2024版创新设计高考总复习 数学 人教A版第2节 两直线的位置关系

第2节两直线的位置关系

考试要求1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两

条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会

求两条平行直线间的距离.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.两条直线的位置关系

直线/1：y=k\x-\~b\,b：y=k2X-\~b2>h：Aix+Biy+Ci=0,U：Aw+Biy+C2=

0(其中人与/3是同一直线，/2与/4是同一直线，/3的法向量功=(A1,Bl),/4的法

向量。2=(A2,82)的位置关系如下表：

位置关系法向量满足的条件11,〃满足的条件/3,/4满足的条件

4比一4231=0且4G—

平行V\//V2左=42且biWb2

A2C1W0

垂直V\A.V2氏1•&2=11A1A2+B1&=O

相交Vi与02不共线kiWZ2—A28]W0

2.直线的交点与方程组解的关系

(1)两直线的交点

点P的坐标既满足直线/1的方程4x+By+G=0,也满足直线/2的方程A2x+&y

Ai龙+Biy+Ci=0,

+C2=0,即点P的坐标是方程组“,八的解，解这个方程组就可

以得到这两条直线的交点坐标.

(2)两直线的位置关系与方程组解的关系

Aix+Biy+Ci=0,

方程组.上〃工厂八的解一组无数组无解

Aix+Biy+C2=0

直线人与/2的公共点的个数一个无数个零个

直线人与12的位置关系相交重合平行

3.距离公式

⑴两点间的距离公式

平面上任意两点Pi(xi,yi)，P2(X2，yi)间的距离公式为\P\P2\=

7(X2—XI)2+(y2—yi)2.

特别地，原点。(0,0)与任一点P(x,y)的距离IOPi=、/f+)2.

(2)点到直线的距离公式

lAxo+Byo+C

平面上任意~*点Po(xo,yo)到直线/：Ax+By+C=0的距禺d=

、区2+7，

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线Zi：Ax-+B>'+Ci=0,/2：4;+3y+C2=0(C/C2)间的距

g-Qi

禺d=、加+炉

4.对称问题

(1)点尸(xo,yo)关于点A(a,的对称点为P(2a—xo,2b—yo).

⑵设点P(xo,yo)关于直线y=kx+b的对称点为P'(x'，y'),则有

,,可求出x',y'.

泗^+-^0

—2~=k--^-+b,

［常用结论］

对于直线Ai光+Biy+G=0,A2X~\-Biy-\-C2=0：

(1)“两直线平行”的充要条件是“4&=42由且AC2WA2G”；

(2)“两直线垂直”的充要条件是“AIA2+B&=0”.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J"或"X")

(1)当直线人和/2的斜率都存在时，一定有匕=依=/|〃/2.()

(2)如果两条直线与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

⑷直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

答案(l)x(2)X(3)V(4)V

解析(1)两直线人A有可能重合.

(2)当/|，，2时，若/i的斜率怎=0,则，2的斜率不存在，不满足题意.

2.(选修一P102T1⑶改编)与直线3x—4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为

答案3x+4y+5=0

解析设所求对称直线的点的坐标(x,y),关于x轴的对称点的坐标(x,一y)在已

知的直线上，

所以所求对称直线方程为3x+4y+5=0.

3.已知直线(3a+2)x+(l—4a)y+8=0与(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，则a的值

为.

答案0或1

解析•••两直线垂直，

二(3a+2)(5。-2)+(1—4a)(a+4)=0,

可得11/—11〃=0,解得a=0或1.

4.设不同直线l\：2x~my—1=0,h：(m—l)x—y+1=0,贝U"〃?=2"是

的条件.

答案充要

解析当〃z=2时，两直线方程/i：2x-2y—1=0,h：x—>+1=0,满足/i〃/2；

当〃2=0时，两直线方程/i：2JC—1=0,h：—x—y+1=0,不满足/i〃/2；

...若/|〃/2,则y=—^之七，

解得m=2或加=—1(舍去).

“机=2”是((h//hn的充要条件.

考点突破•题型剖析

考点一两直线的平行与垂直

例1已知直线/i：ax+2y+6=0和直线/2：x+(a-l)y+a2—1=0.

(1)试判断八与/2是否平行；

(2)当/1JJ2时，求。的值.

