浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题

浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1−i)z=i，其中iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若A．n B．−20 C．20 D．203．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1,c=3A．32 B．34 C．3 4．已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2A．−92 B．0 C．3 5．如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA．12 B．122 C．6 D．6．已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（）A．12π B．9π C．3π D．47．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，A,B是中间正方形的两个相邻的顶点，P是外框正八边形上的一点，则A．16+82 B．162+8 C．88．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinBsinC3sinA．[3，23) B．(6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．在复平面内，下列说法正确的是（）A．−B．(C．若a>b，则a+i>b+iD．若复数z满足z2<0，则10．设△ABC的内角A,B,A．若a=10,B．若A>B，则sinC．若a=3,D．若acosA=bcos11．在正四面体ABCD中，若AB=2，M为BC的中点，下列结论正确的是（）A．正四面体的体积为2B．正四面体外接球的表面积为6πC．如果点P在线段DM上，则(AP+CP)2的最小值为D．正四面体ABCD内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面BCD上，上底圆面与面ABD、面ABC、面ACD均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为2三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．12．平面向量a,b中，已知a=(4,−3),|b|=1，且a13．若i为虚数单位，复数z满足1≤|z+1+i|≤214．若G为△ABC的重心，BG⊥CG，则cosA的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知i是虚数单位，z是z的共轭复数.（1）若(1+2i)z=4+4i−i2021，求复数（2）若复数z1=(m16．已知向量a=(2（1）求b与c；（2）若m=2a−b,17．如图，AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知（1）求该圆柱的表面积；（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．18．在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin（1）求C的大小；（2）若a+b=2，求边长c的取值范围；（3）若c=4，求△ABC面积S的最大值．19．如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，AB=3，AD=2．（1）若DP=λDC，CQ=λCB，（2）若∠PAQ=π4，求（3）若DP=2PC，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得

答案解析部分1．【答案】B【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：z=i复数z在复平面内对应的点为(−1故答案为：B.【分析】先求出复数z的代数形式，然后可确定复数z在复平面内对应的点的位置.2．【答案】C【知识点】平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：在△ABC中，因为a=5,b=8,故答案为：C．【分析】由题意，根据向量的数量积的定义列式计算即可．3．【答案】B【知识点】三角形中的几何计算【解析】【解答】解：依题意可得S△ABC故答案为：B【分析】直接由面积公式计算可得.4．【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算【解析】【解答】由题意可知：2又(2a−3可得：(2k−3)×2+1×(−6)=0⇒k=3故答案为：C

【分析】利用向量运算的坐标表示结合两向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积的坐标表示求出k的值。5．【答案】D【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图【解析】【解答】解：因为C'D'则∠C'O'D故矩形O'A'所以原图形OABC的面积是S=S故答案为：D.【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.6．【答案】C【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2πr=lπ，所以l=2r，所以圆锥的高ℎ=l圆锥的体积为V=1故答案为：C.【分析】由圆锥侧面展开图得圆锥母线，高，再由体积公式计算．7．【答案】A【知识点】平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：记正八边形右下角的两个顶点分别为C,D，连接易知△BCD为等腰直角三角形，因为CD=4，所以BC=22设AP→,AB→=θ，过P作PE⊥AB，垂足为E显然，当点P与点C重合时，|AE|取得最大值，最大值为故AB⋅AP的最大值为故答案为：A.【分析】利用平面向量数量积的定义求解即可.8．【答案】D【知识点】正弦定理；余弦定理【解析】【解答】由sin2A+即有cosC=a2+b又sinB由正弦定理､余弦定理得，b⋅323a由正弦定理有：asinA=bsin△ABC是锐角三角形且C=π3，有A∈(0，解得A∈(π因此a+b=4=43由A∈(π6，π2所以c2故答案为：D

【分析】由sin2A+sin2B−sin9．【答案】A,D【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：A、−iB、(−iC、虚数不能比较大小，故C错误；D、设复数z=a+bi(a,b∈R)，则z2=(a+bi)2=a2−b故答案为：AD.【分析】根据复数的乘方运算即可判断ABD；由复数不能比较大小即可判断C.10．【答案】B,D【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断【解析】【解答】解：对于A，cosA=b2对于B，△ABC中，若A>B，则a>b，由正弦定理得：2RsinA>2RsinB（R为对于C，由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=对于D，若acosA=bcosB，则得2A=2B或2A=π−2B，故A=B或A+B=π2，故答案为：BD.【分析】A选项，由余弦定理与数量积的定义计算；B选项，由大角对大边和正弦定理判断；C选项，由正弦定理解三角形；D选项，由正弦定理与二倍角公式化简后判断．11．【答案】B,C,D【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积【解析】【解答】由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，O为底面中心，则D，O，M共线，所以AO=AB2由题设，外接球球心E在AO上，且半径r=EA=EB，所以r2=(故外接球的表面积为4πr由题意知：将面AMD与面CMD沿MD翻折，使它们在同一个平面，如下图示，所以AD=CD=2且cos∠ADM=DOAD又∠CDM=30°，而cos∠ADC=要使(AP+CP)2最小，只需A，P所以(AP+CP)min如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体ABCD内接一个圆柱的上底面，若截面所成正三角形边长为x∈(0，2)所以其侧面积S=2πrℎ=2π×3故当x=1时，Smax故答案为：BCD

