浙江省宁波市北仑区2023年中考一模数学试题

浙江省宁波市北仑区2023年中考一模数学试题

阅卷人

-----------------v单选题

得分

1.-2023的倒数是（）

2023

A.2^3B，~2^23。D--2023

2.计算血6+血2的结果是（）

A.m~4B.w?C.m4D.ms

3.据国家医保局公布的《2022年医疗保障事业发展统计快报》显示，2022年全年医保基金支付核酸检

测费用4300000000元.数4300000000用科学记数法表示为（）

A.43X108B.4.3X109C.4.3XIO10D.0.43X1O10

4.如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱组成的，它的主视图是（）

主视方向

5.祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡

献.数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：

数字0123456789

频数881211108981214

那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（）

A.9,5B.14,4.5C.14,5D.9,4.5

6.如图（1）是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO=5,BO=2,ZAOD=120°,则阴影部分面积

为（)

.

D.2TT

7.如图，在△ABC中，D,E分别为43,ZC的中点，点F是线段DE上的点，且乙4FB=90。，若48=

5,BC=8,贝归9=()

A.1B.1.5C.2.5D.4

8.我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七

枚果子四文钱.问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7

个，问梨果各买了多少个？如果设梨买x个，果买y个，那么可列方程组为（）

'x+y=1000'%+y=1000

A.当+等=999B.2^_i_ZZ—999

y/(]]十4—沙

'x+y=999x+y=999

•孚+翠=1000D.*+字=1000

V/VII4

9.如图，直线y=的％+6与双曲线〉=勺交于A、B两点，其横坐标分别为1和5,则不等式的支＜

A.—5<x<—1B.1<x<5或］<0

C.—5<%<—1或久>0D.%<1或%>5

10.以直角三角形的各边为边分别向外作正方形(如图1),再把较小的两个正方形按图2的方式放置在

最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()

B.四边形DCEG的面积

C.四边形HGFP的面积D.zxGEF的面积

阅卷人

二'填空题

得分

11.请写出一个小于3的无理数

12.分解因式：a2-49=

13.一个不透明的袋子里装有2个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是

黑球的概率为

14.如图，已知。。的直径AB为8,点M是。。外一点，若MB是。。的切线，B为切点，且MB=

3,Q为。。上一动点，则MQ的最小值为

15.定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数y=1的图象上，则称这个矩形

为“奇特矩形”.如图，在直角坐标系中，矩形4BCD是第一象限内的一个“奇特矩形”.且点4(4,1),

B(7,1),则矩形4BCD的面积为.

4

Dc

AB■>

ox

16.如图，一张矩形纸片4BCD中，器=TH(m为常数).将矩形纸片ABC。沿EF折叠，使点A落在BC边

上的点H处，点D的对应点为点M,CD与交于点P.当点H落在BC的中点时，且用=%则

m=

阅卷人

三、解答题

得分

17.(1)计算：a(2—a)+(a+3)2.

⑵解不等式组：｛1?12

18.如图，在5x5的方格纸中，点A,B是方格中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边

形,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).

(1)在图1中画出线段4B的中点0；

(2)在图2中画出一个团4MBN,使=且团4MBN为格点四边形.

19.抛物线y=(%+1)(%-t)(t为常数)经过点4(4,5),B(m,n)

(1)求t的值；

(2)若几＜5,求m的取值范围.

20.某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查,

统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

课外体育锻炼情

况扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题：

(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为;

(2)请补全条形统计图；

(3)该校共有1200名男生，小明认为“全校男生中，课外最喜欢参加的项目是乒乓球的的人数约为

1200x^=108"，请你判断这种说是否正确，并说明理由.

21.如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图.是缓降器的底板，压柄BC可

以绕着点B旋转，液压伸缩连接杆DE的端点E分别固定在压柄BC与底板上，已知BE=12cm.

(1)如图2,当压柄BC与底座AB垂直时,NCEB约为22.6。，求RD的长;

(2)现将压柄BC从图2的位置旋转到与AB成37。角(即乙4BC=37。)，如图3的所示，求此时液压

伸缩连接杆DE的长.(结果保留根号)

(参考数据：sin22.6。々若，cos22.6°»1|,tan22.6。弋各sin37°«1,cos37°tan37°«1)

22.如图①所示，在A、B两地之间有一车站C,甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发

经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y(km)与行驶

时间x(h)之间的函数图象.

