福建省泉州市2024届高三年级下册阶段性考试数学试卷(含答案)

福建省泉州市培元中学2024届高三下学期阶段性考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.若一组数据1』,a,4,5,5,6,7的75百分位数是6,则a=()

A.4B.5C.6D.7

2.抛物线、=工好的焦点坐标为()

4

A.(l,0)B.(O,l)D｛O,\

3.已知等差数列｛%｝的前几项和为J,且％=5+S]i=67,则%是｛%｝中的()

A.第30项B.第36项C.第48项D.第60项

4.已知直线/、"2、72与平面a、/3，下列命题正确的是()

A.若。，/ua,贝B.若〃/?，则。，分

C.若IJ_”，则UlmD.若a//，,/ua,“u力,则///〃

5.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展,

形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现

将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一

类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为()

A.216B.228C.384D.486

6.已知实数机,〃满足(m+l)(n+l)=2,则机，〃可能是()

兀37171371

A.加=tan一,n=tan——B.m=tan—,n=tan——

161688

兀37171371

C.m=cos--,n=tan——D.m=cos—,n=tan——

161688

7.已知实数a,b,c成公差非0的等差数歹！J,在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-3,2),点

N的坐标为(2,3).过点P作直线依+与+c=0的垂线，垂足为点M则般,N间的距离的

最大值与最小值的乘积是()

A.10Bp夜C.4&D.前三个答案都不对

8.宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达.《朱子

语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶,无所不有”.太

极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：对于函数/(外,若存在圆C,

使得了(%)的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称/(%)是圆C的太极函数.下列

说法正确的是()

①对于任意一个圆,其太极函数有无数个

②/(%)=咋1(2"+1)+；%是％2+(,+])2=1的太极函数

22

③太极函数的图象必是中心对称图形

④存在一个圆=sinx+cosx是它的太极函数

A.①④B.③④C.①③D.②③

二、多项选择题

9.在△ABC中,43=#，6。=2,4=45。，则△ABC的面积可以为()

A3—A/3BC3+D^6+y/2

2222

10.设zrZ2为不相等的两个复数，则下列命题正确的是()

A.若Z]+等2>0,贝！Jz2=zx

B.若ZjZ2=0，则Z]=0或z,=0

C.若团=阂，则z；=z；

D.若匕-zj=|z-22卜则在复平面对应的点在一条直线上

11.已知函数/(%)的定义域为氏且/(x+y)=/(x)+/(y)+l,/⑴=0,则()

A./(O)=-l有最小值

C./(2024)=2023D./(%)+l奇函数

三、填空题

12.已知回=1,/7=(1,0),且2,+0=卜-同,则°在匕上投影向量为.

13.如图，画一个正三角形,不画第三边;接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画

正五边形;对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形;……，这样无限画下去，形成一条

无穷伸展的等边折线.设第〃条线段与第〃+1条线段所夹的角为仇(〃eN*，2e(O,兀)),

四、双空题

14.已知圆锥SO的母线&4=5,侧面积为15兀，则圆锥SO的内切球半径为；若

正四面体4-四£。］能在圆锥so内任意转动，则正四面体A的最大棱长为

五、解答题

15.已知函数/(x)=ae'+6x+l在x=0处有极值2.

(1)求。力的值；

(2)证明：/(%)>ex-x.

16.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”

竞赛活动.竞赛共有A和3两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10

分;每答对1道3类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中

共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学A类试题中有7道题能答对，而

他答对各道3类试题的概率均为2・

3

(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X

的分布和期望；

(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概

率.

17.如图,四棱锥p—ABCD中,PAL底面ABC。，四边形ABCD

中,AB=AP，，AD，AB+AZ)=6,CD=拒，NCAM=45。.

p

（1）若E为PB的中点，求证：平面P6C_L平面ADE；

（2）若平面w与平面PCD所成的角的余弦值为好.

6

（i）求线段AB的长；

（ii）设G为△PAO内（含边界）的一点，且Gfi=2G4,求满足条件的所有点G组成的

轨迹的长度.

18.已知椭圆°：£+工=1（。〉6〉0）的离心率是近，点4（-2,0）在C上.

a2b23

（1）求C的方程；

（2）过点（―2,3）的直线交C于RQ两点，直线AP，A。与y轴的交点分别为MN,证

明：线段的中点为定点.

