2024年黑龙江省龙东地区部分学校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

二○二四年初中生学业水平考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟．2．全卷共三道大题，总分120分．一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算正确的是（）A. B.C. D.2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）A.赵爽弦图 B.费马螺线C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线3.用棱长相等的正方体组成的一个几何体的俯视图与左视图如图所示，组成这个几何体的正方体个数最少是（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个4.九（）班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表：捐款金额（元）人数（人）则学生捐款金额的中位数是（）A.元 B.元 C.元 D.元5.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A.5 B.6 C.7 D.86.若关于x的方程无解，则a的值为（）A2 B. C.2或 D.2或或7.“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．求得的结果有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种8.如图，点D为矩形中边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，若的面积为2，则k值为（）A.6 B.7 C.8 D.99.如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（）A.2 B.3 C.4 D.510.如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④二、填空题（每题3分，满分30分）11.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．12.在函数中，自变量x取值范围是______．13.如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形．14.一个不透明的口袋中有四个质地相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球，其标号为偶数的概率是______．15.不等式组的整数解的个数是_________．16.如图，在中，，，则的度数为______．17.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____．18.如图，正方形的边长为6，点E是边上一点，以为对角线作正方形，连接，则面积的最大值为_______．19.如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，CA1交AB于点D．当△A1PD为直角三角形时，则AP的长度为______．20.如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；…按此做法进行下去，其中的长___________．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．22.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，．（1）将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，画出；（2）将绕原点逆时针旋转90°得到，画出，并直接写出点的坐标；（3）在旋转到过程中，求走过的路径的长度．23.如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在y轴上，且，求线段的长．24.某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．（1）参与本次测试的学生人数为______，______．（2）请补全条形统计图．（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．25.甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地．甲车先出发匀速驶向地，后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地，甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示．（1）值是，甲的速度是．（2）求线段所表示与的函数关系式；（3）若甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？26.菱形中，点在延长线上．点是对角线上一点，且．交于点．（1）如图1，直接写出与的数量关系_________；（2）如图2，当四边形为正方形时，探究与的关系，并证明；（3）如图3，连接，当等于多少度时，，并说明理由．27.夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多400元，用30000元购进甲种空调的数量与用24000元购进乙种空调的数量相同．（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调共20台，且全部售出，请写出利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36800元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买每台1200元的A型按摩器和每台800元的B型按摩器．请写出购买按摩器的方案．（两种型号都买）28.矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，分别在y轴、x轴上，且的长分别是方程的两个根．（1）求点B的坐标；（2）点D在x轴上，，且交于点E，求过点E的反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下，点Q在直线BC上，平面内是否存在点P，使以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二○二四年初中生学业水平考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟．2．全卷共三道大题，总分120分．一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，同底数幂除法，熟记各运算法则是解本题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，同底数幂除法的运算法则逐一计算即可得答案．【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意，B．，故该选项计算正确，符合题意，C．，故该选项计算错误，不符合题意，D．，故该选项计算错误，不符合题意，故选：B．2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）A.赵爽弦图 B.费马螺线C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.用棱长相等的正方体组成的一个几何体的俯视图与左视图如图所示，组成这个几何体的正方体个数最少是（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．做题要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．由左视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由左视图可得第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．