北京市丰台区2023-2024学年高三年级下册综合练习（一）数学试题（含答案解析）

北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习（一）数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={小2一2%<（）},B={x|x-l>0},则AD6=（）

A.{x|x>01B.{x|O<x<l!C.x>1}D.{x|l<x<2}

2.已知公差为d的等差数列{为}满足：%-2%=1,且。2=。，则2=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.已知双曲线C:0-/=1((z>0)的离心率为则。=()

a22

「V2

A.2B.V2X•D

2-?

）的展开式中，

4.在二项式（丁-25元的系数为（）

X

A.-80B.-40C.40D.80

5.已知向量.，6满足6=b=Xa(%£R),且〃必=1，则几=（)

1

A.-B-1C.2D.4

4

6.按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和8系列，其中A系列以A0,加，.…等来

标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：

①AO规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1:0;

②将Ai（i=0,1,,9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为A（i+1）规格纸张（如

某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张

40张，>12规格纸张10张，加规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张

的张数为（）

A.6B.7C.8D.9

7.在平面直角坐标系xQy中，直线/:办+外=1上有且仅有一点尸，使|。尸|=1,则直线

/被圆C:'+>2=4截得的弦长为（）

A.1B.73C.2D.26

8.已知函数〃x）=sin（2x+T，则“a=1+eZ）”是“/（x+a）是偶函数，且

/（X-a）是奇函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个

“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多

面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在

同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论：

①棱长为0;

②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；

③表面积为S=12+4石；

④外接球的体积为V=4辰.

其中所有正确结论的序号是（）

试卷第2页，共6页

n=2k,%wN

10.已知数列｛4｝满足4+i=2则（）

“〃；（n=2k-L左EN*）,

A.当4<。时，｛%｝为递增数列，且存在常数">0,使得见<M恒成立

B.当6>1时，｛%｝为递减数列，且存在常数河>0,使得4恒成立

C.当0<%<1时，存在正整数绯，当心乂时，见-；〈焉

D.当。<%<1时，对于任意正整数N。，存在〃>N。，使得见一；>看

二、填空题

l+2i

11.计算

3-4i

jr

12.在［ABC中，若6=5,B=-,COSA=，则4=

45

13.已知产是抛物线V=4x的焦点，AB是该抛物线上的两点，|AF|+忸尸|=8,则线

段AB的中点到y轴的距离为

14.已知函数/（x）具有下列性质：

①当王w[0,+oo）时，都有/（玉+/）=/（%）+"々）+1；

②在区间（。,+功上，“X）单调递增；

③“X）是偶函数.

则/（0）=;函数f（x）可能的一个解析式为了（"=.

15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃

烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度

时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个九级火箭，在第〃级火箭

的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为v=31n再~:卜2、1c—;,

（9+%）（9+%）（9+*

mp+£m,

其中q=--------1-------（i=1,2,♦,n）.

mp+^mj-mi

j=i

注：表示人造天体质量，吗表示第j（/=1，2,•,”）级火箭结构和燃料的总质量.

给出下列三个结论:

①qgan<1-

②当〃=1时，v<31nlO；

③当〃=2时，若v=121n2,则J4的26.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.如图，在直三棱柱ABC-42cl中，C4=CB=CG=2,。为A8中点.

⑴求证：4£//平面8《。；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求二面角B-B,C-D的余弦值.

条件①：BC1AC1；

条件②：

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17.已知函数/（无）=6sintyxcosox-sin?（yx+；（ty>0）.

（1）若0=2,求的值；

⑵若〃x）在区间上单调递减，小曰=°，求0的值.

18.某医学小组为了比较白鼠注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健

康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A,第

2组注射药物8试验结果如下表所示.

疱疹面积（单位：mm2）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

第1组（只）34120

第2组（只）13231

试卷第4页，共6页

(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面

积均小于60mm2的概率；

(2)从两组皮肤疱疹面积在［60,80)区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中

被抽中白鼠只数X的分布列和数学期望E(X);

(3)用“盘=0”表示第左组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在［30,50)区间内，“蔡=1”表示

第七组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在［50,80)区间内(左=1,2),写出方差。侑)，

。低)的大小关系.(结论不要求证明)

22

19.已知椭圆氏=+与=1(。>6>0)的焦距为4立，以椭圆E的四个顶点为顶点的四

a'b

边形的周长为16.

