2024年安徽省鼎尖名校高三数学5月三模联考试卷附答案解析

年安徽省鼎尖名校高三数学5月三模联考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（

）

A．B．C． D．2．已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.63．若，，，则（

）A． B． C． D．4．直线：与圆：的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或25．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则．A． B． C． D．6．已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．7．已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（

）A． B． C． D．8．已知抛物线：与直线：交于M，N两点，点P在线段上，且，若点在直线上，则（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若复数，是方程的两根，则（

）A．，实部不同B．，虚部不同C．D．在复平面内所对应的点位于第三象限10．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（

）A．B．的外接圆面积为C．若，，则D．若，，则11．已知函数其中，且，则（

）A． B．函数有2个零点C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．的展开式中的系数为.13．已知四棱锥的底面为矩形，其中，点平面，点M，N分别在线段，上（不含端点位置），其中，则四面体的体积最大值为.14．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，求函数在上的最值.16．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：喜欢增加体育运动时间不喜欢增加体育运动时间初中生16040高中生14060(1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；(2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.050.010.0053.8416.6357.87917．如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.

(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值.18．已知椭圆：的长轴长为4，左，右焦点分别为，，上顶点为A，其中直线的斜率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线的距离为1，求周长的取值范围.19．已知数列的前n项和为，若数列满足：①数列为有穷数列；②数列为递增数列；③，，，使得；则称数列具有“和性质”.(1)已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论）(2)若首项为1的数列具有“和性质”.（ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由；（ⅱ）若数列的末项为36，求的最小值.1．C【分析】图中所示的阴影部分的集合，结合集合的运算即可得解.【详解】由图可知，阴影部分表示的集合的元素为，而，，则，得，故所求集合为.故选：C.2．D【分析】根据题意利用正态曲线的对称性进行解答即可，【详解】解：依题意，，故选：D.3．D【分析】根据对数函数的性质，可比较，然后再与2比较大小，可得结果.【详解】依题意，，故；而，故，故选：D.4．C【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定.【详解】由直线，可得直线过定点，又由圆：，可得点在圆C上，因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.5．C【详解】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，又，解得，所以，故选C．考点：等比数列的通项公式及性质．6．B【分析】利用圆台的体积公式即可求出圆台的高，根据四面体的外接球即为圆台的外接球，求出外接球半径，代入球的表面积公式，即可求出结果.【详解】依题意，设圆台的高为h，则，解得；四面体的外接球即为圆台的外接球，设其半径为R，球心为，，由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，，球心O在圆台的轴所在直线上，则，故，解得，故，故四面体的外接球表面积为.故选：B.7．A【分析】利用五点法作图，结合函数的图象得、和，再利用两角差的余弦公式，计算得结论.【详解】解：因为，所以，而，因此，即因为，所以由“五点法”作图得：，解得，由于,解得，故取，则，因此.因为，所以，.因为由函数的图象，结合“五点法”作图知：，，所以由和得：，，因此.故选：A8．A【分析】设直线，的方程分别为，，由点到直线的距离为，与点到直线的距离也为，得到，是方程的两根，由韦达定理可得，设，，则，故，将直线与抛物线联立，由韦达定理可得k的值.【详解】已知直线：，设直线，的方程分别为，，记点到直线的距离为，因为，所以点到直线的距离也为，由点到直线的距离公式可得：则，整理得，，故，是方程的两根，故，设，，则，故，联立，整理得：，所以，，即由韦达定理可得，，则，故，解得，满足题意，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点在于利用角平分线上的点到两边的距离相等，然后用点到直线的距离公式得到了关于和两个一元二次方程，由两个方程的结构相同得出，，是方程的两根，再根据韦达定理得到的结论，从而使得该题得解.9．BC【分析】本题首先在复数集内解方程，求出，再根据复数的模及其几何意义、共轭复数、复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，逐项判定，即可求出结果.【详解】因为方程可化为，所以，则，是共轭复数，实部相同，虚部互为相反数，所以A错误，B正确；因为，所以C正确；因为，所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限，所以D错误.故选：BC.10．BCD【分析】本题考查了向量的数量积、利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，是中档题.先由向量的数量积、正弦定理和三角恒等变换得，则，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可.【详解】对于A选项，依题意，，则，由正弦定理，，因为，且，故，故，因为，故，故A错误；对于B选项，由选项A可知，，故其外接圆面积为，故B正确；对于C、D选项，因为，记，所以，，，，在中，由正弦定理，，即，在中，由余弦定理，，故，解得，因为，则，，故C、D正确；故选：BCD.11．ACD【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.【详解】解：，故A正确；作出函数的图象如图所示，观察可知，，而，故，有3个交点，即函数有3个零点，故B错误；由对称性，，而，故，故C正确；b，c是方程的根，故，令，则，故，而，均为正数且在上单调递增，故，故D正确，故选：ACD.12．-30【分析】利用乘方的几何意义和二项展开式的通项公式求解.【详解】解：因为是由5个相乘得到，使用要想产生，则出1个，出2个，y出2个，故所求系数为.故答案为：-3013．【分析】设，，根据题意，得到，，，求得的面积为，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】在上取点，使得，由，设，，其中，又由，，且平面，因为平面，所以，可得，且，，，因为，且平面，所以平面，在中，由，可得，则的面积为，故，当且仅当时等号成立，所以四面体的体积最大值为.故答案为：.14．【详解】试题分析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos60°，即4c2=m2+n2-mn，①设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1-a2，代入①得，，②由离心率互为倒数知，所以=，代入②式得整理得，，两边同除以得，，解得=或=1（舍），所以椭圆的离心率为=．考点：椭圆定义与性质，双曲线定义与性质，余弦定理，对新概念的理解和应用，转化与化归思想15．(1)(2)最大值为，最小值为【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果.【详解】（1）由函数，可得，可得，且，所以切线的斜率为，切点为，则所求切线方程为.（2）由（1），当时，可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，而，，，故所求最大值为，最小值为.16．(1)不能(2)分布列见解析，3【分析】（1）先得出，对照临界值表可得结论；（2）依题意，，得出对应概率，可得X的分布列以及数学期望.【详解】（1）完善二联表如下：喜欢增加体育运动时间不喜欢增加体育运动时间总计初中生16040200高中生14060200总计300100400零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，则，故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；（2）喜欢增加体育运动时间的人数有300人，故喜欢增加体育运动时间的概率为依题意，，，，，，故X的分布列为：X01234P则.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设中点为，连接，即可得到四边形为正方形，利用勾股定理逆定理得到，再由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）设中点为，连接，因为，且，故四边形为正方形，而，，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，所以，由（1）知，平面的法向量为，设平面与平面所成角为，则，所以，即，解得或（舍去），所以.

