高考数学重难点练习题（带答案）

高考数学重难点练习题（带答案）

学校：班级：姓名：考号：

一、单选题

1.满足等式｛O,l｝uX=｛尤eR,3=无｝的集合X共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.已知xwC,下列选项中不是方程三=1的根的是（）

A.1B.!+立iC.」+西D.」_且

222222

3.有一个正四棱台的油槽，可以装油152升.若油槽的上下底面边长分别为60cm和40cm,

则它的深度是（）

A.180cmB.80cmC.60cmD.30cm

4.已知向量也不共线，则“卜+可=何”是“。力的夹角为钝角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.下列函数中，最小正周期为万且图象关于原点对称的函数是（）

A.y=cos（2x+/1B.y=sin^xH-^

C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx

6.用数字0,123,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A.144个B.120个C.96个D.72个

7.若定义在R上的函数满足〃0）=-1,其导函数尸（力满足/'（x）>k>1,则下列结

论中一定错误的是（）

8.已知数列｛4｝的前一项和S"满足若存在左eN*,使得

以<矶4>C+i，则实数;I的取值范围是（）

A.(0,1)B.(-oo,0)u(l,+oo)

C.(1,+<»)D.(O,l)_(l,4w)

二、多选题

9.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢

发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量

位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车

年总产盘的比例）情况，则（）

2017~2022年我国新能源汽车年产量2017~2022年我国新能源汽车占比

（单位：万辆）（单位：%）

*25.6

zoun.

in.

2三一%5曾一

A.

UFkiiiii

2017年2018年2019年2020年2021年2022年2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐年增加

B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆

C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆

D.2019年我国汽车年总产量不低于2018年我国汽车年总产量

10.已知z为复数，设Z,iz在复平面上对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,

贝U（）

A.|OA|=|OB|B.OA±OC

c.|AC|=|BC|D.OB//AC

11.已知点A（-LO）,3（1。）点尸为圆C：丁+/_6尤一8y+17=0上的动点，贝U（）

A.4s面积的最小值为8-4血B.AP的最小值为2应

5兀

c.NPAB的最大值为rD..-475的最大值为8+4立

12.已知/（e）=cos4e+cos38,且用，％和4是在（。，兀）内的三个不同零点，则（）

A.1已烟©©}B.a+色+仇=冗

D.cosa+cos02+cos4=g

C.cos0xcos02cos03

三、填空题

答案第2页，共22页

13.编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上，每位座

位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为.

14.已知向量J,b满足卜|=2,恸=3和分6=0.设c=6-2o，则cos(a,c)=.

15.已知抛物线V=4尤的焦点为R点尸是其准线上一点，过点尸作PF的垂线，交y轴于

点A,线段AF交抛物线于点8若尸8平行于无轴，则AF的长度为.

16.直线x=t与曲线C|：y=—e'+依(aeR)及曲线CZ：y=片，+以分别交于点A,及曲线

G在A处的切线为4,曲线C?在8处的切线为4.若4,4相交于点C,则ABC面积的最小

值为.

四、解答题

17.已知函数〃尤)=Asin®尤+0)+2(4>0,2>0,。>0,|同<：)在一个周期内的图象如图所

示.

⑴求函数/(元)的表达式；

2

(2)把y=/(%)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的：(纵坐标不变),再把得到的图象向下

7T71

平移一个单位，再向左平移三个单位，得到函数y=g(x)的图象，若xe0,-,求函数

y=g(x)的值域.

18.已知数列｛凡｝,但｝满足卬=-2々=4,且｛叫是公差为1的等差数列，｛4+6.｝是公

比为2的等比数列.

(1)求｛%｝,也｝的通项公式；

(2)求｛同｝的前〃项和&

19.某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK,胜者晋级决赛，败者终止比

赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行

一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则

需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已

知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率

分别为:，J快问快答局获胜与平局的概率分别为抢答局获胜的概率为:，且各局比

赛相互独立.

(1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

(2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决

赛的概率.

答案第4页，共22页

20.如图，在四棱锥尸-ABCD中，侧棱PDJ_矩形ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,

作EFLPB交PB于点F,连接DEDF,BD,BE.