解(1)法一由A1&—A28I=0,

得a(a—1)—1X2=0,

由A1C2—A2C1WO,得a(a2-1)—1X6#0,

a(a-1)-1X2=0,a1-a-2=0,

所以l\//b='可得a=-1,

a(“2—1)-1X6^0a(屋一1)W6,

故当a=-1时，l\//h.

法二当a=l时，li：x+2y+6=0,I2：x=0,/1不平行于八;

当a=0时，li：y=—3,I2：x—y—1=0,

1\不平行于h;

当且aWO时，两直线方程可化为/i：

a1

y=-]x-3,I2：y=]_/_(〃+1)，

1

八〃/2=<2~l-a'

、一3W—(a+1),

解得a=-1,

综上，当a=-l时，h//h.

(2)法一由44+8由2=0,

2

得ci~\~2(〃-1)=0,可得a=Q.

法二当〃=1时，/i：%+2y+6=0,/2：x=0,

/1与，2不垂直，故。=1不成立；

当。=0时，1\：y=-3,li：x—y—1=0,

/1不垂直于/2,故。=0不成立；

当且a20时,Zi：y=一米―3,

，2：y=]J/_(a+1)，

由V)±=f得片I，

感悟提升1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要

考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意

X,y的系数不能同时为零这一隐含条件.

2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结

论.

训练1(1)(2023•青岛模拟)已知直线/经过点(1,-1),且与直线2x—y—5=0垂

直，则直线/的方程为.

答案x+2y+1=0

解析•••直线/与直线2x—y—5=0垂直，

二设直线/的方程为x+2y+c=0,

•.•直线/经过点(1,-1),

1—2+c=0,即c=1.

即直线/的方程为x+2y+1=0.

(2)已知两条直线l\：(3+/)x+4y=5—33I2：2x+(5+/)y=8,l\//h,贝Ut=

答案一7

角翠析''l\//12,2=5+/-8~，

解得，=一7.

考点二两直线的交点与距离问题

例2(1)(2023・广州调研)直线/经过原点，且经过两条直线2x+3y+8=0,x~y-l

=0的交点，则直线/的方程为.

答案2x~y=Q

解析法一联立方程f2光仁+3厂y+皿8=，O,解.x=-1,

J=-2，

所以两直线的交点为(-1,-2),

—2—0

所以直线/的斜率为一^=2,

则直线/的方程为2x~y=Q.

法二设所求直线/的方程为2x+3y+8+/l(x—y—1)=0(%SR),

因为直线/经过原点，所以2X0+3X0+8+，0-0-1)=0,解得2=8.

所以直线/的方程为2x~y=0.

(2)已知直线经过点(1,2),并且与点(2,3)和(0,—5)的距离相等，则此直线的

方程为.

答案4x—y—2=0或x=l

解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y-2=Hx-l),

即kx~y~k+2=0,

|2Z—3一表+2||0+5—攵+2]

由题设有

、1+后

即依一1|=|7-向，解得％=4.

此时直线方程为4x—y—2=0.

若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x=l,满足题设条件.

故所求直线的方程为4x-y-2=0或x=l.

感悟提升(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标,

再结合其他条件写出直线方程.

(2)利用距离公式应注意：①点P(xo,yo)到直线x=a的距离d=|xo—a|,到直线y

=8的距离d=|yo—M；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数

化为相等.

训练2(1)已知直线丁=丘+2Z+1与直线y=-5+2的交点位于第一象限，则实

数人的取值范围是.

答案(T3

〃2—4%

[y=kx-\~2k+1,尸2攵+.

解析由方程组1,解得《「

尸—中+2,6k+l

IU=2%+i，

又•••交点位于第一象限，

.2-416♦+1

且2A+1>0,

解得一太©

(2)若两平行直线3x—2y—l=0,6x+ay+c=0之间的距离为噜K则c的值是

答案2或一6

解析由题意得2K—■，

•\a=-4,cH—2,

则6x+ay+c=0可化为3x—2y+|=0.

I|+1?加

由两平行线间的距离公式得不一=甘，

即f+1=2,解得c=2或c=-6.

考点三对称问题

角度1关于点对称

例3过点P(0,1)作直线/,使它被直线h2x+y—8=0和/2：%—3y+10=0截

得的线段被点尸平分，则直线/的方程为.

