=——=求