19.已知集合"={x|x=（%1，々,…e{0,l},i=1,2,卜其中心2.对于

A=…,%）,5=（伪也，.也）区,,定义A与3之间的距离为用.

/=1

（1）记/=（LLL1）GS4,写出所有AeJ使得d（/,A）=3；

（2）记/=,l）eS"A、并且2（/,人）=2（/,5）=04〃，求d（A,B）的最大值；

（3）设PcS”,P中所有不同元素间的距离的最小值为匕记满足条件的集合P的元素个

数的最大值为加,求证：m>------—•

C+C；++C尸

参考答案

1.答案：c

解析：这组数据为：1,1,a,4,5,5,6,7,但a大小不定，因为8x0.75=6,

所以这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数,

经检验，只有a=6符合.

故选：C.

2.答案：B

解析：由丁=；必可得犬=分,其焦点坐标为（0,1）,

故选：B.

3.答案：B

解析：设公差为a

。5=+4d=5「—[

则11x10，解得,

a1+Su=a1+11%H------d=67[d=1

、2

所以=几，

贝!J%,%2=3x12=36,

令为=36，则〃=36,

所以能是｛〃〃｝中的第36项.

故选：B.

4.答案：B

解析：A选项，如图1,满足C/7,/ua,但/邛不垂直,A错误;

B选项，如图2,因为〃/月，

所以作平面/，使得/u且y=a,

则〃/a，

因为/_La，则aJ_a，又au，,故tz_L，,B正确;

C选项，如图3,满足/，”,加，〃，但l,m不平行,C错误;

图3

D选项，如图4,满足M/尸，/ua,nu。,但5不平行,D错误.

///

故选：B.

5.答案：A

解析：先挂2盏吊灯有A；=2种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有A；=6种挂法,

最后将宫灯插空挂.

当4盏宫灯分成2,2两份插空时有C；-1=5种挂法；

当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时有C；C；=12种挂法；

当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时有1种挂法，

所以共有N=2x6x(5+12+1)=216种不同的挂法.

故选：A.

6.答案：A

解析：由(m+=2,得=1,

'八71-mn

类比tan(a+0Jana+tanJ

1-tan«tan/3

713兀

tan-+tan——

\713兀

tan----1----1616_]

[161671371.

1-tan——tan——

1616

故选：A.

7.答案：A

解析：直线如+Z?y+c=O中a,O,c成等差数列即直线公+by+c=O恒过点Q(l,-2),

又PM，,于是点时的轨迹是以PQ为直径的圆，如图.

该圆的圆心为C(-1,0)泮径为2&，因此C:(x+1)2+V=8,

故|CN|=3夜，于是所求最大值与最小值之积为5A/2XV2=10-

故选：A.

8.答案：A

解析：对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分,

所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确

j:(1+2/1

对于②：/(-x)=log1(2-+l)-1x=log1

------X9

22\乙V)2

(2%+1)

/(%)=log]VTF+x=r+x=°,所以/(%)关于y轴对称，不是太极函数，故②

2

2X

错误；

对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心.

但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误;

对于④：曲线/（X）=sinx+cosx=y/2sinfx+-^j存在对称中心，

所以必是某圆的太极函数，故④正确.

故选：A.

9.答案：AC

解析：」c=C，a=2，A=45°，

a2-b1+C1-2bccosA，即b2=a2-c2+2bccosA=4-6+2xZ?x^6x，

2

整理得从_2扬+2=0,解得b=Q+l或6-1，

当5=6+1时,S^ABC=；bcsinA=；x（6+l卜#x¥=^^，

当b=百—1时,S^BC=；bcsinA=—,x屈x号，

所以△ABC的面积为空史或三8.

22

故选:AC.

