2023年四川省成都市统招专升本高数自考真题(含答案)

2023年四川省成都市统招专升本高数自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

1.

设积分曲线L为.i+v=4,则对弧长的曲线积分电1）&=（

A.8KB.10nC.12nD.147r

2.

.微分方程单+2”=e4满足y（0）=0的特解为（）

A.y=_re"'B.y=—j-e-J

C.y=2xe~r'D.y=-2xe~r

3.

与向量（2,1.2｝同向的单位向量是（

.（2I2）122■,

，可1■司u（亍司

r.i212,（122）

4.

y=x—cos.r（0《i《/）的拐点为（

。信量）D.不存在

5.

f54A

已知矩阵A=.则|(AB)-1|=）

17

B-n7D4

6.

211'

312的逆矩阵Af=().

1-10

111i

-1一工7177

11

A.1B.1-1

一"2

w2

-277-2T

11

7i7

1

C.1D.1

T一2-7

-2g-22

T一"7一2

7.

由方程=限心确定的隐函数/=的导数表=

)

c.xyD••三

8.

%

lim.r2(1—cos()

A—B.--j-c.oD.CO

,2

9.

21+3.7V1,

函数1/（.r）=v2,x=1♦则lim/(.r)为()

1

,-1.?>1.

A.OB.2C.5D.不存在

10.

函数f（r）=1十arcsin：在其定义域内是（）

A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.有界函数

11.

微分方程.rdv+di=e*dr的通解为()

A.y=Gre'B.y=W+C

C.y=—In(1+0)D.y=—ln(l+x)+C

12.

函数kI,在（I」,内()

A.单调增加B.单调减少C.有极大值D.有极小值

13.

设/(4)则，(/)=

()

〃/+5r

、6.rp7+5.r~「3.r[i6.r

28/+56.r281+57+5〉

14.

40^lim/(=e.limg(1)=2.则必有()

''k\.

A.lim「fix)+g(.r)1=ooB.一《(/)[=0

一'”‘一.；"

C.lim———7—r=0D.Q)为非零常数)

■•<„JCr)+g(J)…,，

15.

设函数/(x)=+3D九贝U/Cr)=

r-*i>

A.e"+3ie"B.eij-3ie"

C.3.reljD.e—-3.re-3'

16.

下列行列式不等于零的是

123123

A.111B.222

—0.8-0.8-0.80.51.52.5

153一11-1

C.121D.4一12

0.542.512一5

17.

曲线》，=公）的拐点为()

B.(2.—e2)C.(2，)D.(2.一J)

・N)e

18.

一心+1

工#1,

已知函数/(“•)=«-1'-1则在点z=1处,下列结论正确的是（

2,h=1,

A.a=2时./(#)必连续B.a=2时JQ）不连续

C.a=—1时・/(、丁)连续D.a=1时・/（了）必连续

19.

若函数/(/)满足/(x)=M+4T/Q)dc则f(.r)=

A.x2+4-B..r2+4-C./+,D.--J-

3636

20.

下列函数在［-1.门上满足罗尔定理条件的是（）

、1

A.y-B.y=1+1x1

C.y=id—1)D.y=ln(1+j)

二、填空题（10题）

已知-1.唬二

21.

22.

a+2心一30

设w,〃为实数.当a=•〃=时,行列式3—ba+20=0.

56-1

23.

e"—a,x0»

设函数/（工）=y为（-8,+8）上的连续函数•则a=

ar+acos^,x>0

已知函数J（x）=工•，则jf

24.

如果lim（，4.，—1—aT—〃）=0•则a=

।-»4--

25.b=

'2x

设/（之）连续，且/a）&=i+与，则/（8）=

J0

26.

向量a=\1.2.1}与向量6={2.2.1）的夹角余弦是

27.

已知微分方程+ay=-的一个特解为尸=1―，则a=

28.

3

曲线），的凸区间为

/+4

29.

2

c‘一1

极限lim

..-ocos.r—1

30.

三、判断题(10题)

极限lim普：=2.

31.2sin4rA.否B.是

32若当才*时，连续函数/(1)的极限存在为a,则f(jo)=u.

B.是

函数y=arctan(j--1)的最大值是

33.1A.否B.是

-sin(.r+cos.r)dj=0.

34.d-rJ-'A.否B.是

35.

才=1是函数八])=一一1。的第一类间断点.<)

A.否B.是

36.

6.设函数/(J)=siru-.j£[“,〃]•由拉格朗日巾值公式得存在c6Q,6),使sin。—sina

=cos?•(b—a).()

A.否B.是

在区间[-1,口上.函数/■)=.“3满足罗尔定理.