⑴证明：PBLDF；

■7T

(2)若尸£)=1,平面。£户与平面ABCD所成二面角的大小为w，求匕＞一以/的值.

21.已知耳卜布,0),外(卡,。)为双曲线C的焦点，点尸(2,-1)在C上.

⑴求C的方程；

(2)点A,8在C上，直线加，PB与y轴分别相交于M,N两点，点。在直线A8上，若。M

+ON=0,PQAB=O,是否存在定点T,使得|。71为定值？若有，请求出该定点及定值；若

没有，请说明理由.

22.已知函数/(x)=x+%sinx,其中0＜人＜1.

(1)设函数g(x)=g尤2-/(X),证明：

①g(x)有且仅有一个极小值点；

②记％是g(x)的唯一极小值点，则g(xo)＜-gxo;

(2)若左=1,直线/与曲线y=/(x)相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线

/的方程.

参考答案：

1.D

【分析】根据方程三=x的实数根可得集合，则{0,1}UX={0,1,-1},由集合的并集与元素

的关系即可得符合条件的所有集合X.

答案第6页，共22页

【详解】解：方程三=彳的实数根有x=O,x=l,x=-l,解集构成的集合为{0,1,-1}

即{O,l}uX={O,L-L},则符合该等式的集合*为乂={一1}X={-1,1}X={0,-l}

X={o,l,-1}

故这样的集合X共有4个.

故选：D.

2.B

【分析】利用因式分解与复数的性质求根即可.

【详解】因为尤3=1xeC

所以4—1=0,即（尤一1）（犬+尤+1）=。

解得x=］或x

222

故选项ACD中是方程d=l的根，B中不是.

故选：B

3.C

【分析】设出油槽的深度，再利用棱台的体积计算公式即可得解.

【详解】依题意，设油槽的深度为4cm

因为152升=152x1000cm3

油槽的上底面面积为60x60=3600cm2，下底面面积为40x40=1600cm2

所以由棱台的体积计算公式可得：

|（3600+73600x1600+1600）/z=152x1000,解得〃=60

所以油槽的深度为60cm

故选：C.

4.A

【分析】分别对命题的充分性和必要性进行判断即可得到答案.

【详解】充分性：因为+.=忖=>（。+6）=a=>a+b+2.a-b=a,向量a力不共线

所以2a必=-/<0，即。力的夹角为钝角，满足充分性.

必要性：若a力的夹角为120,。=1和忖=2

则(a+b)2=l+4+2xlx2x[-g]=3w所以不满足卜+6卜忖，不满足充分性.

所以“卜+6卜同”是“凡6的夹角为钝角”的充分不必要条件.

故选：A

5.A

【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可.

TT

【详解】解：尸cos(2x+!)=-sin2x,是奇函数，函数的周期为：n,满足题意，所以A

正确

JT

y=sin(2x+—)=cos2x,函数是偶函数，周期为：n,不满足题意，所以3不正确；

•rr

y=sin2x+cos2x=72sin(2x+—),函数是非奇非偶函数，周期为冗，所以。不正确；

y=sinx+cos尤=J^sin(x+1),函数是非奇非偶函数，周期为2TT,所以。不正确；

故选A.

考点：三角函数的性质.

6.B

【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数

字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数

字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原

理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案.

解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中

其中1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位

置上，有A43=24种情况，此时有3x24=72个

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位

置上，有A43=24种情况，此时有2x24=48个

共有72+48=120个.

故选B

考点：排列、组合及简单计数问题.

答案第8页，共22页

7.C

【详解】试题分析：令g(x)=/(x)-H,则g'(x)=/'("—%>0,因此

g(y^7)>g(。)=>/ki

>/(0)=>/>—7-l=--7,所以选C.

k-1K-lk-1

考点：利用导数研究不等式

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函

数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如r(x)<“x)构造go)=驾，

e

/'(X)+/(%)<0构造g(x)=e'f(x),xf\x)</(x)构造g(x)=小丑，xf'M+f(x)<。构造

X

g(x)=xf｛x｝等

8.A

+1,判断出数列｛%｝不单调，只需

【分析】利用an=S“-S,T求通项公式an=-

E<o,即可求得.