(1)求椭圆E的标准方程；

⑵过点S(0,l)的直线/交椭圆E于尸，。两点，线段PQ的中点为是否存在定点。，

DM1…

使得\胃\=5?若存在，求出。的坐标；若不存在，请说明理由.

20.已知函数〃x)=e”+ln(x+l)-x,曲线C:y=在点(飞,/伍))处的切线为

l:y=g(x),记、(x)=/(x)-g(x).

(1)当毛=。时，求切线/的方程；

⑵在(1)的条件下，求函数的零点并证明x〃(x)20；

(3)当毛NO时，直接写出函数/z(x)的零点个数.(结论不要求证明)

21.已知集合M"={xeN*k<2”}("eN,"24),若存在数阵T=::满

足：

①{4,知…,见}J{4也，，b"}=M"；

②a「bk=k(k=1,2,,n).

则称集合M”为“好集合，，，并称数阵7为此,的一个“好数阵”.

xyz6

(1)己知数阵7=r.,c是加4的一个“好数阵”，试写出X,九Z,W的值；

7w12

⑵若集合"”为"好集合”，证明：集合"”的“好数阵”必有偶数个;

(3)判断峪(〃=5,6)是否为“好集合”.若是，求出满足条件〃{%%.•,叫的所有“好数

阵“；若不是，说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】

解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.

【详解】因为A=一二{x|2},5={乂％—1＞0}={%„},

所以=.

故选：A.

2.C

【分析】

根据等差数列通项公式直接求解即可.

【解1%—2%=q+4d—2（%+2d）——q=],/.％=—1,

..d=622—Cly-0—（—1）=1.

故选：C.

3.B

【分析】

根据双曲线方程求出匕、。，再由离心率公式计算可得.

【详解】双曲线C:£-y2=i（。＞。）中6=1,所以c=77W，

a

则离心率e=£=五七1=如，解得〃=2,所以°=应（负值舍去）.

aa2

故选：B

4.A

【分析】根据二项展开式的通项，可得（+|=（-2＞《龙回"，令「=3,即可求得x的系数，得

到答案.

【详解】由题意，二项式（尤2--）5的展开式的通项为*=q（x2）5-r（--）r=（-2）fc;?°-3r,

XX

令r=3,可得7；=（-2）3（7江=-80尤，

即展开式中x的系数为-80,故选A.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

答案第1页，共23页

5.D

【分析】

用X表示出向量。的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案.

【详解】a-b=l,

，QW0，

又石=痴石=（石,1）,

.*./1=4.

故选：D.

6.C

【分析】设一张A0规格纸张的面积为x,从而得到一张⑷、丝、A4纸的面积，再求出所

需要的纸的总面积，即可判断.

【详解】依题意1张A0规格纸张可以裁剪出2张⑷，或4张9或16张A4,

设一张A0规格纸张的面积为无，

则一张加规格纸张的面积为1%,

2

一张A2规格纸张的面积为

一张A4规格纸张的面积为J尤，

16

依题意总共需要的纸张的面积为4。、7%+10、7%+5乂彳x=7无+=x,

所以至少需要提供8张AO规格纸张，

其中将3张A0裁出5张川和2张A2；将2张40裁出8张A2；

将剩下的3张A0裁出3x16=48张A4,

即共可以裁出5张加、10张A2、48张A4.

故选：C

7.D

【分析】

利用垂径定理直接求解即可.

答案第2页，共23页

【详解】由题意知：坐标原点。到直线/的距离4=1；

圆C的圆心为0(0,0),半径r=2,二./被圆C截得的弦长为2尸7=26.

故选：D.

8.A

【分析】首先求出/(x+a)、/(x-c)的解析式，再根据正弦函数的性质求出使/(x+a)是

偶函数且/(X-。)是奇函数时a的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为/(x)=sin12x+：j,贝l]〃x+a)=sin(2x+2a+T，

/(x-a)=sin12x-2a+：),

若/(x-c)是奇函数，则一2夕+?=勺兀人eZ,解得a=J一”,《eZ,

482

若/(x+a)是偶函数，则2a+m=1+&&&eZ,解得a=J+竺,&eZ,

4282

所以若/(x+a)是偶函数且/(x-c)是奇函数，则a=g+”次eZ,

o2

所以由a=9+E(ZeZ)推得出〃x+a)是偶函数，且"x-a)是奇函数，故充分性成立;

由/(x+a)是偶函数，且a)是奇函数推不出a=g+E(左eZ),故必要性不成立，

O

所以“a=g+航信eZ)”是“/(x+a)是偶函数，且〃x-a)是奇函数”的充分不必要条件.