答案x+4y—4=0

解析设人与/的交点为A(a,8—2a),

则由题意知，点A关于点P的对称点次一a,2a—6)在/2上，

代入，2的方程得一。一3(2。-6)+10=0,

解得a=4,

即点A(4,0)在直线/上，

所以直线/的方程为x+4y-4=0.

角度2关于线对称

例4(1)已知入射光线经过点M(—3,4),被直线/：尤-y+3=0反射，反射光线

经过点M2,6),则反射光线所在直线的方程为.

答案6x—y—6=0

解析设点〃(一3,4)关于直线/：x—y+3=0的对称点为h),则反射光线

所在直线过点M',

b-4

a-(—3)

所以彳解得a=l,b=0.

-3+。b+4,

2-+3=0,

又反射光线经过点M2,6),

所以所求直线的方程为

即6x—y—6=0.

(2)在等腰直角三角形ABC中，|AB|=|AC|=4,点尸是边A8上异于A,8的一点.

光线从点尸出发，经BC,C4反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过AABC

的重心，则AP的长度为.

4

答案3

解析以A为原点，所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的

平面直角坐标系，

由题意可知8(4,0),C(0,4),A(0,0),

则直线BC的方程为x+y-4=0.

设PQ,0)(0<Z<4),可得点尸关于直线6c的对称点Pi的坐标为(4,4-0,

点P关于y轴的对称点P2的坐标为(一7,0),

根据反射定律可知直线PP2就是光线RQ所在的直线，

由Pl,P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y="p(x+f).

设△ABC的重心为G,易知G俘

因为重心G《，乡在光线RQ上，

所以可=了m7(j+"'得，=§。=0舍去),

4

即|AP|='

感悟提升对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

⑵中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和

中点两个条件列方程组解题.

训练3已知直线/：2x—3y+l=0,点4一1,一2).求：

(1)点A关于直线I的对称点4的坐标；

(2)直线m-.3x—2y—6=0关于直线I的对称直线加的方程；

(3)直线I关于点A对称的直线厂的方程.

卜+

-----2-.—2=—I,

x+13'

解⑴设A'(x,y),则1

x-1y一2,

2X3X1=0,

r_33

卜一F(334、

解得4即A'一声母

卜=丘

(2)在直线机上取一点，如M(2,0),

则M(2,0)关于直线/的对称点必在加上.

设对称点为(a,b),

a+2。+0

2X-y—3X-y-卜1=0,

则彳

Ex-

la—23L

f=A

\a~l3,(630、

解得30即

IF

(2x—3y+1=0,

设m与l的交点、为N,则由。°,八得N(4,3).

⑶一2y—6=0,

又“经过点N(4,3),

由两点式得直线加的方程为9x—46y+102=0.

(3)法一在/：2x—3y+l=0上任取两点，

如尸(1,1),N(4,3),

则P,N关于点、A的对称点P',M均在直线/，上.

易知P(—3,-5),V(—6,-7),

由两点式可得/'的方程为2x-3y-9=0.

法二设Q(x,y)为任意一点，

则Q(x,y)关于点A(—1,—2)的对称点为0(—2—x,一4一y).

在直线/上，

.,.2(-2-x)-3(-4-j)+l=0,

即直线i的方程为2x—3y—9=0.

考点四直线系方程的应用

角度1与平行'垂直有关的直线系

例5(1)过点A(l,—4)且与直线2r+3y+5=0平行的直线方程为

答案2x+3y+10=0

解析设所求直线方程为2x+3y+c=0(cW5),由题意知2X1+3X(-4)+c=

0,解得c=10,故所求直线方程为2x+3y+10=0.

⑵经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线I的方程为

答案x—2y=0

解析因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直，

所以设该直线方程为x-2y+c=Q.

又直线过点A(2,1),

所以有2-2Xl+c=0,解得c=0,

故所求直线方程为x-2y=0.

角度2过两直线交点的直线系

例6已知两条直线/1：x-2y+4=0和/2：x+y-2=0的交点为P,求过点P且

与直线h：3x-4y+5=0垂直的直线/的方程.

解法一解4与/2组成的方程组得到交点P(0,2),

34

因为依=不所以直线/的斜率％=一亨

4

所以直线】的方程为y—2=一产

即4x+3y—6=0.

法二设所求直线/的方程为4x+3y+c=0,

由法一可知P(0,2),将其代入方程，得c=-6,

所以直线/的方程为4x+3y—6=0.