Z—1

［详解】因为数列｛%｝的前"项和sn满足S,,=久+w0,〃wN*)

所以当”=1时，有H=几％+1.4=1不合题意；所以解得：

1-Z

21

当“22时/=2a“-44i+L/lwl,解得：a„=---a,

A—1

2

、rL+X=丸

设%~~~4i+x),解得：x=-l,可得：an-l=---

X—1/L—1

所以｛%-1｝是公比为E，首项％-1=鼻的等比数列

A—11—X

n-1n

所以。〃-1，所以为=-+1.

n

经检验，an+1对n=l也成立.

若存在m,kwN*,使得ak<ak+l,am>a,%+1，则数列｛%｝不单调.

Q

只需E<0,则｛4｝正负项交替出现，符合题意，此时0<4<1.

71—1

当。时a„=-+1单调递增,不符合题意;

X—1

当时+1单调递减，不符合题意；

A—1—

而

综上所述：0<无<1.

故选：A

9.BC

【分析】根据我国新能源汽车年产量图可判断AB选项；计算出2018、2019、2022这三年

我国汽车年总产量，可判断CD选项.

【详解】对于A选项，由图可知，从2018年到2019年，我国新能源汽车年产量在下降，故

A错；

对于B选项，2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8-79.4=626.4万辆，故B

对；

对于C选项，2022年我国汽车年总产量约为£岩。2757万辆，故C对；

0.256

1242

对于D选项，2019年我国汽车年总产量为^=2587.5万辆

0.048

127

2018年我国汽车年总产量为-----名2822.22万辆

0.045

所以2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量，故D错.

故选：BC

10.AB

【分析】根据复数的几何意义、共轨复数、复数的乘法运算可以表示出A,B,C三点的坐

标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.

【详解】设z=a+历(a,beR):.A(a,Z?)

z=a-bi(^a,b&R)B(^a,-b)

iz=i(a+bi)=-Z7+而:.C

OA=(a,b),OB={a,-b^,OC=(-/>,a),AC=(-/>-a,a-b^,BC=(<-b-a,a+b^

答案第10页，共22页

对于Axla2+b2=y/a2+(-b)2|(?A|=|(?B|故选项A正确；

对于Ba(-b)+ba=O.-.OA±OC故选项B正确；

对于C|Ac|=+(°一6)2,|gc|=J(-b-a.+(a+b)~

当必HO时,。卜,4,故选项C错误；

于Da(a-b)-(-")(-b_4)=/_2ab_b~

°2-2必-62可以为零，也可以不为零，所以。8不一定平行于AC，故选项D错误.

故选:AB.

11.BCD

【分析】对于A,点P动到圆C的最低点M时，面积的最小值，利用三角形面积公

式；对于B,当点P动到R点时，AP取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C,

当针运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D,

利用平面向量数量积的几何意义进行求解.

【详解】x2+y2-6x-8y+17=0o(x-3)2+(y-4)2=8

圆C是以(3,4)为圆心，2挺为半径的圆.

对于A,面积的最小值为点尸动到圆C的最低点M时y.=4-272

冲-

S.PAB=-,yM—]x2x(4—2-\/2j—4—2s[2,故选项A错误；

对于B,连接AC交圆于R点，当点P动到R点时，AP取到最小值为

AC-RC=V(3+l)2+42-2>/2=2>/2,故选项B正确;

对于C,当AP运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为。

471

sin/CAQ噂=|^=g.SQ=”in/CAN喂-=1,:.ZCAN

44

:.ZPAB=ZCAQ+ZCAN=—,故选项C正确；

对于D,42丛尸=,耳・卜尸卜0$一242当点P动到S点时，取得最大值，

即AS在至上的投影42-AP=\AB\-\AP\-cos^PAB=,耳,,=2、（1+3+20）=8+4上

故选项D正确；

故选：BCD.