37."十1A.否B.是

38.

，./=7,

参数方程1在I=五处的切线方程为I+y—1=0.()

Iy=1+sin/

A.否B.是

39.

，=0为函数/(r)=sinxsiny的可去间断点.()

A.否B.是

40.

导数值/'(Ho)=(fGo))'.()

A.否B.是

四、计算题(5题)

计算不定积分/TKdr

41.

计算定积分工也.

JV丁

42.

43.

24.设抛物线*=“1+岳•+«过原点,当0〈1时.)，20•又已知该抛物线与，轴及

.r=1所围图形的面积为试确定使此图形绕，轴旋转一周形成旋转体的体积最小.

44.

：rL—2.r2+.r；＜=1.

当人取何值时.非齐次线性方程组2彳।+必一力=入.有解,若有无穷解•求方程组

4彳।—+17=A

此时的通解.

45.

z20,I

1+4x2

求定积分「JQ')d.r.

设/(.r)=«

_e_j-<0.

1+e''

五、证明题(2题)

46.

设函数f(设在闭区间［0,1］上连续，在开区间(0,1)内可导，且/(0)=0,/(1)=2.证

明：在(0,1)内至少存在一点&使得/'(前=2E+1成立.

47.

设函数/")在［1.3］上连续.在(1,3)内可导.且/(3)=0.证明：至少存在一点

1€(1，3).使"'($乂*+/(0=0.

六、应用题(5题)

48.

25.将周长为2P的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,矩形的边长各为多少时，才可

使制柱体的体积最大？

49.

JUG表示由曲线)=In”及直线I+y=1,>•=1围成的平面图形.

(1)求G的面积；

(2)求G绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积.

50.

为倡导低碳生活,某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动.若

厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为a、〃万元时•则消费者购买产品获得相应的补贴分

别为击wlnd+b)万元(，〃>0且为常数).已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的

产品投放到市场,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元，参考数据；ln4y1.4)

(1)设投放B型产品的金额为I万元,请写出这次活动中消费者得到的总补贴函数L(.r).

并求其定义域.

(2)当，〃=!■时,当投放H型产品的金额为多少万元时.消费者得到的总补贴最多,并求

出最大值.

51.

.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度

a(km/h)的函数解析式可以表示为:y=-^―.r3-+8(0<.r<120),已知甲、乙两地

相距100km.当多汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？

52.

20,设需求函数为P+0.1Q=80,成本函数为C(Q)=5OOO+2OQ,其中Q是商品的需求

量,P为商品价格，计算边际利润函数,以及Q=150,400时的边际利润,并解释其经济意义.

参考答案

1.C

［答案］c

【精析】令/=2cosf.y=2sinf"G［0,2兀_・则

r*_______it*______________Ry

i(I/J**+y~+1)ds=(2+1)\/4sin'Z+4cos'/d/=6d/=12TT.

JLJ(tJu

【精析】由公式得J=ef也(C+卜)/也th)=e-/(C+x),

2A令-r=°，得y=('=°•故所求特解为V=.

3.A

［答案］A

【精析】，2?+1+22=3,故与《2.1,2｝同向的单位向量为

।o6o

4.C

［答案1C

【精析】y=H-siiu-.jT=cosu-.令y"=0得a=£.y传）=专.当0VhV］•

/>0.当<工V兀时,/<0.所以曲线的拐点为信后）•故选°

5.A

【精析】|A|=7.|B|=-3.|（ABT1|=|厘.4T|=1=-±

IAII"I，I

6.D

【精析】因为IA1=2*故A可逆（逆矩阵存在）.得

—4———

22

7.A

［答案1A

【精析】两边微分.得.»<1>+_y<b——<以精+N&r），即（：-3）<Lr=1i■卜3,

所以孚=一二.故应选A.

dyy

［答案］A

【精析】因为当if8时，1-cos'

所以lim、//1—cos—=limj'•Py=5.故应选A.

8A一\「2r2

9.D

［答案］D

【精析】因为lim/(u)=lim(2j+3)=5・=lirn(jJ—1)=0.lim/(.r)丰

lim/O所以lim/Q）不存在.

10.D

匚答案1D

【精析】因为aresin14号是有界的.所以《)=1+arcsin/是有界函数.故应选D.

11.C

t精析】由.rdy+da-=evd.r得-rdy=(e，-1)dr.分离变量.得『、丫.=".两边积

W-1X

分f苫彳=f空，其中f孑彳=［产=•=fyL^def,故可得.y=一片(1+

5

Je—1JJ:Je--1J1—eJe--1

Cr),故选C.