【详解】解：由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有4个，由左视图可知第二层最少有1个，故组成这个几何体的小正方体的个数最少为：（个）．故选：C．4.九（）班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表：捐款金额（元）人数（人）则学生捐款金额的中位数是（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】A【解析】【分析】本题考查了中位数，求出全班捐款的学生人数，再根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键．【详解】解：九（）班捐款的学生人数为人，按照从小到大的顺序排列，中位数为第位和第位捐款金额的平均数，∴中位数为元，故选：．5.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．【详解】解：设有x个班级参加比赛，，，解得：（舍），则共有6个班级参加比赛，故选：B．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．6.若关于x的方程无解，则a的值为（）A.2 B. C.2或 D.2或或【答案】D【解析】【分析】本题考查了分式方程无解的情况求参数，先将分式方程去分母化简，再根据原方程无解求出或，，代入化简后的方程即可得出最后结果．【详解】解：，方程两边同时乘以，得，整理得：，原方程无解，或或，或，，将或代入，得：或，综上可知2或或，故选：D．7.“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．求得的结果有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【答案】B【解析】【分析】设需要小圈舍x间，大圈舍y间，利用鹿的只数＝4×小圈舍的间数+6×大圈舍的间数，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结果的个数．【详解】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间，依题意得：4x+6y＝50，∴，又∵x，y均为正整数，∴或或或，∴共有4种结果．故选：B．本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确找到等量是解题的关键．8.如图，点D为矩形中边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，若的面积为2，则k值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角坐标系中点的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数k的取值．设，则，进而得到，再求出,，根据的面积为2，得到，由此即可得到答案．【详解】解：设，则，，,，的面积为2，，，．故答案为：C．9.如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，由折叠的性质可得，∴，∴，∴，∵是的中点，∴，∴，∵，∴，，，∴．10.如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】①由旋转的性质得，可得；②由正方形的性质得，即，进而可得；③先证明，可得，根据，平分可得进而可得；④先证明，可得，即，故可求解．【详解】解：①∵四边形为正方形，，，，，，，，，，故①正确；②由正方形的性质得，平分，，，，，故②正确；③，，，，，，，，，，平分，，，，故③正确；④，，，，，；故④正确，综上，正确的结论是①②③④，故选：D．本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．【答案】3.4×10-10【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0．00000000034=3.4×10-10．故答案为：3.4×10-10．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12.在函数中，自变量x的取值范围是______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握一些常见式子有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求解．【详解】解：根据题意可得：且即，解得：故答案为：．13.如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形．【答案】（或）（答案不唯一，正确即可）【解析】【分析】此题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定定理是解答此题的关键．根据矩形的判定定理求解即可．【详解】解：若使变为矩形，可添加的条件是：；（对角线相等的平行四边形是矩形）等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：或．14.一个不透明的口袋中有四个质地相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球，其标号为偶数的概率是______．【答案】####【解析】【分析】利用概率公式求解即可得到答案．【详解】解：一个不透明的口袋中有四个质地相同的小球，随机摸取一个小球有4种等可能得情况，其标号为偶数的情况有2种，其标号为偶数的概率时，故答案为：．本题考查了概率，熟记概率公式是解题关键．15.不等式组的整数解的个数是_________．【答案】【解析】【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，判断解集内整数的个数【详解】解不等式得：x≤4解不等式得：x＞∴＜x≤4∴整数解有：－2、－1、0、1、2、3、4共7个故答案为：7本题考查求不等式的整数解，解答过程和解不等式是完全相同的过程，最后只需分析解集中的整数解即可16.如图，在中，，，则的度数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先根据圆周角定理得到，再利用三角形内角和计算出，然后根据圆周角定理得到度数．【详解】解：在中，，，，，，，故答案为：．17.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____．【答案】1【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可．【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr=，解得r=1，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案1．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18.如图，正方形的边长为6，点E是边上一点，以为对角线作正方形，连接，则面积的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】过点G作交的延长线于点I，设，则，证明，求出，根据三角形面积公式及二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：如图，连接，过点G作交的延长线于点I，设，则，∵四边形和都是正方形，∴，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴的面积，∵，∴的面积有最大值，最大值为，故答案为：．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识是解决问题的关键．19.如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，CA1交AB于点D．当△A1PD为直角三角形时，则AP的长度为______．【答案】或1【解析】【分析】分∠A1PD=90°和∠A1DP=90°两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=，∴AB=2，∴AB=2BC，∴∠A=30°，∠B=60°，根据折叠的性质得：A1P=AP，A1C=AC，∠A1=∠A=30°，∠A1CP=∠ACP，当∠A1PD=90°时，如图，∴∠A1DP=60°，∴△BDC为等边三角形，∴BD=BC=DC=1，∴A1D=-1，∴DP=A1D=，∴AP=A1P=；当∠A1DP=90°时，如图，∴∠DCB=30°，∠DCA=60°，∠A1CP=∠ACP=30°，∴∠CPB=60°，∴△BPC为等边三角形，∴BP=BC=1，∴AP=AB-BP=1；综上，AP的长度为或1．