(1)填空：a的值为,m的值为,AB两地的距离为km.

(2)求m小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式.

(3)请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围.

23.新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图

形截的线段叫做等积垂分线段.

问题探究：

(1)如图1,等边AABC边长为3,垂直于BC边的等积垂分线段长度为；

(2)如图2,在AZBC中，AB=8,BC=6曲,NB=30。，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；

(3)如图3,在四边形4BCD中，乙4=zC=90。，AB=BC=6,AD=3,求出它的等积垂分线段

长.

24.△ABC内接于。。，点I是△力BC的内心，连接4并延长交O。于点D,连接BD,已知BC=6,

(1)连接B/,CI,贝(用含有a的代数式表示)

(2)求证：BD=D1；

(3)连接01,若ta借=去求。/的最小值

(4)若切瑞=孚MBE为等腰三角形，直接写出AB的值•

答案解析部分

1.【答案】B

【知识点】有理数的倒数

【解析】【解答】解：-2023的倒数是-册，

故答案为：B.

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，判断即可.

2.【答案】C

【知识点】同底数累的除法

【解析】【解答】解：原式=小6-2

二7714-

故答案为：C.

【分析】由同底数幕相除，底数不变，指数相减，计算即可.

3.【答案】B

【知识点】科学记数法表示大于10的数

【解析】【解答】解：4300000000=4.3X109.

故答案为：B.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成axion的形式，其中1W1aI<10,n等于原数

的整数位数减去1,据此可得答案.

4.【答案】C

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：根据题意得：

从正面看到的图形是

故答案为：C.

【分析】主视图，就是从正面看得到的图形，从正面看应该是一行两个矩形，据此即可判断得出答案.

5.【答案】A

【知识点】统计表；中位数；众数

【解析】【解答】解：由统计表可知：数字9出现了14次，故众数是9,中位数为第50个数与第51个数

的平均数，即为岁=5;

故答案为：A.

【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，（众数可能有多个），中位数：将一组数据

按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫

做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据

的中位数，据此结合表格给的数据即可得出答案.

6.【答案】B

【知识点】扇形面积的计算

阴影-22

【解析】【解答】解：sS^^A0D-S^^B0C=1X7TX5-1X7TX2-7TI

故答案为：B.

【分析】由图形可得S阴影二S扇形AOD-S扇形BOC，然后结合扇形的面积公式进行计算.

7.【答案】B

【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：：D、E分别为AB,AC的中点，BC=8,

1

：-DE=^BC=4,

*：2LAFB=90°,

YD为AB的中点，AB=5,

i

：-DF=AB=2.5,

：.EF=DE-DF=1.5,

故答案为：B.

【分析】根据三角形的中位线定理得DE§BC=4,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得

DF=1AB=2.5,进而根据EF=DE-DF即可算出答案.

8.【答案】A

【知识点】列二元一次方程组

'x+y=1000

【解析】【解答】解：依题意，得：llx,4y.

（丁+号=9n9n9n

故答案为：A.

【分析】如果设梨买X个，果买y个，则梨与果的单价分别为寺文及寺文，根据单价乘以数量等于总

价，由购买x个梨与购买y个果共花费999及购买梨与果共1000个即可列出方程组.

9.【答案】C

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，

直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点4的横坐标为-1,交点B'的横坐标为-5,

当一5<k<一1或无>0时，双曲线图象在直线图象上方，

所以，不等式心％<§+b的解是：—5<%<—1或久>0.

故答案为：C.

【分析】根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，不等式的解集可由双曲线不动，相当于把直线向下

平移2b个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在

双曲线下方的自变量x的取值范围即可.

10.【答案】D

【知识点】整式的混合运算；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【解答】解：设四边形ABCD的面积为Si,四边形DCEG的面积为S2,△GEF的面积为S3,四

边形HGFP的面积为S4,大正方形的面积为c,中正方形的面积为b,小正方形的面积为a,

.,国+s阴影=s3+s4

:，S3=S阴影

即知道图中阴影部分的面积，则一定能求出△GEF的面积，

故答案为：D.

【分析】设四边形ABCD的面积为Si,四边形DCEG的面积为S2,△GEF的面积为S3,四边形HGFP

的面积为S4,大、中、小、正方形的面积分别为c、b、a,由S4+S阳影=*(c—a),S3+S4=^b,然后

把6=。也代入即可得出结论.