12.A

［答案］A

【精析】］=(1-一需21)f+,1＞o.因此＞，在(T,i)内单调增加，故

应选A.

13.A

［答案］A

2

【精析】令/=白•则T=，故/(［=/(/)=------2j—=如则f(r)

L.1Zzn।_/14।5

7+。(万＞

6.r

―28〉+5,

14.D

［答案］D

【精析】lim/(JT)=8.limg(z)=8,显然limA/G)=Alim/Xw)=8,其他三项均

L，L.%L%L.,

不一定成立•比如令/(w)=工・*(1)=—-t.r,)=0.故应选D.

JCx

15.A

［答案］A

3

【精析】/(J)=limj(1+3/)^=JClim(l+3,声"=x(lim(1+3/)^)'=ie",则

/'(.r)=e"+3.re”.

16.D

［答案］D

123123

【精析】显然A项等于0；B项中2220-2-4=0：C项中

0.51.52.500.51

153032-11一103-6

121=121=0：4一12=0一922=12.故选D.

0.542.503212—512-5

17.A

【精析】yf=-jre-^，>‘"=一e-x——.re-x)=.re-x-2e-x=e-x(,r-2).

令/=0得l=2,且在①=2左右两侧凹凸性改变•又当1=2时・y=Ze-・即拐点

为(2.卦

18.B

【精析】要使函数/(.r)在y=1处连续•则有limfQ)=/(I).EPlim、+1=2,而

当a=2时，lim-----十1=lim-------=］im(、r——1)=0#2,故当a=2时，/"(.r)

不连续•故选B.

［答案1A

【精析】令|=/.则/(J-)=*/+/，

所以I=|1/(,r)d.r=「/&•+《/=5+［/，

JoJ1>LoL

解/=5•.则f⑺=-:,故应选A.

19.A§

20.C

［答案］C

【精析】选项A在i=0处无定义.选项B在-r=0处不可导.选项D在，=一1处

无定义,只有选项C符合题意.故选C.

21.

e’

［答案］一导

25

【精析】方程两边同时对才求导得1十23卑=。.则毕=一£

dwdj-Ly

22.

［答案］-2.3

4+2I)-30

a+2。一3

【精析】3-ba+20=(-1)•(一1产

3一/)a+2

56一1

=—C(a+2)2—(〃一3)(3—Z>)J

=—［(a+2)?+(〃-3尸］=0.

则a=-2,〃=3.

23.

［答案］;

【精析】因函数在(一oo,+s)上连续，故函数在分段点1=0处一定连续，则

limf(r)=lim/(x)=/(0)；

j-*01~*0一

而limf(H)=lim(x+acos2x)=ajim/(z)=lim(e"—a)=1—a,f(O)=1—a,

+

r-*0L。-LO-

故a=1-a,a=J.

24.1/x

【精析】因为义工）=1,则/=3所以f［f6)］=•*)=+•

25.2

(4.r-—1)—(ar

【精析】lim(/I/—1—a.r—h)=lim

x/—1+ax+b

(4——2abx—(b:+1)

y/4x~—1+ax十〃

(4-a2).r-2a6-^—

lim

/n4——r+.aI.---b-

、A.厂①

=0.

所以4—a=0,—2ab=0,11［t］上式知a2.解得a=2・〃=0.

26.24

［答案124

【精析】等式两边对~r求导可得，2/（2_r）=3/./（2x）=^r2.当2H=8时.①=4.

所以/（8）==24.

27.

［答案］噌

1O

，性、4八+缶小“加Ca・b1X2+2X2+1X17V6

【精析】设a为夹角为。,则CO©=——rr-z-r=,=——,，…二=

4II方a+2,+1，.722+22+I218

28.-1

【精析】〉=/e，，«/=+.2d代入微分方程y'+"=/，得1+/—+ue1=e，,

（1+=0.解得以=-1.

29.

［答案］（—等.竽）

【精析】根据题意•曲线的定义域为（一8.+8）.

,-6.rtt_6（3./—4）

（》+4）2'>0+4>

人”--Arnii24^25/3-

vy<0，则—<J<.

MM

故曲线的凸区间为（一零•空）.

JJ

30.

［答案］-2

【精析】hm=lim=—2.

-0COS1-1i一口19

一工£

【精析】lim蹩=lim”=1

3］NJ"。sinLz'J>o4.rT

【精析】V/（.r）为连续函数，lim/（X）=/（）=a.

32.Y

【精析】v=arctan（才一1）的隹M域是（一今号）,没有最大值.