10.答案：BD

解析：对于A,令Z]=1+i,z2=-i,则Z[+z2=1>0,此时z?WZ],A错误；

对于B,设4=a+b1,z2=c+di（a,b,c,dER）,则zxz2=^ac-bd^+[ad+Z?c）i=0,

[ac-bd=0[ac=bd

所以，「7Z即nrt「一则"〃=孑4；

ad+PC=0\ad——be

11

若c=d=0,则acd=—bcd成立，此时22=0；

若c=0，dw0,由ac=/?d知〃=0；由加=—be知：〃=0,此时马二。；

同理可知：当cw0,d=0时,4=0；

若cw0，dw0,由—52cd得：/=_〃,则此时4=0;

综上所述：若zxz2=0，则Z]=0或z2=0,B正确；

对于C，令Z]=1,z2=i，则㈤=闾=1,此时z；*z；,C错误;

对于D,设z=a+bi,Z]=q+b]i,z2=%+为（〃,反％，4，%，〃2wR），

贝！Jz—Z]=一%）+（b—4）i,z-22=（Q-〃2）+（人一瓦）i，

由|z_zJ=|z_Z2|,可得J(a—a)+(>一注)2=J("+0—小丫，

所以2a(6—a,)+2Z?(瓦—4)+⑥—d+,一呼=0,

又%-%、4-62不全为零，

所以2(%_。2)。+2伯_4)〃+4_d+优_斤=0表示一条直线，

即z在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.

故选：BD.

11.答案：ACD

解析：对于A中，令X=y=0,可得/(0)=-1,所以A正确；

对于B中，令％=X],y=々一%,且％<x2，贝I/(%+x,%)+/(%2_玉)+1，

可得/(々)一/(%)=/(%一七)+1,

若%>0时,/(£)>-1时,/5)-〃石)>。，此时函数八%)为单调递增函数；

若x>0时，/(%)<-1时，/(%)-/(%)<。，此时函数/(%)为单调递减函数，

所以函数“X)不一定有最小值，所以B错误；

对于C中，令y=l,可得〃x+l)=〃x)+/⑴+1=〃力+1,

即/(x+1)—/(力=1,

所以“2)—/⑴=1,/(3)—/(2)=1,.，”2024)—“2023)=1,

各式相加得“2024)-/⑴=2023，所以/(2024)=/⑴+2023=2023，所以C正确;

对于D中，令y=-x,可得/⑼=〃力+/(—力+1,可得〃力+1+/(—力+1=0,

即/(r)+l=-+所以函数/(“+1是奇函数，所以D正确；

故选：ACD.

12.答案：|,o]

解析：设a=(x,y),由同=1可知x?+y?=1①,

而a+b=(1+x,y),a-6=(x-1,y),

所以b+囚=J(]+x)2+y2,k一@=yj(x-l)2+y2

22

由2卜+可=卜_可可得2yl(l+x)+y=J(l)2+y2②,

由①②可得4x(2x+2)=2—2x,解得x=—|,则y=±1,

所以a=(-|,$或者a=，又b=(1,0)，

向量a在b上的投影向量是下丁-=—工人

\b\n\b\5

故答案为：,|，o)

13.答案：174.55

解析：第一条线段与第二条线段所夹的角优=60,由此类推=90,4=90,

劣=108,05=108,06=108,=120,4=120,劣=120,09=120,........

观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，

正方形有2个90，正五边形有3个108，正六边形有4个120，........

,"多边形有〃—2个18°(〃-2)

n

又观察图形得：正三角形画2条线段，正方形画2条线段，正五边形画3条线段，正六边形

画4条线段,……，正〃边形画〃—2条线段；

,画完正冏多边形时，画线段的条数为机=2+2+3+4+...+(“-2)=2+巴(9，

当〃二65时=2017；当〃二66时=2081

180x64

二第2022条线段应在正66边形中,=^174.55

202266

故答案为：174.55•

14.答案：①.|②.灰

解析：如图,在圆锥SO中，设圆锥母线长为/,底面圆半径为厂,

s

因为侧面积为15兀，所以兀力=15兀，即力=15•

因为/=&1=5,所以r=3,所以S0=j52—32=4

棱长为a的正四面体A-BiGA如图所示，

则正方体的棱长为走小体对角线长为亚a，

22

所以棱长为a的正四面体A-4G。的外接球半径为包a.

4

取轴截面SAB，设ZXSAB内切圆的半径为r,

贝1]_1乂4乂6=工（6+5+5）/，解得r=3,

22V72

即圆锥so的内切球半径为3.