故答案为：或1．本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20.如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；…按此做法进行下去，其中的长___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了弧长的计算，一次函数图象和性质、等腰直角三角形的判定、圆周长的计算等知识；准确找到圆半径的规律是解题的关键．连接，，，，易求得垂直于x轴，可得的长为圆的周长，再找出圆半径的规律即可得出结果．【详解】解：连接，，，，…，如图所示：∵是上的点，∴，∵直线解析式为，∴，∴为等腰直角三角形，即轴，同理，垂直于轴，∴的长为圆的周长，∵以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以此类推，∴，∴，∴时，长为，故答案为：．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．【答案】x，【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值及特殊角的三角函数，正确计算是解题的关键．根据分式的混合计算法则化简后再代入计算即可．【详解】解：原式，当时，原式．22.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，．（1）将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，画出；（2）将绕原点逆时针旋转90°得到，画出，并直接写出点的坐标；（3）在旋转到过程中，求走过的路径的长度．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析，（3）【解析】【分析】本题考查平移作图与旋转作图，弧长的计算，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，弧长公式是解题的关键．（1）分别作出A，B，C的对应点，再依次连接即可；（2）分别作出的对应点，再依次连接，再写出点的坐标即可；（3）利用弧长公式求解即可．【小问1详解】解：如图，即为所求．【小问2详解】解：如图，即为所求，．【小问3详解】解：在旋转到过程中，经过的路径为一个的圆弧周长，即．23.如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在y轴上，且，求线段的长．【答案】（1）（2）1或【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键．（1）用待定数法求二次函数的解析式即可．（2）先求出A，B两点之间坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可．【小问1详解】解：∵抛物线的顶点坐标为∴解得：∴抛物线的解析式为．【小问2详解】令，则，解得，∴，，∴，∴．①当时，②当时，综上：的长为1或．24.某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．（1）参与本次测试的学生人数为______，______．（2）请补全条形统计图．（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）学生人数．【答案】（1）150人，（2）补全图形见解析（3）3500人．【解析】【分析】（1）由良好60人除以其占比可得总人数，由优秀的45人除以总人数可得m的值；（2）先利用总人数减去优秀，良好，不合格，得到合格的人数，再补全统计图即可；（3）由5000乘以测试成绩能达到良好及以上等级的学生人数的占比可得答案．【小问1详解】解：（人），∴参与本次测试的学生人数为150人，，∴；故答案为：人；30；【小问2详解】∵（人），补全图形如下：．【小问3详解】（人）；∴全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，能够正确的读图是解本题的关键．25.甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地．甲车先出发匀速驶向地，后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地，甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示．（1）的值是，甲的速度是．（2）求线段所表示的与的函数关系式；（3）若甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？【答案】（1）；（2）（3）小时【解析】【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，甲从到共用了小时，然后利用速度公式计算甲的速度；（2）设乙开始的速度为千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为,列方程，解得，计算出，则可得到，然后利用待定系数法求出线段所表示的与的函数关系式;（3）求出线段的解析式，再根据题意列不等式组解答即可．【小问1详解】∵线段代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴（小时），甲车的速度==60（千米/小时）；故答案为：；；【小问2详解】设乙开始的速度为千米/小时，则，解得（千米/小时），，则，，∴线段的函数关系式为（），设直线的解析式为，，解得，所以线段所表示的与的函数关系式为（）；∴【小问3详解】∵甲车先出发匀速驶向地，，∴，设线段的解析式为，根据题意得，，解得，∴线段的解析式为，∵甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，∴，解得，，解得，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（小时）．本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化．26.菱形中，点在的延长线上．点是对角线上一点，且．交于点．（1）如图1，直接写出与的数量关系_________；（2）如图2，当四边形为正方形时，探究与的关系，并证明；（3）如图3，连接，当等于多少度时，，并说明理由．【答案】（1）（2），，见解析（3）当时，，见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，，再证明，问题随之得解；（2）同（1）证明，即可作答；（3）同（1）先证明，即可得，，进而可得，，即有，可得，则可证明是等边三角形，问题随之得解．【小问1详解】∵四边形是菱形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】，理由如下：∵四边形是正方形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，，∴∵，∴∴；【小问3详解】当时，理由：∵四边形是菱形，，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴．本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，三角形内角和定理等知识，证明是解答本题的关键．27.夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多400元，用30000元购进甲种空调的数量与用24000元购进乙种空调的数量相同．（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调共20台，且全部售出，请写出利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36800元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买每台1200元的A型按摩器和每台800元的B型按摩器．请写出购买按摩器的方案．（两种型号都买）【答案】（1）甲种空调每台进价2000元，乙种空调每台进价1600元（2）（3