【分析】根据正四面体的结构特征，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】0；(【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：因为a=(4,−3)又|b|=1，且a⋅b=5，设a则a⋅b=|又θ∈[0,π]，所以θ=0，即a与b的夹角为所以a与b共线同向，又|b|=1，所以b为即b=故答案为：0；(【分析】首先求出|a|，设a与b的夹角为θ，根据数量积的定义求出cosθ，从而确定θ，则b为a13．【答案】3【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义【解析】【解答】解：复数z满足1≤|z+1+i|≤2，即即复数z对应的点Z到点C(−1,−1设P(1,1)，|z−1−i|表示复数z对应的点Z数形结合可知|z−1−i|的最大值|故答案为：3【分析】利用复数的几何意义知复数z对应的点Z到点C(−1,−1)的距离d满足1≤d≤2，|z−1−i|表示复数14．【答案】4【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理【解析】【解答】如图，∵CG⊥BG，∴CD⊥BE，∵==−(2=−(2∴2∴cosA=2∴cosA的最小值为故答案为：4

【分析】利用向量数量积的运算，结合余弦定理和基本不等式可求出cosA15．【答案】（1）解：i2021由(1+2i)z=4+4i−i所以z=2+i，|z|=4+1（2）解：因为z1=(m2−5m+6)+(【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数【解析】【分析】（1）根据复数的乘除运算化简求得z，再求出复数z，根据复数的模长公式求解即可；（2）根据复数的概念列式求解即可.16．【答案】（1）解：由a//b得，所以x=6，即b=由a⊥c得，所以y=−1，即c=（2）解：由（1）得m=2n=所以m⋅所以cos〈所以向量m,n的夹角为【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【分析】（1）利用平行、垂直的坐标表示列方程，由此求得x,y，进而求得b与（2）利用向量夹角公式计算出cos⟨m,n⟩17．【答案】（1）解：由题意知AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆心O，且AB=BC=5，可得圆柱的底面圆的半径为则圆柱的底面积为S1圆柱的侧面积为S所以圆柱的表面积为S=2S（2）解：由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，所以以△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：V=1【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征【解析】【分析】（1）由题意，求得圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的表面积即可；（2）△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，根据圆锥体积公式求解即可.18．【答案】（1）解：在△ABC中，bsinC=3因为A+B+C=π，所以sinA=所以sinBsinC=即sinB因为B∈(0,π)因为C∈(0,（2）解：由三角形两边之和大于第三边可得：c<a+b=2，即c<2．由余弦定理得：c2=a由基本不等式可得：a+b≥2ab，所以ab≤(a+b2)综上所述：1≤c<2．所以边长c的取值范围为[1（3）解：由余弦定理得c由重要不等式得16=当且仅当a=b=4时取等号∴S=∴S最大值为4【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）已知条件由正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式化简得tanC=3，可得（2）由三角形两边之和大于第三边和余弦定理结合基本不等式，可得边长c的取值范围；（3）由余弦定理和重要不等式得ab≤16，代入面积公式求S的最大值.19．【答案】（1）解：由AB=3，AD=2，故|DP|=λ|DC|=3λ，AP⋅由0≤λ≤1，故AP⋅（2）解：以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系，如图所示：设∠QAB=α∈[0,π4则Q(3,3tanAP=≥122当且仅当21+tanα即AP⋅AQ的最小值为（3）解：以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系，如图所示：

由题意可得P(2,2)，Q(3,1)，TC=1假设存在点H，使得∠THQ最大，由∠THQ∈[0,π2设BH=a，当a=0时，角度为0，此时∠THQ不可能最大，故a≠0，则tan=a⋅(3−1)当且仅当a=3a，即即存在，且BH=3【知识点】基本不等式；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正切公式【解析】【分析】（1）由题意，根据向量的线性运算以及向量的数量积公式计算即可；（2）建立平面直角坐标系，结合三角函数以及基本不等式计算即可；（3）建立平面直角坐标系后，将∠THQ最大转化为tan∠THQ最大，

根据tan

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）58.0(38.7%)主观题（占比）92.0(61.3%)题量分布客观题（占比）11(57.9%)主观题（占比）8(42.1%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．3(15.8%)15.0(10.0%)解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5(26.3%)77.0(51.3%)单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8(42.1%)40.0(26.7%)多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.3(15.8%)18.0(12.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(47.4%)2容易(47.4%)3困难(5.3%)4、试卷知