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文档简介
2024届安徽省滨湖寿春中学高三3月份模拟考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.2.设为自然对数的底数,函数,若,则()A. B. C. D.3.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则4.函数的图象大致是()A. B.C. D.5.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()A. B. C. D.6.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或7.将函数图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象关于直线对称,则函数在上的值域是()A. B. C. D.8.已知集合,集合,则等于()A. B.C. D.9.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()A. B.0 C.1 D.310.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.111.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④12.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()A.3 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.中,角的对边分别为,且成等差数列,若,,则的面积为__________.14.已知关于空间两条不同直线m、n,两个不同平面、,有下列四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若,且,则.其中正确命题的序号为______.15.在某批次的某种灯泡中,随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下:寿命(天)频数频率40600.30.4200.1合计2001某人从灯泡样品中随机地购买了个,如果这个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相同,则的最小值为______.16.若,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用(百万元)和销量(万盒)的统计数据如下:研发费用(百万元)2361013151821销量(万盒)1122.53.53.54.56(1)求与的相关系数精确到0.01,并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:时,可用线性回归方程模型拟合);(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的数学期望.附:(1)相关系数(2),,,.18.(12分)已知函数(,),.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为,过点的直线l的参数方程为(为参数),直线l与曲线C交于M、N两点。(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:(2)若成等比数列,求a的值。20.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面;(2)求几何体的体积.21.(12分)在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如:该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置.记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为.(1)分别求、、的值;(2)求的表达式.22.(10分)如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.(1)求证:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.2、D【解析】
利用与的关系,求得的值.【详解】依题意,所以故选:D【点睛】本小题主要考查函数值的计算,属于基础题.3、C【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.4、C【解析】
根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】∵,,∴函数为奇函数,∴排除选项A,B;又∵当时,,故选:C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.5、D【解析】
根据题干得到点A坐标为,代入抛物线得到坐标为,再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形,设直线OA为,设点A坐标为,代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为,代入双曲线得到故答案为:D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).6、D【解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.7、D【解析】
由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,求得结果.【详解】解:把函数图象向右平移个单位长度后,可得的图象;再根据得到函数的图象关于直线对称,,,,函数.在上,,,故,即的值域是,故选:D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,属于中档题.8、B【解析】
求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.【详解】由,所以,故选:B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.9、C【解析】
先根据奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数,,用替换,得,化简得,即令,所以,故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。10、A【解析】
由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.11、A【解析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误;,,则,故②错误,③正确;显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.12、B【解析】
利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,,所以,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】
由A,B,C成等差数列得出B=60°,利用正弦定理得进而得代入三角形的面积公式即可得出.【详解】∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B,又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.故由正弦定理,故所以S△ABC,故答案为:【点睛】本题考查了等差数列的性质,三角形的面积公式,考查正弦定理的应用,属于基础题.14、③④【解析】
由直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.【详解】①若且,的位置关系是平行、相交或异面,①错;②若且,则或者,②错;③若,设过的平面与交于直线,则,又,则,∴,③正确;④若,且,由线面垂直的定义知,④正确.故答案为:③④.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义,考查空间线面间的位置关系,掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.15、10【解析】
先求出a,b,根据分层抽样的比例引入正整数k表示n,从而得出的最小值.【详解】由题意得,a=0.2,b=80,由表可知,灯泡样品第一组有40个,第二组有60个,第三组有80个,第四组有20个,所以四个组的比例为2:3:4:1,所以按分层抽样法,购买的灯泡数为n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值为10.【点睛】本题考查分层抽样基本原理的应用,涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算,属于基础题.16、【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等号取得的条件。【详解】由题意,,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③等号取得的条件。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)0.98;可用线性回归模型拟合.(2)【解析】
(1)根据题目提供的数据求出,代入相关系数公式求出,根据的大小来确定结果;(2)求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率,发现它们相同,那么经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,服从二项分布,利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解:(1)由题意可知,,由公式,,∴与的关系可用线性回归模型拟合;(2)药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为,,,由题意,,.【点睛】本题考查相关系数的求解,考查二项分布的期望,是中档题.18、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求导得到,讨论和两种情况,得到答案.(Ⅱ)变换得到,设,求,令,故在单调递增,存在使得,,计算得到答案.【详解】(Ⅰ)(),当时,在单调递减,在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减.(Ⅱ)(),即,().令(),则,令,,故在单调递增,注意到,,于是存在使得,可知在单调递增,在单调递减.∴.综上知,.【点睛】本题考查了函数的单调性,恒成立问题,意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.19、(1)l的普通方程;C的直角坐标方程;(2).【解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程;(2)将直线的参数方程,代入曲线的方程,利用参数的几何意义即可得出,从而建立关于的方程,求解即可.【详解】(1)由直线l的参数方程消去参数t得,,即为l的普通方程由,两边乘以得为C的直角坐标方程.(2)将代入抛物线得由已知成等比数列,即,,,整理得(舍去)或.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)由题可知,根据三角形的中位线的性质,得出,根据矩形的性质得出,所以,再利用线面平行的判定定理即可证出平面;(2)由于平面平面,根据面面垂直的性质,得出平面,从而得出到平面的距离为,结合棱锥的体积公式,即可求得结果.【详解】解:(1)∵,分别为,的中点,∴,∵四边形是矩形,∴,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)取,的中点,,连接,,,,则,由于为三棱柱,为四棱锥,∵平面平面,∴平面,由已知可求得,∴到平面的距离为,因为四边形是矩形,,,,设几何体的体积为,则,∴,即:.【点睛】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式,考查逻辑推理和计算能力.21、(1),,,(2)【解析】
(1)根据机器人的进行规律可确定、、的值;(2)首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向
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