2024年中考考前数学集训试卷31及参考答案A3版

第1页 第2页第3页第4页 第5页第6页2024年中考考前集训卷31数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列各数的相反数中，最大的是（

）A． B． C．1 D．2．如图所示，该几何体的俯视图为（

）A． B． C． D．3．据中国国家铁路集团有限公司消息：在2024年为期天的春运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次，日均发送人次．将用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．4．直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（

）A． B． C． D．5．陇南康县王坝生态民俗旅游区，环境优美，群山叠翠，被誉为“陇上田园、诗画王坝”．下面四个艺术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．6．若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．7．不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（

）A． B． C． D．8．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（）

A．55° B．60° C．65° D．70°9．如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（

）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数的图象在轴上方的部分与轴围成的区域（不含边界）为．例如当时，区域内的整点个数为1，若区域内恰有7个整点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：．12．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则．13．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为．14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．15．如图，菱形的边长为2，以C为圆心，为半径画弧至点D，恰好经过点A，再以A为圆心，为半径画弧至点，恰好经过点，求图中的阴影面积．16．如图，线段与相交于点E，保持，已知，，则的最小值是．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）计算(1)解不等式组；(2)化简．19．（6分）如图，点、、、在一条直线上，且，．(1)求证：；(2)求证：四边形是平行四边形．20．（8分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m，n的值；(2)对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是(填写“甲”或“乙”)；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为和；(3)估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．21．（8分）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)

(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．22．（8分）如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，．(1)求证：是的切线；(2)若，．①求的长；②求的半径．23．（10分）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等．(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？24．（10分）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．(1)求的值；(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标；(3)以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．（12分）如图1所示，抛物线与直线相交于、两点（点在轴右侧），与轴相交于点．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，将抛物线以每秒个单位（）沿射线方向平移，5秒后得到新的抛物线，抛物线与轴相交于、两点（点在点左侧），与轴相交于点．求的长度（用含的式子表示）；(3)在（2）的条件下，令，求的最小值．26．（12分）（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边上，，垂足为点G．求证：．【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长到点H，使，连接．求证：．【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，求的长．2024年中考考前集训卷31数学·答题卡准考证号：准考证号：姓名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填缺考标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂注意事项第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂）一、选择题（每小题一、选择题（每小题4分，共40分）1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A][B][C][D]4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][D]7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][D]10.[A][B][C][D]第第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答）二、填空题（每小题二、填空题（每小题4分，共24分）11．____________________12．____________________13．____________________14．___________________15．___________________16．___________________三、解答题（本大题共10小题，共86分）17．（6分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（6分）19．（6分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（6分）19．（6分）20．（8分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21．（8分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21．（8分）22．（8分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！23．（10分）24．（10分）23．（10分）24．（10分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！25．（12分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！25．（12分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！26．（12分）26．（12分）2024年中考考前集训卷31数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）12345678910DBCDCCADCC第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．yx−612．2;13．k≥32且14．12/0.515．8π316.7.三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）【详解】解：π−3=1+2−1+4------------------------------------3分=6．------------------------------------6分18．（6分）【详解】（1）解：x解不等式①可得：x>0，------------------------------------1分解不等式②可得：x>−4，------------------------------------2分所以原不等式组的解集为：x>0．------------------------------------3分（2）解：a−1=−a−1=−=−a​+2=−a​−2a19．（6分）【详解】（1）证明：∵AB∴∠又∵AF=CD∴AF+CF=CD+CF即AC=DF，------------------------------------1分在△ABC和△DEFAB=DE∠∴△ABC∴∠ACB=（2）证明：由（1）得△ABC∴BC=EF，∠ACB=∠∴BC∥∴四边形BFEC是平行四边形．------------------------------------6分20．（8分）【详解】（1）解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m=9.4；------------------------------------1分根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以n=10．------------------------------------2分（2）解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．-----------------------------4分②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．------------------------------------6分（3）解：7.6千克=7600克，（个)，800÷5=160（串)，------------------------------------7分答：能制作160串冰糖葫芦．------------------------------------8分21．（8分）【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N

------------------------------------1分由题意可知，CD=16cm，在Rt△CDN中，sin∠∴CN＝CD·sin∠答：点C到直线DE的距离约为13.8cm．（2）解：如图3，过A作AM⊥DE，交DE的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为