法三设所求直线/的方程为九一2y+4+〃x+y—2)=0,

即(1+A)x+(2—2)y+4—2/1=0.

因为直线/与/3垂直，

所以3(1+力-4"—2)=0所以2=11,

所以直线/的方程为4x+3y—6=0.

感悟提升几种常见的直线系方程

(1)与直线Ax+By+C=Q平行的直线系方程是Ax+By+m=Q(m^C).

(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0.

(3)过直线/i：Aix+Biy+G=0与/2：A2%+82y+C2=0的交点的直线系方程为Aix

+3y+G+，A以+&y+C2)=0qwR),但不包括h.

训练4直线/i：x+y—4=0与mx—y+2=0的交点为P,直线/：2x—y—1=

0.

(1)求过点尸且与直线/平行的直线方程；

⑵求过点P且与直线/垂直的直线方程.

x+y-4=0,[x=1,

解由-一八得、

[x—y+2=0,3=3,

所以/与/2的交点为P(l,3).

(1)设所求直线方程为2x-y+c=0(c#-l),

则2-3+c=0,所以c=l,

所以所求直线方程为2x-y+l=0.

(2)设与直线2x-y-l=0垂直的直线方程为x+2y+c,=0,

则l+2X3+d=0,所以d=-7,

所以所求直线方程为x+2y~7=Q.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.两条直线/1：x=2和/2：3x+2y—12=0的交点坐标是()

A.(2,3)B.(—2,3)

C.(3,-2)D.(-3,2)

答案A

x=2,fx—2,

解析联立13》+2)—12=0,得［y=3,

所以两条直线的交点坐标为(2,3).

2.(2023・济南质检)直线/i：ar+3y+l=0,/2：2x+(a-l)y-1=0,若则a

的值为()

A.-3或2B.3或一2

C.3D.-2

答案C

解析,直线/i：ar+3y+l=0,

Z2：2x+(a—l)y—1=0,l\//h,

a{a-1)—2X3=0,且一a—2W0,；.a=3.

3.过点P(4,—1)且与直线3x—4y+6=0垂直的直线方程是()

A.4x+3y-13=0B.4x-3y-19=0

C.3x—4y—16=0D.3x+4y—8=0

答案A

解析与直线3x—4y+6=0垂直的直线方程可设为4x+3y+m=0.

把点P(4,—1)代入得4X4—3+机=0,

解得m=-13.

所以满足条件的直线方程为4x+3y-13=0.

4.若直线a,。的斜率分别为方程12—以一1=0的两个根，则。与。的位置关系为

()

A.互相平行B.互相重合

C.互相垂直D.无法确定

答案C

解析由根与系数的关系得心比=—1,

则a与。互相垂直.

5.(2023・绍兴调研)平面直角坐标系中与直线y=2x+l关于点(1,1)对称的直线方

程是()

A.y=2x—1B.y=-2x+l

C.y=—2x+3D.y=2x~3

答案D

解析在直线y=2x+l上任取两个点A(0,1),B(l,3),

则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1),8关于点(1,1)对称的点N(l,-1).

由两点式求出直线MN的方程*==,

1十12—1

即y=2x~3.

6.已知直线4光6=0与直线5x—2y+〃=0垂直，垂足为(31),则〃的值为

()

A.7B.9

C.llD.-7

答案A

解析直线4光—6=0与直线5x—2y+〃=0垂直，则加=10,

故。，1)在直线2x+5y—3=0上，t=~l,

垂足为(一1,1),点(―"1,1)在5x—2y+"=0上，

-5-2+”=0,〃=7.

7.(多选)已知直线/1：x+my—l=0,人：("?-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的

是()

A.若/i〃/2,则机=—1或〃z=3B.若则机=3

C.若/1J-/2,则m=-]D.若则m=3

答案BD

解析若人〃/2则1X3—〃2(〃[-2)=0,

解得加=3或一1,

当〃?=-1时，li：x-y-1=0,h：x-y-1=0,/i与人重合，

二根=一1(舍去)，故机=3,故A不正确，B正确；

若I山2,则1X("2—2)+mX3=0,

解得〃z=g,故C不正确，D正确.