18．(1)(2)【分析】（1）由条件联立方程组，解出可得椭圆C的标准方程；（2）设，，易得的周长为，再分直线的斜率不存在和存在，两种情况求解计算即可.【详解】（1）依题意，，联立解得，，，故椭圆C的方程为；（2）设，，，则，同理得，易知直线与单位圆相切，设切点为B，，同理得，故的周长为，当直线的斜率不存在时，的方程为,,,则的周长为4；的方程为，,,此时的周长为；当直线的斜率存在时，设的方程为，则原点到直线的距离，故，联立化简可得，故，易知，故，同号；当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，，此时的周长为为定值；当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，，此时的周长为，因为，故，当且仅当或时取等号，从而，故的周长的取值范围为；综上所述，的周长的取值范围为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．19．(1)，具有(2)（ⅰ），理由见解析；（ⅱ）75【分析】（1）利用数列的前n项和及与的关系得数列的通项公式，再利用题目所给定义对数列是否具有“和性质”进行判断；（2）（ⅰ）利用题目所给定义得，再利用数列的前n项和得结论；（ⅱ）构造具有“和性质”的数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，此时，再利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比75更小的，从而得结论.【详解】（1）因为，所以当时，；当时，，而当时，满足，因此数列的通项公式为该数列具有“和性质”.（2）（ⅰ）因为首项为1的数列具有“和性质”，所以，，，使得，且，，因此，，所以；因此，所以将上述不等式相加得：，即.因为，所以，因此.（ⅱ）因为数列具有“和性质”，所以由③得：，因此数列中的项均为整数.构造数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，因此这两个数列具有“和性质”，此时.下面证明的最小值为75，即证明不可能存在比75更小的.假设（存在性显然，因为满足的数列只有有限个）.第一步：首先说明有穷数列中至少有7个元素.设有穷数列中元素组合的集合为A，由（ⅰ）知：，而，因此，，，，，所以.第二步：证明，.若，设.因为，所以为了使得最小，则在数列中一定不含有，使得，因此.假设，根据“和性质”，对，有，，使得.显然，因此，所以由有穷数列中至少有7个元素得：集合A中至少还有4个不同于，，的元素，因此，与矛盾，所以，且.同理可证：.根据“