11.【答案】V2

【知识点】无理数的概念

【解析】【解答】解：小于3的无理数有V2,

故答案为：V2.

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三

类：①开方开不尽的数，②IT及TT的倍数的数，③像0.1010010001...(两个1之间依次多一个0)这类

有规律的数，从而即可得出答案.

12.【答案】(a+7)(a-7)

【知识点】因式分解-公式法

【解析】【解答】。2-49=(a+7)(a—7)

故答案为：(a+7)(a-7)

【分析】运用平方差公式：a2-b2=(a+b).(a-b)；可得.

13.【答案】£

【知识点】等可能事件的概率

【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球有2+7=9种等可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是

黑球的结果有2种，

,p,2

・•产一寸

故答案为：.

【分析】用袋中黑色小球的数量除以袋中小球的总数量即可得出从袋中任意摸出一个球是黑球的概率.

14.【答案】1

【知识点】点与圆的位置关系；切线的性质

【解析】【解答】解：连接OM,交。。于Q,此时MQ值最小，

A

AOBXBM,

;。。的直径AB=8,

.\OQ=OB=4,

VBM=3,

由勾股定理，得OM=5,

.*.MQ=OM-OQ=5-4=1,

故答案为：1.

【分析】连接OM,交。。于Q,此时MQ值最小，根据切线的性质得OBLBM,在R3OBM中，由

勾股定理算出OM,进而根据MQ=OM-OQ即可算出答案.

15.【答案】0.6或27

【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：当反比例函数y=：的图象经过AB、CD上的点时，

设BC=n,

:点4(4,1),B(7,1),

:.AB=3,

二点(5,71+1)、(6,1)在反比例函数y=［的图象上，

:・k=6x1=6,

•••5x(ri+1)=6,

解得71=

13

S矩形ABCD=5X3~5-0-6,

当反比例函数y=］的图象经过AD、BC上的点时，

设BC=n,

,点4(4,1),5(7,1),

二点（4,1+|归）和点（7,1+细在反比例函数丫=轴图像上,

21

4X（1+可71）=7（1+w71）9

解得n=9,

S矩形ABCD=9x3=27,

故答案为:0.6或27.

【分析】分类讨论：当反比例函数y=［的图象经过AB、CD上的点时，设BC=n,由A、B的坐标易得

AB=3,由“奇特矩形”的定义可得点（5,n+1）、（6,1）在反比例函数y=［的图象上，根据反比例函

数图象上的点的坐标特点可求出n的值，从而根据矩形的面积计算公式算出矩形ABCD的面积；当反比

例函数y=1的图象经过AD、BC上的点时，设BC=n,由“奇特矩形”的定义可得点（4,l+|n）、（6,

1+Jn）在反比例函数y=］的图象上，根据反比例函数图象上的点的坐标特点可求出n的值，从而根据矩

形的面积计算公式算出矩形ABCD的面积，综上即可得出答案.

16.【答案】苧

【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图，延长PC、EH交于G,

•.•四边形ABCD是矩形，

DG||AB,乙PCH=乙PHE=ZB=90°,CD=AB,

?.△CGH^ABEH,

浇=^=器'乙GCH=GHB=90。'

落在BC的中点，

CH_.

,•丽一1'

・•・HG=HE,CG=BE,

CP_1

CD=39

・,•设CP=x,BE—a,

则=CD—3%,AE=3x—a,CG—a,GP=x+a,

由翻折可得：HG=HE=AE=3x-a,

•••乙CGH=(HGP,

・•・ACGHs^HGP,

tGH__CG_

•••~GP=HG9

.3%—CL_CL

•・x+a―3x—a

解得：a=

9Q12

CG=yx?HG=3x—yX=­j~x9

CH=y]HG2-CG2

—V7x>

BC=1V7x,

故答案：孥.

【分析】延长PC、EH交于点G,根据矩形的性质可得DG〃AB,推出△CGHs/\BEH,得薨=邸=

解=1,贝ijHG=HE,CG=BE,设CP=x,BE=a,贝ijAB=CD=3x,AE=3x-a,CG=a,GP=x+a,由折叠得

DH

HG=HE=AE=3x-a,证小CGH^AHGP,由相似三角形对应边成比例建立方程可用含x的式子表示出a,

可得CG、HG,进而用勾股定理表示出CH,从而即可解决此题.