12.ACD

【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出4，%和％,即可判断选项A、B,将

TT9jr4-7TTT

3548$。28$4根据诱导公式化为。05：85号35;，分子分母同乘Sin；,结合倍角公式

9jr47T67r

即可判断C,将cosq+cosq+cosa通过诱导公式化为-cos年-cos学-cos?再将分子

分母同乘sin],结合积化和差公式进行化简即可判断D.

【详解】解：由题知4，%和%是cos4e+cos36=。的三个根

cos40+cos3。=0可化为cos40=-cos3。，BPcos4。=cos（兀+3。）

所以可得48=兀+38+2E或49+71+38=2祈keZ

解得9=兀+2配或夕=一女+竺^^eZ

77

因为。£（0,兀），所以。=兀+2也不成立

当。冶+洋,左eZ成立时，取％=1,解得e=/e（O,兀）

取左=2,解得e=与47re（O,7r）,取左=3,解得。=干57r€（0,兀）

取左=4,解得夕=兀2（0,兀）（舍）

回哼和。=5兀

故T

所以选项A正确;

9兀

因为〃+%+4=半工兀,所以选项B错误;

答案第12页，共22页

八.兀7i2兀4兀

2sin—cos—cos——cos——

7i2兀4兀7777

=cos—cos——cos——二

777

2sin-

7

2兀4兀_.4K4K

2sin—cos——cos——2sin——cos——

77777

..71

4sm—8s呜

7

71

.8兀c-I.兀

sin-sm三+兀-sin—

7_17J=71

8s呜8s呜8s呜"

故选项C正确;

7t3九5兀

而COS^+COS^2+cosqCOS—+COS---FCOS——

777

2兀4兀6兀

=-cos----cos-----cos——

777

.7i(2兀4兀6兀、

-sin—cos---FCOS---FCOS——

二7(777J

.71

sin—

7

.7i2K.7i4兀.兀6兀

sm—cos---l-sin—cos---1-sin—cos——

77777

.71

sm—

7

根据积化和差公式：sinacos尸=g[sin(a+尸)+sin(a—y0)]

所以原式可化为：

£

sin

2

.71

sin—

.71

sin—

7

1.71

——sin—

27

故选项D正确.

71

sin—2

7

故选：ACD

【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路

有:

（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的;

（2）遇见85℃052185318$41的形式，分子分母同乘sina,再用倍角公式化简;

（3）积化和差公式：sinacosy0=；［sin（a+A）+sin（a—尸）］

cosasin0=：[sin(a+尸)一sin(a-；0)]sinasin/3=—[cos(6Z+y0)-cos(cr-y0)]

cosacos/3=；[cos(a+y0)+cos(a-y5)].

13.6

【分析】4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，由

乘法原理可得.

【详解】由题意4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐

法，方法数为C；=6.

故答案为：6.

4

14.—-/-0.8

5

【分析】法一：采用特殊值法，设〃=（2,0）,6=（0,3）求得°,最终可求；法二：直接求解,

根据向量夹角公式求解即可.

【详解】法一：设a=（2,0）,匕=（0,3）则c=（0,3）—2（2,0）=（T,3）

4

故答案为：-不

答案第14页，共22页

15.3

【分析】根据题意分别设出点民尸,A的坐标，根据"，尸尸可建立变量之间的等式，再根

据A、2、尸在一条直线上，可再建立一个等式，两等式联立求出点的坐标，再根据两点间

的距离公式即可求得结果.

【详解】解：因为抛物线V=4x,所以尸（1,0）

根据题意不妨设4手,修，尸和4（0,"）

,,~UUUUCIU

因为AP_LPF,所以APPF=0

即（1,〃一利）・（2,一%）=0,解得2〃+加2=0,即2=/力一闻①

因为A、B、尸三点共线，所以心尸=心下

n_m

即-1m2,即苏〃-4〃+46=0,即机2〃=4（〃—㈤②

------1

4

①除以②可得————>即加^=8,即〃=一I

mn4m

QQ

将九=：代入①中可得2—：+/=0,即“+2苏—8=0

mm

解得m2=—4（舍）或加=2,所以加=±^/2

代入”，中可得〃=±20,所以|A尸|=Jl+*=3.