O

故选：A

9.B

【分析】

注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断①正确；可以找到

一对位于正方形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到②错误；根据该几何体每种面(正

三角形和正方形)各自的数量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出③正确;

直接证明正方形的中心到该几何体每个顶点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球

的体积，得到④错误.这就得到全部正确的结论是①③，从而选B.

【详解】如图所示：

答案第3页，共23页

该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为

正方体边长的一半，

故该等腰直角三角形的直角边长度为1,从而该几何体的每条棱的长度都是近，①正确；

若4%人与为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，4与，42为该几何

体位于正方体的同一个面的两条棱，

则4星_1_42，a瓦平行于人与，A瓦，42异面，所以44,42异面，A5i1-

这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，②错误；

该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，边长均为夜,故每个正方

形的面积都是2,

每个正三角形的面积都是走，故表面积为S=6・2+8・占=12+4/，③正确；

22

设正方体的中心为。，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点，

故。到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的等倍，即应.

这意味着以。为球心，半径为0的球是该几何体的外接球，从而外接球的体积

答案第4页，共23页

旷=3%(0/=半兀,④错误.

从而全部正确的结论是①③.

故选：B.

10.D

【分析】

直接构造反例即可说明A和B错误；然后证明引理：当0</<1时，对任意的正整数N。,

都存在〃〉N。，使得乙一；2击.最后由该引理推出C错误，D正确.

【详解】当q=一;时，%="=；，/=§=:<；=%，所以此时｛%｝不是递增数歹U，

乙乙T-乙O>

A错误；

当时，%=幺?=。，4=《=，，所以此时｛4｝不是递减

224282loo

数列，B错误；

我们证明以下引理：当。<%<1时，对任意的正整数时,都存在〃〉N。，使得。“一^2焉・

若该引理成立，则它有两个直接的推论：

①存在。<4<1,使得对任意的正整数N。，都存在w>N0,使得凡一gw$0；

②当0<“<1时，对任意的正整数黑，都存在〃〉黑，使得见一；>康.

然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确.

最后，我们来证明引理:

当0<4<1时，对任意确定的正整数N。：

1111]则%」，

如果「仁2-100,2+100j，

1111)则时广竽或仁2=F

如果阳川e/一向^+砺)

此时若心卡=卓，则

a2+100」+1一111_1fl1Vl1;

3224200242002(4200J2100

答案第5页，共23页

a二―一而+；31」।11一1"11)Ji1•

N0.2224200242002400J2100

无论哪种情况,都有a为+2代焉，;+焉］,从而即。+2-：2焉.

\4乙AUUJ乙AUU

这说明。刈+1J焉或“No+2-;〜彳L，所以可以选取〃£{乂+1,乂+2},使得

乙LUU'LUU

2焉.这就说明存在"〉M,使得422.

这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】最关键的地方在于引理：当0</<1时，对任意的正整数线，都存在〃>乂，使

得4-g士焉.这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C和D选项.

,,12.

11.——+—1

55

【分析】利用复数的除法公式，即可计算结果.

l+2i（l+2i）（3+4i）-5+10i

【详解】

3-4i-（3-4i）（3+4i）2555

19

故答案为：i

12.2M

【分析】由cosA求出sinA,根据正弦定理求解即可.

5

【详解】cosA力,

5

一二2

sinA=vl-cosA=亚----

5

a_b

由正弦定理可得:

sinAsinB

a_5

即2A/5一V|,

亏T

解得：a=25

故答案为：2M

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，属于容易题.

13.3

答案第6页，共23页

【分析】

根据抛物线定义可得再+%,结合中点坐标公式可求得结果.

【详解】由抛物线方程知：F(1,O)；

设4(%,%),3®,丫2),由抛物线定义知：|4同+忸司=玉+1+9+1=8,，%+无2=6,

.•・线段的中点到y轴的距离为妾三=3.