17.【答案】(1)解：a(2—a)+(a+3)2

=2a—a?++6a+9

=8a+9；

2%>2①

⑵解:

l-x<2@

由①得%>1,

由②得久>-1,

...不等式组的解为％>1.

【知识点】整式的混合运算；解一元一次不等式组

【解析】【分析】(1)根据单项式乘以多项式的法则、完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简即

可；

(2)分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大

小小无解了，确定出解集.

18.【答案】(1)解：如图1中，点0即为所求；

图1

(2)解：如图2中，团2MBN即为所求.

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质

【解析】【分析】(1)连接以AB为对角线的矩形的另一条对角线，与AB相交于点0,根据矩形的对角

线互相平分即可得出点O就是AB的中点；

(2)利用方根纸的特点及勾股定理算出AB=V10,则AM=2>/5,故AM就是两直角边长为2与4的直角

三角形的斜边长，据此找到点M的位置，进而根据平行四边形的对边平行且相等可得点N的位置，顺次

连接A、N、B、M即可得出所求的平行四边形AMBN.

19.【答案】(1)解：•.•抛物线y=(尤+1)(%—t)(t为常数)经过点4(4,5),

,5=(4+l)(4-t),

解得：t=3；

(2)解：*.'y=(%+1)(%—3)=%2—2x—3=(%—l)2—4,

抛物线的开口向上，对称轴为直线％=1,

二点A关于对称轴对称的点为：(—2,5)，

Vn<5,

.•.点B在点A及其对称点连线下方的抛物线上，

.".—2<m<4.

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=axA2+bx+c的性质

【解析】【分析】(1)将点A(4,5)代入y=(x+1)(x-t)可求出t的值；

(2)首先将(1)所求抛物线的解析式配方成顶点式，根据图象与系数的关系得抛物线的开口向上，对

称轴为直线x=l,由抛物线的对称性得点A关于对称轴对称的点为(-2,5),由n<5可得点B在点A

及其对称点连线下方的抛物线上，据此即可得出m的取值范围.

20.【答案】(1)144°

(2)解：经常参加的人数：300x(1—15%—45%)=120(人)

喜欢篮球的人数：120-27-33-20=40(人)

补全图形如下：

“经常参加”课外体育锻炼的男生

最喜欢的一种项目条形统计图

(3)解：这个说法不正确，理由如下：

小明得到的108人是课外最喜欢参加的项目是乒乓球的大约人数，

而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生也有最喜欢乒乓球的，

课外最喜欢参加的项目是乒乓球的人数无法确定是比108多还是比108少.

【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图

【解析】【解答】解：(1)“经常参加”所对应的圆心角的度数为360。X(1-45%-15%)=144°；

故答案为：144°；

【分析】(1)用360吆“经常参加”课外体育锻炼男生人数所占的百分比即可求出“经常参加”所对应的圆

心角的度数；

(2)用随机抽取的总人数乘以“经常参加”课外体育锻炼男生人数所占的百分比可求出“经常参加”课外

体育锻炼男生人数，进而再减去喜欢乒乓球、羽毛球及其它类的人数即可求出喜欢篮球的人数，据此可

补全条形统计图；

(3)这个说法不正确，理由如下：小明得到的108人是课外最喜欢参加的项目是乒乓球的大约人数，

而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生也有最喜欢乒乓球的，据此即可判断得出答案.

2L【答案】(1)解：在RtABDE中，BD=BE-tanZBED=12Xtan22.6°12X=5,

答：此时BD的长约为5cm；

DH=BD-sinzDBE=5sin37°«3,

：.EH=BE-BH=12-4=8,

在Rt△DEH中，DE=y/DH2+EH2=V73.

答：此时液压伸缩连接杆DE的长约为gem.

【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的其他实际应用

【解析】【分析】(1)根据锐角三角函数的定义可得BD=BE•tan乙BED=5；

(2)根据锐角三角函数的定义可得BH=BD-cos乙DBE=4,DH=BD-sin乙DBE=3,贝UEH=BE-

BH=12—4=8,在RtACEH中，根据勾股定理可得DE='DH?+E/=履。

22.【答案】(1)120；1.5；480

(2)解:设L5小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式y=kx+b,

[360=6k+b

IO=l.Sk+b9

解得：

lb=-120

函数关系式为y=80x-120；

(3)当蔡勺与，两车与车站C的路程之和不超过300km

【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题

【解析】【解答】解：(1)♦.•甲的速度=婴=60(km/h),

6

.".BC的距离a=60x2=120(km),

/.AB=360+120=480(km),

.•.乙车速度=挚=80(km/h),

6

/.m=i^=1.5(h),

故答案为：120,1.5,480；

(3)当gxW1.5时，360-60x+120-80x<300,

，当.5,两车与车站C的路程之和不超过300km,

当1.5<x06时，360-60x+80x-120<300,

/.x<3,

・・・当1.5VxS3时，两车与车站C的路程之和不超过300km,

综上所述：当器xW3,两车与车站C的路程之和不超过300km.