故答案为：3

16.2

【分析】利用导数的几何意义，设出直线人加求出交点的横坐标，从而求出

1（ef-e-r）2+4

5c=彳।“，再利用基本不等式即可求出结果.

2|e-e|

【详解】设A«,—e'+成）,3（„,+成）,C®,九）

由y=-e"+ox,得至Uy=-e*+〃，由）=9一"+奴，得至！］了=一匕一"+〃

所以由导数的几何意义得：4：y-（-以+成）=（-3+a）（xT）

4：y—（e-+成）=（—。一'+〃）（冗-），联立方程解得：x0-t=^^-

e-e

.•.ABC的面积

11i「/—fxzt1e'+e—t-t\1(e'+e—')1(e,-e-,)2+4

Sc=#o-r|[(e+at)-(-e+<7f)J=-r-;~j-(e+e)=37^~J

/，|e—e/e—e5广e'|

令机=»'—匕一1NO,所以S=工[m+—>—x2A/mx—=2

2^m)2Vm

当且仅当加=3,即相=卜'一片［=2时取等号.

m11

故答案为：2

17.⑴/'(耳=25皿〔++：兀］+1

⑵［-0,2］.

-2兀471

【分析】⑴根据函数图象可得A=2,得3=1,由图象和公式T=同求得。=§,由/=3

a)\

求得。=［兀，即可求解;

18

(2)根据三角函数图象的平移伸缩变换可得g(x)=2sin12%+1J,利用正弦函数的单调性

即可求出函数冢九)的值域.

【详解】(1)根据函数图象可得2A=3-(-1)=4«.A=2

3+(-1)=25\B=1

T11719

—=——71——=——71=-it^r=-7t=—-

21261242®3

71=3.-.2sin[-x6+夕)+1=3/.sin]—2兀+o)=1

又.f

139

2兀5兀

/.—7i+^=—+2faikEZ得夕=m+2左兀GZ

“二兀

又H<f18

中+得小;

/(x)=2sin

2

(2)把＞=/(%)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的：(纵坐标不变)得到

y=2sin[2x+—7ij+1

I18J

再向下平移一个单位得到y=2sin+1兀

再向左平移「71个单位得到y=2sin2x+白卜5"=2sin2x+g71

3636I36J18133

答案第16页，共22页

二.g(x)=2sin12x+；J

当XE0,—时工V2x+工兀

2」333

ITJTTTjTT.