8.(多选)(2023•苏州模拟)已知直线h：ax~y+1=0,h：x+ay+1=0,aER,以

下结论正确的是()

A.不论a为何值时，1\与12都互相垂直

B.当。变化时，与/2分别经过定点A(0,1)和8(—1,0)

C.不论。为何值时，人与/2都关于直线x+y=0对称

D.如果人与/2交于点M,。为坐标原点，则的最大值是6

答案ABD

解析对于A,“X1+(—l)Xa=0恒成立，

人与，2互相垂直恒成立，故A正确；

对于B,直线/i：ax—y+l=0,当。变化时，x=0,y=l恒成立，所以/i恒过定

点A(0,1)；

b：x+ay+l=0,当a变化时，x=­1,y=0恒成立，所以b恒过定点B(—1,

0),故B正确；

对于C,在/i上任取点(x,ax+1),关于直线x+y=0对称的点的坐标为(一ax-

1,一x),

代入匕：x+ay+\=Q,则等式左边不等于0,故C不正确;

-a—1

ax—y+1=0,

对于D,联立解得彳

、x+ay+1=0,—a+1

所以小。尸4(告)隹

所以|MO|的最大值是色，故D正确.

..3

9.(2023•邯郸模拟)直线Zi：%+ay—2=0(a£R)与直线Z2：y=^x—1平行,则a=

,与/2的距离为.

答案甘I

解析由题可知直线/1的斜率为一!仅工0),

直线/2的斜率为3;,所以一1"=；3，

4

-

3

则直线/i：3x—4y—6=0,

直线/2：3x-4y-4=0,

两直线间的距离d=I，＜、2=W

^32+(-4)23

10.已知直线/经过直线2r+y—5=0与x—2y=0的交点，若点A(5,0)到直线/

的距离为3,则/的方程为.

答案x=2或4x-3y—5=0

解析法一两直线交点为(2,1),

当斜率不存在时，所求直线方程为x—2=0,

此时A到直线/的距离为3,符合题意；

当斜率存在时，设斜率为％,则所求直线方程为y—l=Mx—2),

即kx-y+(1-2k)=Q.

由点到直线的距离公式得公叵器誉1=3,解得左空，

故所求直线方程为4元一3y—5=。

综上，所求直线方程为x—2=0或4x—3y—5=0.

法二经过两直线交点的直线系方程为(2x+y—5)+，x—2y)=0,

即(2+6+(1-2协一5=0,

|10+5；.-5|

3,

yj(2+2)2+(1—22)2

解得2=2或;.

所以/的方程为尤=2或4x—3y—5=0.

11.已知点Pi(2,3),P2(—4,5)和A(—1,2),则过点A且与点a,P2距离相等

的直线方程为.

答案x+3y—5=0或x=—1

解析当直线与点Pl,P2的连线所在的直线平行时,

3-5I

由直线PlP2的斜率左=有=一

得所求直线的方程为y-2=-1(x+l),

即x+3y—5=0.

当直线过线段P1P2的中点时，

因为线段P1P2的中点坐标为(一1,4),

所以直线方程为》=-1.

综上，所求直线,方程为x+3y—5=0或x=-1.

12.已知三角形的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在的直线方程分别为

/i：x—y—1=0和京x—1=0,则BC边所在直线的方程为.

答案2x—y+3=0

解析易得A不在八和七上，

因此/i,b为NB,NC的平分线，

所以点A关于/i,/2的对称点在边所在的直线上，

设点A关于人的对称点为Ai(xi,yi),

点A关于〃的对称点为42(X2,”).

'4+xiyi~~1

1=0,

22xi=0,

则，解得

yi+1Ji=3,

-1=

4—1,

所以4(0,3),

又易得点A关于/2的对称点A2的坐标为(一2,-1),

y—3x—0

所以边所在直线的方程为-l-3=-2-0*

即2x—>+3=0.

【B级能力提升】

13.已知点(1,一1)关于直线Qy=x的对称点为A,若直线/2经过点A,则当点

3(2,—1)到直线/2的距离最大时，直线22的方程为()

A.2x+3y+5=0B.3x—2y+5=0

C.3x+2y+5=0D.2x—3y+5=0

答案B

解析设A(a,b),则＜

b-\a+i

、2=2'

a=-1,

解得，,所以4—1,1).

仍=1,

设点伏2,一1)到直线〃的距离为d,

当d=|AB|时取得最大值，

此时直线/2垂直于直线AB,

所以直线〃的斜率左=—；=—T-

KAB-1—