∴CN=FM，CN∥在Rt△ACF中，∠AFC=90°，∠A=∠BCN=70°−30°=40°，AC=AB−BC=17−7=10∴AF=AC·cos40°≈10×0.77≈7.7cm，∴AM=AF+FM=7.7+13.8=21.5cm．答：点A到直线DE的距离约为21.5cm．------------------------------------8分22．（8分）【详解】（1）证明：∵，∴∠D=又∵BC∴∠A=∴∠A=∵BE=BF，∴∠BEC=∠∵AB为⊙O∴∠ACB=90°∴∠BEC+∴∠F+∴∠ABF=90°，∴OB⊥∵OB是圆的半径，

∴是⊙O的切线；------------------------------------4分（2）解：①由（1）得：BE=BF，∵AB为⊙O∴BC⊥∴CF=CE=12EF=6∵∠ABC+∴∠F=在Rt△∵cos∠∴BF=CFcos②在Rt△BCF中，BC=B在Rt△ABC中，∴AB=BCcos∴⊙O的半径为203．23．（10分）【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是x+30元．根据题意，得1000x=解得，------------------------------------2分经检验，是所列分式方程的根，------------------------------------3分30+30=60（元），∴每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元．------------------------------------4分（2）解：设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍100−a副．根据题意，得：a≤2100−a，解得a≤2003设花费的资金总额为W元，则W=30a+60100−a∵−30<0，∴W随a的增大而减小，------------------------------------8分∵a≤2003且∴当a=66时，W取最小值，W最小=−30×66+6000=4020∴要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元．------------------------------------10分24．（10分）【详解】（1）解：，，E为AD中点，，------------------------------------1分设，又∵DC，，，；------------------------------------2分（2）解：∵由（1）知k=4，∴反比例函数的解析式为y=4∵点P在双曲线4x上，点Q在y∴设，，①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则，解得x=1，此时，；如图2，若ABQP为平行四边形，则，解得x=−1，此时，；②如图3，当AB为对角线时，AP=BQ，且AP∥∴，解得x=−1，，；故，；，；，；------------------------------------5分（3）解：结论：的值不发生改变，------------------------------------6分理由：如图4，连NH、、NF，是线段的垂直平分线，，∵四边形AFBH是正方形，，------------------------------------7分在△BFN与△BF=BH∠∴△，，------------------------------------8分四边形中，，而，所以，，所以，四边形内角和为360°，所以．------------------------------------9分，∴．------------------------------------10分25．（12分）【详解】（1）解：当x=−4时，y=3∴点，------------------------------------1分将，C0,−253代入得16a+c=−3c=−解得a=13∴抛物线F1的解析式为y=1（2）将抛物线F1沿射线AB方向平移5b∴抛物线F2是由抛物线F1向右平移4b个单位，再向上平移∴抛物线F2的解析式为y=1令y=1即13解得：x1=4b−25−9b，∴DE=x（3）令x=0，则y=1∴F0,∵C∴CF=16由（2）知，DE=225−9b∴=163∴当b=−−62×163=926．（12分）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∴∠CDF+∠∵AE⊥∴∠DGE=90°∴∠CDF+∠∴∠AED=∠∴△ADE∽△（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,AD∥∵，∴Rt△ADE∴DE=CF，∵CH=DE，∴CF=CH，------------------------------------6分∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH=又∵DC=DC，∴△DCF≌△∴，∵AD∥∴∠ADF=∴；------------------------------------8分（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，------------------------------------9分∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC,AD∥∴∠ADE=∴△ADE≌△∴∠DGC=∵AE＝DF，∴DG=DF，∴△DFG是等边三角形，∴，∵CF+CG=FG，∴CF=FG−CG=11−8=3，即CF的长为3．------------------------------------12分2024年中考考前集训卷31数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．【答案】D【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，首先求出所给个数的相反数，然后根据有理数大小比较的方法，判断出所给的各数的相反数中，最大的是哪个数即可，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．【详解】解：、、1、的相反数分别是、、、1，，所给的各数的相反数中，最大的是．故选：D．2．【答案】B【分析】本题考查了几何体的三视图，结合俯视图是从上面往下面看到的，据此即可作答．【详解】解：结合几何体的特征，俯视图是长方形且中间是有一条实线，即是俯视图为，故选：B3．【答案】C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将用科学记数法表示应为，故选：C．4．【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，再由邻补角互补即可得出结果．【详解】解：如图所示：，∵，∴，由题意得，直尺的两边平行，∴，∴，故选D．5．【答案】C【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，）和轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；）进行逐一判断即可．【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．6．【答案】C【分析】本题考查的是不等式的性质．根据不等式的性质解答即可．【详解】解：，，．故选：C．7．【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，两次都摸到蓝球的概率为．故选：A．8．【答案】D【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数．【详解】∵解：四边形是平行四边形，∴，，则，∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，∴是得垂直平分线，则，所以，那么，故选：D．【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键．