2

因为正四面体4-用£口能在圆锥SO内任意转动,所以逅a<3,即a<C，

42

所以正四面体4-用£2的最大棱长为振.

故答案为：3；逐.

2

15.答案：（1）a=l，b=-V，

（2）证明见解析.

解析：（1）由已知,/口）=aex+b,

则J'(O)=ae°+b=O,

、[/(0)=ae°+Ax0+l=2.

解得『j

b--1.

经检验,a=Lb=-1符合题意.

(2)证明：由(1)可知，/(%)=e口一元+1.

要证/(x)>ex-x,

只需证e*—x+1>ex-x-

即eT-ex+1>0•

令g(x)=e*-ex+],则g，(x)=ex-e-

令g'(x)=0，解得x=l-

g，(x),g(x)的变化情况如下表所示.

X(-00,1)1(1,+℃)

g'(x)——0+

g(x)单调递减1单调递增

所以，X=1时,g(x)有最小值g(l)=S-exl+l=l〉O.

故/(%)>ex-x成立

16.答案：(1)分布列见解析,E(X)=21

⑵《

解析：(1)Xe{0,10,20,30}

c31c1C2217

P(X=O)=T=—,P(X=IO)=^-^=—=一，

Co120C：o12040

尸—1。)=誉端端尸(X=30)噌畸亮

所以X的分布为

X0102030

17217

p

120404024

I7217

所以E(X)=Ox一+10x—+20x—+30x—=21

120404024

(2)记“该同学仅答对1道题”为事件的

7(%+』xc2219

P(M)——X)

10(310-3390

,这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为”.

90

17.答案：(1)证明见解析；

(2)(i)2;(ii)是兀.

3

解析：(1)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD，ADu平面ABCD，则

而AB，AD，ABH%=A,AB，u平面MB，于是ADJ_平面，又PBu平面，

则ADLPB，由45=4^，£为。5的中点,得招，。5，4£AD=A，AE，ADu平面

ADE，

因此PB，平面ADE，而Pfiu平面PBC，

所以平面P5C,平面ADE.

(2)(i)由(1)知，直线AB，AD，AP两两垂直，

以点A为原点，直线AB，AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

过C作CE_LAD于F由C£>=后,NCZM=45。，得CF==1，令A3=t(0</<5),

则P((W),D(0,6-r,0),C(l,5—人0),=(0,6—r,T),CD=(-1,1,0),

、门fn心、上4日min-PD=(6-t)y-tz=0人4口

设平面PCD的法向里〃=(x,y,z)4“，令y=L得"=(r/,6—/),

n-CD=-x+y=0

由ADJ_平面PAB，得平面PAB的一个法向量m=(0,1,0),

依题意,Icos〈m,n）|=”"I=i'—=-j=，整理得产+47-12=0，而/>0，解得

\m\\n\J广+产+（6T）2V6

t=2,

所以线段AB的长为2.

（ii）显然A3,平面PAD，而AGu平面PAD，则ABLAG，^BG=2AG，

于是（2AG）2=AG?+22,解得AG=半，因此点G的轨迹是以点A为圆心，乎为半径

的圆的土,

所以点G轨迹的长度为L・毡=走兀•

23

18.答案：（1）21+工=1

94

（2）证明见详解

a=3

解析：（1）由题意可得<=b2+c2，解得<b=2

c_V|

a3

22

所以椭圆方程为匕+土=1.

94

（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设为2：y=左（》+2）+3,2（%,%）,。（9,%）

y=攵（％+2）+3

联立方程%2，消去y得：（4左2+9）犬+8左（2k+3）》+16（左2+3k）=0,

I94

则A=64k2（2k+3）2-64（4严+9）+3k）=—1728女>0，解得k<0,

因为A（—2,01则直线AP-.y=备G+2）,

令x=0,解得>=含，即“八,悬|

/9A

同理可得N0,二兄

、x2+2y

则%+2%+2_[>(/+2)+3][^(x2+2)+3]

-1

2%+2%+2

[Ax[+(2k+3)](%2+2)+[^^2+(2k+3)](玉+2)2kxlx?+(4左+3)(芯+%2)+4(2左+3)

(%；+2)(%2+2)