又函数，=sinx在一牙,上单调递增，在-,y上单调递减

~~~-s，n(2尤+1]41

g(x)e[-后2],即g(x)值域为[-衣2].

On+1./+7扑+4

一乙~\-,--“--<---3--,--------

2

18.(1)%="+3b=2n-n-3；(2)T=

nnn2+771-8

2用n

I2

【分析】(1)利用公式法求出｛见｝和｛。“+2｝的通项公式，即可写出也｝的通项公式;

(2)先判断出乙=一2,4=-1和4=2

当“23时，恒有2＞0,得到同-2〃＜：即可求和.

[2-n-3,n＞3

【详解】(1)因为｛%｝是公差为1的等差数列，q=4,所以％=〃+3.

又(«„+blt｝是公比为2的等比数列4+4=2,所以见+2=2"

故d=2"-。"=2"-〃-3.

(2)因为如「d=2"-1＞。，所以｛2｝为递增数列

又片=-2,3=-1和&=2,故当”23时，恒有2＞。

〃+3—2〃,〃<3,

故同=

2n-n-3,n>3.

记也｝的前〃项和为S"

则『3+22++2")-(4+5++”+3)=弘巧-"31=2人…±1

1—222

_2«+i+/+7几+4

当〃<3时7；=-S“

一2

力2I7M_Q

当〃23时7；=通心+&+“++bn=-S2+Sn-S2=Sn-2S2=2用——-——

_2"+i犷+7"+4

+,n<3,

,”23.

19.(l)y

【分析】（1）分别求出甲第一局获胜、第一局平局第二局获胜的概率可得答案；

（2）分别求出乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛的概率，由三局比赛晋级决赛的概

率除以经过一局、两局、三局比赛晋级决赛的概率和可得答案.

【详解】（1）设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件4则甲第一局获胜或第一局平局第二

局获胜

贝Up（A）=-+-x-=~.

3232

（2）记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件3、C、D

~3~6

尸(Q)=_x_x1--

26

故在乙最后晋级决赛的前提下

乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为］:厂=A

—I---1—

6418

20.（1）证明见解析

【分析】（1）先证平面PCD,得BC工DE,再证。平面P3C,得DE工PB,然

后证明尸3_L平面DEF,得证

（2）以。为原点，射线〃4,DC,"分别为x,»z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由

空间向量法求二面角得BC的长，然后利用棱锥体积公式计算.

【详解】（1）证明：因为平面ABCD,BCu平面ABC。，所以如

答案第18页，共22页

由底面ABCD为矩形，有BCLCD,而PDcCD=D,PD,CDu平面PCD

所以BC1平面PC。，又DEu平面PCD,所以3C_LOE.

又因为PD=CD,点E是PC的中点，所以DELPC.

而PCc3C=C,尸。,86（=平面尸8（7,所以。E工平面PBC,PBu平面P5C

所以/）E_LPfi

又PBLEFDEEF=E。瓦斯u平面DEF

所以PB_L平面£＞跖，而DFu平面。£F

所以P3_L£）尸得证.

（2）如图，以。为原点，射线〃4,DC,ZF分别为％，，z轴的正半轴，建立空间直角坐标

系.

因为PD=OC=1,设3C=；l,(2>0)

贝|。（0,0,0）,P（0,0,l）,B（2,l,0）,C（0,l,0）PB=（A,1,-1）点E是PC的中点，所以

E。，罟

由PD_L平面ABCD,所以。°=（0,0,1）是平面ABCD的一个法向量;

由（1）知，PBJ_平面DEF,所以8尸=（-九-1,1）是平面。EF的一个法向量.

TT

因为平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为y

f兀BPDP1

则COSg==p解得2=0（负值舍去）.

|BP|-|r)p|p722+2

所以尸8=2,PF=-=-PB

24

v_v_lv_111.1^_^/2

Vp-DEF=VF-PDE=~VB-PDE=彳*£X;X1X不*.2=—•

44JZZ43

21.⑴卷一］=1

（2）存在T（1,-2）使|。71为定值0

'c=&

41

【分析】（1）根据题意可得屏=1,解之即可求解；

/+。2=6

（2）设直线A3的方程尸丘+相，AG，M）］@,%）联立双曲线方程，利用韦达定理表示

%+私和；由直线的点斜式方程可得PA方程，得4。，/J'同理得M。,”），

根据平面向量线性运算的坐标表示，化简计算可得（机+3）（机+24+1）=0,分类讨论

机+2左+1=0与m+3=0的情况，即可求解.

22

【详解】（1）设双曲线C的方程为\一［=1（。>0,6>0）

ab

'e=V6

41a=A/3

由题意知3一二=1,解得「

〃b［b=43

a2+b2=6

•••双曲线c的方程为［-1=1；

（2）设直线AB的方程为>=履+"A（^,y1）,B（x2,y2）P（2,-l）

y=kx+m

消去y,得（1-左2卜2-2八麻-〃22-3=。

f—3

贝打一犷/0A=4^2m2+4(1-)(m2+3)>0

2km-m2-3

%+X,=---,XX=----7—

1-1-k2721-k2

直线力方程为，=%=(彳-2)-1

%一z

令x=。，则X。,丁;同理N（0，U）

,r/曰/+2%」+2%n

由°M+°N=°,可得^7+^^=°

答案第20页，共22页

.玉+2（2+机）x2+2（AX2+m）0

2—2一马

［（2左+1）F+2加］（2_々）+［（2k+1）入2+2加］（2—%）=0

（4左+2—2a）（玉+/）—（4左+2）%/+8机=0

，（4%-2m+2）--（4k+2）1:J+8m=0

（2左一根+l>2fon+（2左+1）（m2+3）+4加（1—左2）=0

**•