2

故答案为：3.

14.-1/(x)=l-x|-l(答案不唯一)

【分析】

令西=马=。即可求出了(0)，再找到符合题意的函数解析式(一个)，然后一一验证即可.

【详解】因为当看,%e[0,+℃)时,都有〃为+%)=/(西)+/(々)+1,

令项=%=。可得〃0)=〃0)+/(0)+1,解得〃0)=-1,

不妨令/(x)=U|T，xeR,

..fx—l,x>0/、/、

则〃x)=W-l=_J,所以“X)在(o,+8)上单调递增，满足②；

I人人<U

又/(-x)=|-x|-l=|尤]-l=/(x),所以/(x)为偶函数，满足③；

当％e[0,+co)时y(^+x2)=|xl+x2|-l=x1+x2-l,

/(%)=㈤-1=%T，/(x,)=|^|-l=x2-l,

所以/(%+%)=/(%)+/仁)+1，满足①.

故答案为：-1；/(x)=1幻-1(答案不唯一)

15.②③

【分析】

只需证明每个6都大于1即可判断①错误；直接考虑九=1时v的表达式即可判断②正确；

〃=2时，将条件v=121n2转化为关于％，生的等式，再得到一个不等关系，即可证明

Jq%26,推出③正确.

答案第7页，共23页

【详解】首先，对，=1,2,…有£叫2叫，故啊+£rrij-mi>mp>0,%+2%>%>0,

j=ij=ij=i

这推出4>0.

j=iJ=i

m+工祖.m+£祖.

由于q=——~~-—>P-LiJ=l（/=1,2,故每个G都大于1,从而a„>1,

根〃+Zrrij-mt加〃+£my

①错误;

由于当〃=1时，有v=31n^-L<31nL=31nl0,故②正确；

9+%ax

由于当"=2时,XI%[：；；鼠）,若用⑵n2,则3皿消/雨=121n2

1100a^-八i,100a«一

HTfnln7-----~~-9=41n2=lnl6,故--------k9~~r=16

MIIIJ（9+q）（9+〃2）取（9+〃7J7（9+〃2）

这意味着1。。的2=16（9+4）（9+生），即254%=4（9+6）（9+%），从而我们有

2501a2=4（9+q）（9+%）

—4（81+%/+9（a[+”2））

=44%+728Z+324.等号成立当且仅当%=%，

故25%%-4q%+72,%〃2+324,即216为一72doia?-32420,即7%生一27a1a2-108>0,

分解因式可得-6）（78%+18）2。，再由7屈%+18>0即知册％—620,故

《a1a226,③正确.

故答案为：②③.

【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式256%=4（9+6）（9+生），结合基

本不等式即可顺利得解.

16.（1）证明过程见解析

（2）无论选条件①还是选条件②，二面角3-80-。的余弦值都是在

3

【分析】（1）连接BG交BC于点E，连接DE，由中位线定理得AC"/DE,结合线面平行

的判定定理即可得证;

答案第8页，共23页

(2)首先证明无论选条件①还是选条件②，都有C4,C5CG两两互相垂直，建立适当的空

间直角坐标系，求出平面CB与、平面的法向量，注意到二面角是锐角，结

合向量夹角的坐标公式即可求解.

【详解】(1)

连接BG交与C于点E,连接OE,

因为四边形BCG与为平行四边形，E为它的对角线BG、B©交点,

所以点E是8G的中点，

因为。是A3中点，

所以。E是.ABG的中位线，

所以AQ//DE,

因为DEu平面CDB],AC1<z平面CDBX,

所以AC"/平面8。。；

(2)若选条件①：BC±ACt,

因为CG_L底面ABC,CA,CBu底面ABC,

所以CG_LCA,CC|_LC8,

又因为BC,AC”且A£cCG=£,AC1,C£u面ACGA,

所以3C7.面ACG4,

而ACu面ACC|A,

所以BC1AC,

即C4,CB,CG两两互相垂直，

若选条件②：BQ=«,

答案第9页，共23页

因为耳8上面ABC,BDu面ABC,

所以

因为用£>=n，BB]=C€\=2,

所以BD=J6—4=,

因为点£>是AB中点，

所以42=22。=2夜，

因为G4=CB=2,

所以C^+C*=AB?,即C4_LCB,

由前面分析可知CG工CA,CCX±CB,

所以CA,CB,CQ两两互相垂直，

综上，无论选条件①还是选条件②，都有C4,CB,CG两两互相垂直，

故以点C为原点，CA,CB,CCX所在直线分别为龙,Mz轴建立如图所示的空间直角坐标系:

由题意网0,2,0）,四（0,2,2）,C（0,0,0）,0（14,0）,

所以C3=(O,2,O),CA=(O,2,2),CD=(l,l,O),

设平面CBBX、平面CDBX的法向量分别为4=（%,%,zj,%=（w，必，z?），

CB%=0CD-=02%=0x+y=0

从而有，,也就是有22

2yl+2z1二0'2y2+2Z=0'

。耳々=0CB1-n2=02

答案第10页，共23页

—

令x1=x2=1,解得%=Z[=0,y2=1,z2=1,

所以可取平面CBBi、平面CDB｛的法向量分别为4=(1,0,0),%=,

显然二面角8-用。-。是锐角，

所以二面角B-BtC-D的余弦值为卜os(%,%，=j\.

17.⑴《；

⑵1.

【分析】

JT

⑴直接代入①=2及%=9计算即可；

6

(2)化简兀0解析式，根据/(尤)在区间-,y上单调递减可知该区间长度小于或等于五尤)的

半个周期，再结合。＞0可得。的值.

【详解】(1)：0=2,

1311

--+---

2X4-22

(2)/(x)=>/3sm<w.xcos®x-sin2®x+—=—sin2twx-----^^^+万=sin12ftzx+?

•・"(X)在区间上单调递减,

/.0<a><3.

-+^-=far,GZBP0)=\-6k,

所以当左=0时，69=1.

此时/(x)=sin(2x+f,

当**4’故此时/(%)单调递减’符合题意.

6262622

综上，CD=\.

答案第11页，共23页

18.⑴空

25

（2）分布列见解析,E（X）=2

（3）。侑）＜。©）

【分析】

（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意X的可能取值为1、2、3,求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望;

（3）分别求出P值=0），「4=1），P低=。），P倡=1），从而求出西1、即可比

较.

【详解】⑴记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2为事件C,

Q

其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60mm2的概率为历，

从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60mm2的概率为白，

所以P（C）=*x9=L.

v7101025

（2）依题意X的可能取值为1、2、3,

I02o「()03

且P(X=1)=*=9尸(x=2)=*=/P(X=3)=岩1

^65

所以X的分布列为:

131

所以石(X)=lxy+2xy+3xM=2.

73

⑶依题意可得尸值=0)=历,尸体=1)=而,

所以第4)=0乂2+卜』=2,所以O借)=(0X—+fl-—X—=—,

'"101010(10J10110J101000

46

又产值=0)=而，P但=1)=历，

所以E©)=0x臼+1x9=9,

',101010

答案第12页，共23页

2

x±1-A6\6240210

所以呜）=04+x__=____>____

1010110—10001000

所以。/）<。依）.

19.（1）片+亡=1；

124

（2）存在，0（0-2）.

【分析】

（1）根据焦距可求c,根据已知四边形周长及a、b、c的关系可求出a、b,从而可求椭圆标准

方程；

⑵由题可知，若存在定点。，使得瑞=3，等价于以尸。为直径的圆恒过定点。.从而只

需从直线/斜率不存着时入手求出该定点Q,斜率存在时验算DP£>Q=0即可.

4doi+廿=16,

【详解】（1）由题意得2c=40，解得='

2,22[b-=4.

a=b+c.i

22

椭圆E的方程为上+匕=1.

124

（2）若存在定点。，使得耨=!，等价于以PQ为直径的圆恒过定点。.

当直线I的斜率不存在时，PQ为直径的圆的方程为尤2+y2=4①,

当直线/的斜率为o时，令y=i,得X=±3,

因此尸Q为直径的圆的方程为Y+（y一1）2=9②.

[x=o

联立①②，得「=_2猜测点D的坐标为（。,-2）.

设直线/的方程为了=丘+1,

y=kx+l,

由y2得（3左2+1）%2+6履-9=°.