9．【答案】C【分析】本题考查动点问题的函数图像，一次函数的图像，平行四边形的性质．注意分段考虑．解题的关键是数形结合的应用．根据题意分三段来考虑，点沿移动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．【详解】解：如图，过点作交的延长线于，设，与之间的距离为，点沿移动，，是定值，则是的一次函数，且的面积逐渐变大；点沿移动，，与是定值，即的面积不变；点沿移动，，是定值，则是的一次函数，且的面积逐渐减小；故选：C．10．【答案】C【分析】根据题意对时的二次函数图象进行分析，发现每次向上平移1即将上一次的边界整点包括在内，找到规律即可求得的取值范围【详解】当时，区域内的整点个数为1，此时令，解得，令，解得故函数的图像在轴上方的部分与轴围成的区域中，整数点有有三个整数点在边界上如图，当时，此时顶点为，在区域内有点四个整数点，边界上有三个整数点，当时，将时，在边界上是的整数点包括进来，即此时恰好有7个点，所以故选C【点睛】本题考查了二次函数平移，二次函数的图像的性质，找到规律是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．【答案】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：．故答案为：．12．【答案】【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称两点坐标特征，根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数这一特征求解即可．【详解】解：已知点与点关于原点对称，则，即故答案为：13．【答案】且【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．【详解】解：关于的方程有两个实数根，，解得：，，，的取值范围为且，故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．14．【答案】/0.5【分析】根据题意和图形，可以求得、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后即可求得的正弦值．【详解】解：由图可得，，，．∴，∴是直角三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．【答案】【分析】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形判定和扇形的面积公式的应用，根据已知得出是等边三角形是解题关键．先证得是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积求出即可．【详解】解：连接，交于点O，∵菱形的边长为2，，，，是等边三角形，，，，，，，，∴图中阴影部分的面积为：故答案为：．16．【答案】【分析】过点作，过点作交于，过点作于，连接，则四边形为平行四边形，从而得，，，在中分别求出，，则，由此可求出，然后根据可得出的最小值．此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确地作出辅助线构造平行四边形和直角三角形，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．【详解】解：过点作，过点作交于，过点作于，连接，如下图所示：，，，四边形为平行四边形，，，又，，在中，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，，，根据“两点之间线段最短”得：，即，的最小值为，的最小值是．故答案为：．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】6【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可．【详解】解：．18．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解不等式组、分式的混合运算等知识点，掌握相关计算方法和步骤成为解题的关键．（1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可；（2）根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：解不等式①可得：，解不等式②可得：，所以原不等式组的解集为：．（2）解：．19．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法．（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再根据，等量交换得，结合已知条件，根据全等三角形判定（边角边），得，即可得；（2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论．【详解】（1）证明：，，又，，即，在和中，，，．（2）证明：由（1）得，，，，四边形是平行四边形．20．【答案】(1)9.4，10(2)甲，②9.3，9.6(3)160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【详解】（1）解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以．（2）解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．②要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．（3）解：7.6千克克，（个，（串，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．21．【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm(2)点A到直线的距离约为21.5cm【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N

由题意可知，，在中，，∴．答：点C到直线的距离约为．（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，

∴在中，，，∴，∴．答：点A到直线的距离约为21.5cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键．22．【答案】(1)见解析(2)①10；②的半径为【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关定理并结合图形进行正确推理是解题的关键．（1）证明，根据切线的判定定理即可得到得到结论；（2）①由（1）得：，由为的直径得到，则，证明，利用即可得到答案；②在中，由勾股定理求出，由即可得到，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵∴，∴∵，∴．∵为的直径，∴，∴，∴．∴，∴，∵是圆的半径，

∴是的切线；（2）解：①由（1）得：，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，在中，∵，∴；②在中，，

在中，，∴．∴的半径为．23．【答案】(1)每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元(2)要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用．（1）设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元，根据题意列方程并求解即可；（2）设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍副，根据题意列关于a的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为W元，写出W关于a的函数，根据该函数的增减性，确定当a取何值时W取最小值，求出最小值即可．【详解】（1）解：设每副乒