【分析】(1)由图象提供的信息可知，甲6小时行驶了360km,据此可求出甲的速度，而甲再行驶2小

时后到达了B地，根据路程=速度x时间即可求出a的值，进而可求出AB两地的距离，而乙从B到A共

行驶了6小时，从而可求出乙的速度，用路程+速度可求出乙从B到C所用的时间m的值；

(2)根据图象，设L5小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式

y=kx+b,然后代入(1.5,0)与(6,360)可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而即

可得出所求的函数解析式；

(3)分类讨论：①甲、乙都没有到达C站，即当OWxWl.5时，②乙经过C站，而甲还没有到达C

站，即当分别根据两车与车站C的路程之和不超过300km列出不等式，求解并取公共部分即

可.

23.【答案】(1)竽

(2)解：如图2中，线段EF是垂直于BC边的等积垂分线段，设EF=%.作AH1BC于从

在RtMBH中，

VZXHB=90°,NB=30。，AB=8,

：.AH=^AB=4,BH=遮AH=4后

,:BC=6V3,

:・S〉ABC=,NH=0X6gx4=12V3,

由题意：S>BEF~扛△力BC=6V3>

•二,x%xV3x=6A/3,

解得％=2遍或-2遍(舍弃)，

・・・BC边的等积垂分线段的长度为2遮.

(3)解：①如图3-1中，当线段EF是等积垂分线段时，设E尸交于H.作尸G_L于G.设DE=%.

在Rt中，

•・Z=90°,AD=3,AB=6,

1・BD=^JAD2+BD2=V32+62=3星,

*:EH||AB,

.EH_DH_DE

•,松二而二而’

.EH_DH_x

,,寸叛=了

:・EH=2x,DH=

:・BH=3V5-V5x,

VzX=ZC=90°,AB=BC,BD=BD,

A△ABD=ACBD(HL)f

：.^ABD=乙DBC,

■:(FHB=Z.HBA,

，乙FHB=乙FBH”,

:.FH=FB,

〈FG工BH,

：・HG=GB=3无曲

由△RGB〜△D/B,可得尸G=3后0,BF=FH=—T5-,

44

•・•EZ7FZ7=ET7HL7+IFUHU=2O%H1--1--5-———5%=—15+——3%，

,/四边形EFC。的面积=四边形EFBA的面积，△AB。的面积=△BDC的面积,

/.A的面积=△BHF的面积，

x2xx=|x（3V5-V5x）x3^-^x,

解法久=2同一5（负根已经舍弃），

.门口_15+3（2同-5）_3710

••EF=4=~-2―

②如图3-2中，当线段EF是等积垂分线段时，设5T交8。于H.作£7；18。于6.设?”二丫，贝加?=2y,

BH=V5y.

：.Z.ADH=(EHD,

9：^.ADB=乙BDC,

:•乙EDH=(EHD,

：.ED=EH,

VEG1DH,

•八二m3店一店y

••DG=GH=--~9

VtanzFPG==2,

-,-EG=3V5-V5y,EH="#，

,厂「L“।,15-5y15-3y

•-EF=EH+FH=y-{--=—

由aDEH的面积=△BHR的面积，

x(3V5—V5y)(3V5—V5y)=*x2yxy,

解得y=5—YIU(负根已经舍弃)，

・匚厂15-3(5-710)3710

••EF=2=~2―

综上所述，四边形ABCO的一条等积垂分线段的长为空.