—।—=L

1124

设P（4X），，％），则为+尤2=-^^1，网”2=-爰1,

答案第13页，共23页

*e*OPOQ=(石,y+2)(%2，%+2)

=%%+(%+2)(必+2)

=%X2+(依+3)(AX2+3)

=(左之+1)%%2+3左(芯+/)+9

=(产+1)[-：]+3«-T]

+9

\\3k-+1)(3k2+1)

综上，存在定点。(0,-2),使得耨=；.

20.(l)y=x+l

(2)函数力(%)有唯一零点x=0,证明过程见解析

(3)2

【分析】(1)只需分别求出/(O)J'(。)即可得解；

(2)首先有/?(x)=e，+ln(尤+1)—2%—1,=令

m(x)=(^+l)ex-2x-l,(x>-l),我们可以通过构造导数来说明」(x)>0,即〃(x)>0,这

表明了从“单调递增，注意到〃(o)=o,由此即可进一步得证；

(3)首先我们可以连续求导说明函数广(X)在上递减，在［。,+巧上递增.其次

,

/Z(A:)=/(X)-/(^0)(X-X0)-/(X0),故〃("=广(%)-尸(尤0).进一步有(%)=0,

然后分％>0,-1<x0<0两种情况分类讨论即可求解.

【详解】⑴当飞=。时,/伉)="。)=1,

而「(x)=e，+±T,所以((0)=1,

从而切线方程为y-i=x-o,也就是y=x+L

(2)由题意力(x)=/(x)—力(％)=e*+ln(x+l)-x-(x+l)=ex+ln(x+l)-2x-l,

所以//(尤)=^+告_2=x+l)e%-2x-l

x+1

答案第14页，共23页

令机(x)=(x+l)e，-2x-l,贝|加(％)=(x+2)e*—2,

当一l<x<0时，1<%+2<2,0<ex<1,

所以(％+2)eX<2e“<2x1=2,即m

所以当一1<1<0时，加(X)单调递减，m(x)>m(O)=O,

当x>0时，%+2>2,e">l,

所以(x+2)e">2ex>2x1=2,即加⑺>0,

所以当%>0时，加(％)单调递增，m(x)>m(O)=O,

综上，机(x)20恒成立，也就是//(x)20恒成立，

所以/i(x)在(T+。)上单调递增,

又因为可0)=0,故函数可力有唯一零点x=0,

且当一1<%<0时，/z(x)<0,当x>0时，/z(x)>0；

因止匕当一1<%<0时，x/z(x)>0,当x>0时，xh^x)>Q,

故x/z(x"0；

(3)对〃个实数4,。2,…，4，定义max(%,〃2,…M〃)和min(6,出，…必)分别为4,。2,…，/中

最大的一个和最小的一个.

现在，=e，+ln(x+l)—%,故/'(%)=e“H———1,

令r(x)=9(x),再对9(x)求导一次得到“⑴=广

当—1<%<0时，"(%)=ex——夕⑺单调递减；

IJi十1IIU十1I

当x>0时，^W=ex--J-r>e0--^-T=1-1=0,夕⑴单调递增.

I人ILII\JILI

故函数r(x)在(TO］上递减，在［o,+8)上递增.

由于曲线y=/(x)在&,〃玉))处的切线斜率为/(%)=e&+LT,

X。+1

答案第15页，共23页

故该切线的方程为y=/'(%)(了-5)+/(%)，从而8(同=/'(尤0乂％-尤0)+/(%0).

现在我们有〃(x)=/(x)-〃%)@-二)一〃通),故〃(x)=>f(x)--㈤.

首先我们有人(%)=/(%)-/'(动(％-通)-/(%)=/(%)-/(%)=0,

〃(%)=/'伉)一/'(%)=。，故&㈤="(%)=0.