33.N

【精析】由于定积分fsinl+coq)di是个常数•故其导数为0.

34.Y

35.N

［答案］x

【精析】"］)=F二、=:二一兴尸二2•所以工=2-=-1是间断点..r=1

不是间断点.

36.Y

【精析】:/(/)=sin/,・•・/(］)在上连续，在(a，6)内可导，且/(.r)=cos/,

：•由拉格朗日中值公式得存在SW(a而，使吗—sina="芟，即sin6_sinti=

b-a

cos^•(6—a).

37.Y

【精析】因为在上连续，在(一1.1)上可导，且/(-1)=/(1)=1,所以

八))满足罗尔定理.

38.N

［答案］x

dlx

dy

-=

【精析】d-1卓=c。",所以K=

d.z

dr

所以t=灭处的切线方程为y—1=—1(J—K).即才十y—1—IT=0.

39.Y

［答案］"

【精析】当I-*0时,sin.r-*O.sin上有界.则limsirkrsin—=0.乂因为/(.r)在ar=0

处无定义，所以1=0为/(.r)的可去间断点.

40.N

［答案］X

【精析】/")=lim八］)二15)=/(.「)•而(/(*))'=0,因此/'(-)

.ra,,.】才uI4・小

w(/(*)

41.

【精析】［./•*，仆一/d/=IJ*•/l-./d.r

=j-y(4—T■—4)(4—jJd(4—J2)

j乙

-yj[(4--4(4-.r2)'?]cl(4-.r')

=1玲(4-＞洌

NIJ3

=4-(4—./”—^-(4—.r*)+(】，

03

42.

【精析】令/=sin/d,=coszd/,则

1—x2j产cos2/।1号1—sin2/*

dj=一出=-d/

JfsirrfJfsin2/

=匕esc2fdz—j：Idf

=彳—A=i_IL

43.

【精析】因为抛物线v=a/+/〃+，过原点•有，=0.乂当0《才41时,y》0.

故该抛物线与才轴及r=1所围图形的面积为

|（＜u+hr）d.r=-y,

JP3

于是2a+34=2・

该平面图形绕i轴旋转一周膨成的立体体积为

V=TT|（a.r+bx）dx

=八（4-a2+gab+4■叫

\□Z3/

=工(6。2+15ah+10//)

壬「6az+10a(1—a)+当(1—以)2(1-a)

3

aIja+10

要使V’最小,令a告.此时6=/

于是a=-0〃==0时.此图形绕“轴旋转一周形成旋转体的体积最小.

4Z

44.

【精析】对增广矩阵B作初等行变换:

1-21:111-21：1

r'—2r)

B21—1A05—3：A—2

ri--bj

4-31A05—3)一4

1-211

05-3A—2*

000-A-2

当且仅当六一/一2=0.即入=-1或2时•方程组有解.

11

10

1-2112-T一亍

5

①当义=一1时.8-►•55-3-31

0-y-亍

Q'0005

0000

得到与原方程组同解的方程组为

11

55

33

55

55

令-瓦•则可得方程组的通解为3+3为任意常数.

5

0

01

1-211

②当;1=2时.B--()5-303

00

□

000

0000

则与原方程组同解的方程组为

II.

3

一“

o

-

51

令。=2,则可得方程组的通解为心=^1+0•后为任意常数.

.r；(50

1

45.

【精析】原式=「占丁丁+广，J&

Jt］+eJo1+41

=ln(l+e，)|：+1|+"&r

=ln2—ln(1+e-1)+-1-arctan(2j-)|

=In2—ln(1+e-1)+

o

46.

【证明】构造函数F("=f(z)—/,

因为义工)在闭区间［0.1］上连续,在开区间(0,1)内可导，所以函数F(外在闭区间

［0,1］上连续，在开区间(0,1)内可导，且F'(z)=八］)一2-

于是FQ)在［0.1］」二满足拉格朗日中值定理的条件.故在开区间(0,1)内至少存在一

点岂使得

F0=口'

将/(0)=0,./(l)=2代人上式.得

F，⑷=F(1二f(0)=［八］)一］］_［/(0)_0］=i,

即『'(3—2f=l.

于是/(e)=2e+1.

47.

【证明】令F(.r)=/(i)lnn£[1.3].

因为F(为在[1.3]上连续，在(1.3)内可导.

F(l)=/(l)lnl=0,F(3)=/(3)ln3=0,满足罗尔定理的条件.

所以至少存在一个£使得F(£)=0•其中S0(1.3).

又F'(9=/(Qing十马=0.

q