【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三

角函数的定义

【解析】【解答】解：（1）如图所示AD为垂直于BC边的等积垂分线，

A

••丽=sm60=7

•3乃

•*AD=-2~»

故答案为：等;

【分析】(I)AD为垂直于BC边的等积垂分线，结合等边三角形的性质，在R3ABD中，由正弦函数

的定义及特殊锐角三角函数值可求出AD的长；

(2)线段EF是垂直于BC边的等积垂分线段，设EF=x,作AHLBC于H,在RtAABH中，根据含

30。角直角三角形的性质得AH=4,BH=4V3,利用三角形的面积计算公式算出△ABC的面积，进而根据

等积垂分线段的定义可得△BEF的面积，结合三角形面积计算公式建立方程，求解即可；

(3)分类讨论：①如图3-1中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H,作FG_LBH于

G,设DE=x,在RSABC中，根据勾股定理算出BD的长，易得EH〃AB,判断出△DEHsADAB,

由相似三角形对应边成比例可用含x的式子表示出EH、DH,进而表示出BH,由HL判断出

RtAABD^RtACBD,得NABD=NDBC,由平行线的性质得/FHB=/HBA,则/FHB=NFBH,由等

角对等边得FH=FB,根据等腰三角形的三线合一得HG=GB=3^~^x,判断出△FGBs^DAB,由

相似三角形对应边成比例得FG=3总产,BF^FH=15-5%,进而表示出EF,推出ADEH的面积

=ABHF的面积，据此建立方程，求解即可得出x的值，从而求出EF的长；②如图3-2中，当线段EF

是等积垂分线段时，设EF交BD于H,作EGLBD于G,设FH=y,则BF=2y,BH=0;由平行线

的性质得NADH=NEHD,结合ADB=NBDC得NEDH=NEHD,由等角对等边得DE=EH,根据等腰三

角形的三线合一得DG=GH=吗也，由正切函数的定义得tan/EDG=器=器=2,据此表示

出EG、EH、EF,△DEH的面积=△BHF的面积，据此建立方程，求解即可得出x的值，从而求出EF

的长，综上即可得出答案.

24.【答案】⑴90。+?

(2)证明：如图1所示，连接3/,

丁点I是△43。的内心，

C.^BAI=/.IAC,乙ABI=LIBC,

:,品=ETC,

J.^BAI=乙CBD,

\'AABI+ABAI=乙BID,4IBC+乙CBD=乙IBD,

:.乙BID=乙IBD,

：.BD=DI；

(3)解：因为的=力3所以点D为品1的中点，故点D是一个定点.

由(1)的结论3。=。/,可知，点I在以点D为圆心，B0长为半径的圆上运动，所以当点I,O,D三

点共线时，/。取最小值.

如图2所示，此时4。为O。的直径，且4D为BC的垂直平分线，乙CBD=^EAC=4BAE=1ABAC=

a

2'

■:BC=6

i

:・BE=CE=^BC=3

39

3X-=-

在Rt△BED中,DE=BE•tanzCBD=BE.ta畤二44

DI=BD=VDF2+BE2=今

在中，AE=tanzBXE==J=4

24

g2s

^AD=DE+4E*+4=*

，0D=*D=等

故/。的最小值=。/-0。=竽一笄=焉

（4）AB=2遍或4百时，A2BE为等腰三角形

【知识点】等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角

形

【解析】【解答】解：（1）连接BLCL

二•点1是4ABC的内心

J.^BAI=ZMC,乙ABI=LIBC,乙ACI=^ECI

11n

:•乙BIC=180°-乙IBC-乙ICB=180°-(zXBC+乙ACB)=180°-(180°-a)=90°+全

故答案为：90。+；

(4)VtanJ=

：.a=60°

1ex

：.^BAE=乙CAE=^BAC=^=30°

分别连接OB,OD,记OD与BC相交于点M,

丁郎=ETC,BC=6

1

/.OD1BC,BM=CM=考BC=3,乙BOD=2/.CAE=60°

△B0D是等边三角形

同(2)可求得DM=8，OB=OD=BD=2y/3,

图3

止匕时ZBEA=Z.BAE=30°乙CBD=Z-CAE=30°

:.乙CED=乙BEA=30°

而ZCED=乙CBD+乙BDA=30°+矛盾，故止匕种情况不成立.