已证函数广(力在(-1,0］上递减，在［。,+8)上递增，下面我们分情况讨论：

当％0>。时：

由于

J-1+—、=e』(党+-------L---------1>--------\--------1=——J-------］=1+/5)|>/(

।I,J1

12+(5J_1+—1—+1T+—1—+1——八。”，

2+|田)广2+/优)广2+『(*|

、/、

1____

故…五--(无。)>0,

『(％)L

同时由r(x)在［o,+8)上递增,知〃(o)=r(o)-r(毛)＜。，而

I1111c

-1+——i―^-<-1+-=一一<0

2+,(元。)|22

/、

1

故〃(尤)在-1+-0上必存在一个零点，记该零点为"，

2

7

则有〃(“)=0,且―1+2+,，GJ广〃+°，从而-

由于函数/'(x)在(-1,0］上递减,在［0,+功上递增，

当一1cxe〃时，〃(x)=r(x)—/，小)>/'(〃)-/'(5)=〃(“)=。；

当时，〃(x)=r(x)-r(M)<r(a)—/'(%)=//(a)=0；

当0(尤<x°时，〃(x)=/<x)_r(xo)</'(%)-/'(%)=0；

当x>5时，〃>广小)_/1%)=0.

这表明/z(x)在(%X。)上递减，在(T")和5,+8)上各自递增.

答案第16页，共23页

由于//（力在上递增，故从力在（"1,"）上至多有一个零点，而

M”）＞网为）=/（/）-"与）=o.

同时，当-l<x<0时,有/，(%)=〃尤)-/'(%0)(了一/)-/(玄)

l,,

=e+ln(x+l)-(l+/(x0))x+x0/(x0)-/(x0)

<l+ln(x+l)+|(l+/+/尸(无。卜/伍)Vin(尤+1)+](1+((尤o))|+|l+V〈尤0)一

这表明当+时，有

ff

/z(x)<In(x+1)+1(1+/(x0))|+11+x0/(x0)-/(x0)|

WIn洲+1(1+/伍))卜[1+"%)|

frzf

=-(1(1+/(x0))|+11+xof(x0)-f(x0)|)+1(1+f(x0))|+11+xof(x0)-/(x0)|=0.

故h(x)必有一个零点t,且min[-1+忡M)<f<〃,

已证h(x)在(-1,M)上至多有一个零点，这就说明h(x)在(-1,M)上恰有一个零点.

然后，当xN",xwxo时，由于/©）在（〃,Xo）上递减，在5,+力）上递增，故/，（%）＞%（%）=0.

而九优）=0,这说明h（x）在\u,+oo）上恰有一个零点.

根据以上的讨论，知“（X）恰有2个零点；

当-1<无0<0时:

由于

-网2+/（%）|）机咽〃附）+也（2+/卜出-1=2+/（%）/1＞,缶）口缶）

故/z'（ln（2+|尸（%）/=/（如（2+|/小）|）卜尸（与）＞0,

同时由广⑺在（T0］上递减，知//（0）=/'（0）-/'（无。）＜0,而ln（2+/（Xo）D21n2＞O,

故〃（x）在e,In（2+|（⑷J）上必存在一个零点，记该零点为v,

答案第17页，共23页

则有〃3)=0,且0<v<ln(2+|/伍))，从而,>0.

由于函数尸(力在(T0]上递减，在[0,+巧上递增，T</<0<n,

当-1℃0时，H(x)=f'(x)-f'(x0)>f\x0)-f'(x0)=G-

当x0<x<。时，=/(/)<广(%)一广(%)=0；

当OVxvv时,(X)=f(x)(v)-f'(x0)=h(v)=G-,

当x>v时，/z，(x)=/，(x)-/,(^)>/,(v)-7,(^,)=/z,(v)=O.

这表明/z(x)在(尤0，丫)上递减，在(-1,毛)和(匕+e)上各自递增.

由于//(“在(％+力)上递增，故//(%)在(v,+e)上至多有一个零点，

而/心)<%(%)=〃%)-〃飞)=0.

同时,当x>0时，有：/i(x)=〃x)—/，a)(x—飞)一/5)

T,,

=e+ln(x+l)-(l+/(x0))x+x0/(x0)-/(x0)

,,J:,,

>e"-(l+f(xo))x+xof(xo)-f(x0)>e-|l+/(x0)|x-|x0/(x0)-/(x0)|

故"(x)>e*-[1+以%)|x-生-伍)-/(%),

设〃(7)=e'_f,贝！|当f〉0时7/(r)=e'_l>0,

故〃«)在(0,+动上递增,所以当/>0时e'T=〃")>Z7(0)=l>0,即e'>"

x

所以当x>0时,有:h(x)>e-\l+f'(x0)\x-\xof(x0)-f(x0)|

x,,

=e-2|l+/(%0)||-|x0/(^)-/(x0)|

"-2|