②AB=AE,如图4所示，过点E作EHLBD,交BD于点H,过点A作ANLBC,交BC于点N,

A

HD

图4

止匕时ZB4E=30°,^ABE=乙AEB=75°,△ANEfDME

:.乙CBD=ACAE=30°,乙CED=AAEB=75°

:.乙EDB=MED-乙CBD=45°

设DH=x,则EH=x,BH=V3x

•；BH+DH=BD=2V3

.,.V3x+x=2A/3,

解得尤=3-V3

，BE=2EH=6-2V3,DE=y[2EH=3V2-V6

1

；.EM=BM-BE=2V3-3,NE=^BE=3-皆

VAANEs^DME

.NE_AEBn3-V3_AE

""EM=DE，12V3-3-372-76

解得，AE=2>/6

：.AB=AE=2V6

③BE=AE,如图5所示，

此时NEB4=乙BAE=30°,

•.•△BOC是等边三角形，0D1BC

:.乙EBO=30°=AEBA

...点A,0,B三点共线

.•.2B为。。的直径

：.^ADB=90°

•••AB=2BD=4V3

综上所述，ZB=2巡或4遮时，AZBE为等腰三角形.

【分析】(1)连接BLCL由三角形内心的定义得NBAI=NIAC,ZABI=ZIBC,ZACI=ZECL进而

根据三角形的内角和定理即可解决此题；

(2)由三角形内心的定义得/BAI=NIAC,ZABI=ZIBC,根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得

能=沅，由等弧所对的圆周角相等得NBAI=NCBD,进而根据三角形外角相等及角的和差可得

ZBID=ZIBD,由等角对等边得BD=DI；

(3)由的=叱，得点D为此的中点，故点D是一个定点；由(1)的结论BD=DI,可知，点I在

以点D为圆心，BD长为半径的圆上运动，所以当点I,O,D三点共线时，10取最小值；此时AD为

。。的直径，且AD为BC的垂直平分线，ZCBD=ZEAC=ZBAE=|ZBAC=Ja,由垂径定理得

BE=CE=3,在RtAABE中，由正切函数定义得DE=BE•tan/CB。=BE•tan与=3X擀=掾，由勾股定

1rBEBE

理算出D/=BD=浮在RtAABE中，由正切函数定义得4E=tanNBAE=而词=%进而算出AD、

0D,最后由DI-0D算出10的最小值；

(4)由特殊锐角三角函数值求得a=60。，进而可求得NBAE=NCAE=30。，连接OB,0D,记OD与

BC相交于点M,由垂径定理得ODLBC,BM=CM=3,由圆周角定理得/BOD=2NCAE=60。，推出

△BOD是等边三角形，同(2)可求得DM=V3,OB=OD=BD=2^3,分三种情况解决此题：

①AB=EB,由等边对等角得NBAE=/BEA=30。，由圆周角定理的NCBD=NCAE=30。，故

ZCED=ZBEA=30°,而NCED=NCBD+NBDA=3(T+NBDA矛盾，故此种情况不成立；

②AB=AE,如图4所示，过点E作EHLBD,交BD于点H,过点A作ANLBC,交BC于点N,此时

ZBAE=30°,ZABE=ZAEB=75°,△ANE(^ADME,得NCBD=NCAE=30°,ZCED=ZAEB=75°,贝ij

ZEDB=45°,设DH=x,贝I]EH=x,BH=V3x,由BH+DH=BD建立方程，求解得x的值，进而可得出

BE、DE、EM、NE的长，由相似三角形对应边成比例建立方程可得AE的长，从而得出AB的长；

③BE=AE,此时NEBA=NBAE=30。，由等边三角形的三线合一得NEBO=NEBA=30。，故点A、0、B

三点共线，，AB是圆。的直径，由直径所对的圆周角是直角得NADB=90。，进而根据含30。角直角三角

形的性质可求出AB的长.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：42分

客观题（占比）21.0(50.0%)

分值分布

主观题（占比）21.0(50.0%)

客观题（占比）11(45.8%)

题量分布

主观题（占比）13(54.2%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题6(25.0%)6.0(14.3%)

解答题8(33.3%)16.0(38.1%)

单选题10(41.7%)20.0(47.6%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(41.7%)

2容易(45.8%)

3困难(12.5%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1科学记数法表示大于10的数2.0(4.8%)3

2二次函数图象上点的坐标特征2.0(4.8%)19

3三角形的中位线定理2.0(4.8%)7

4解一元一次不等式组2.0(4.8%)17

5用样本估计总体2.0(4.8%)20

6坐标与图形性质1.0(2.4%)15

7矩形的性质4.0(9.5%)15,16,18

8解直角三角形的其他实际应用2.0(4.8%)21

9