《3.1.2椭圆的简单几何性质》课件与同步练习

3.1.2椭圆的简单几何性质（第一课时）第三章圆锥曲线的方程分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系根据所学知识完成下表xyF1F2POxyF1F2POa2-c2=b2复习引入

椭圆简单的几何性质-a≤x≤a,-b≤y≤b

知oyB2B1A1A2F1F2cab1、范围：学习新知椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成－x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成－y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成－x，同时把y换成－y方程不变，图象关于原点成中心对称。2.椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）其中坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.学习新知3、椭圆的顶点令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于为2a和2b。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cabx(0,b)(a,0)(0,-b)(-a,0)学习新知4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0<e<11）e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,椭圆就越扁2）e越接近0,c就越接近0,从而b就越大,椭圆就越圆[3]e与a,b的关系:思考:当e＝0时,曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？学习新知标准方程范围对称性

顶点坐标焦点坐标半轴长离心率

a,b,c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前总结新知123-1-2-3y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

基本应用它的长轴长是：

。短轴长是：

.焦距是：

。离心率等于：

。焦点坐标是：

。顶点坐标是:

。外切矩形的面积等于:

。

106860解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程明确a,b.2、确定焦点的位置和长轴的位置例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,例题讲评求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。（1）x2+9y2=81(2)16x2+y2=25(3)4x2+5y2=1巩固练习练习：已知椭圆的离心率求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。

m=1巩固练习例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；解:⑴方法一:设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0,n＞0,m≠n)，将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用椭圆的几何性质,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,于是焦点在x轴上,且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点,故a＝3,b＝2,所以椭圆的标准方程为

例题讲评例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤:⑴定位;⑵定量⑵或⑶

或例题讲评本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中,准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。

小结：方程图象性质范围焦点顶点轴离心率对称性F1F2xyF1F2xy﹙a﹥b﹥0﹚﹙a﹥b﹥0﹚︱x︱≤a︱y︱≤b︱y︱≤a︱x︱≤b(0,±C)c2＝a2－b2(±C,0)c2＝a2－b2﹙±a,0﹚﹙0,±b﹚﹙0,±a﹚﹙±b,0﹚长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2be=e=关于x轴y轴坐标原点都对称(4)P为椭圆上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值是

.3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）第三章圆锥曲线的方程标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a,b,c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)复习引入复习练习1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。①长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上②长轴和短轴分别在y轴,x轴上,经过P(-2,0),Q(0,-3)两点.③一焦点坐标为(－3,0)一顶点坐标为(0,5)④两顶点坐标为(0,±6),且经过点(5,4)⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上⑥椭圆的长短轴之和为18，焦距为6。3.已知椭圆的一个焦点为F(6,0）点B,C是短轴的两端点,△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程.2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是(）A、x2=4yB、x2+2xy+y=0C、x2-4y2=xD、9x2+y2=4D复习练习4、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为

。5、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为

。6、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分,则其离心率为

。复习练习7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率

。求椭圆的离心率通常有两种方法

①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c的值，利用公式直接求解；

②若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e．复习练习答案：C

[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.]典型例题例1如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm.试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm).

Hd例题讲评1.对于椭圆的原始方程,变形后得到,再变形为.这个方程的几何意义如何？新知探究OxyFHMl椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距离与它到直线的距离之比等于离心率.新知探究思考上面探究问题，并回答下列问题：探究：(1)用坐标法如何求出其轨迹方程,并说出轨迹新知探究椭圆上一点M(x0,y0)到左焦点F1(-c,0)和右焦点F2(c,0)的距离分别是F1OF2xyM|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0N新知探究F1OF2xyM

椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0

椭圆的焦半径公式是

|MF2|＝a-ey0

|MF1|＝a+ey0

xF1F2yOM新知探究(±a,0)a(0,±b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c椭圆上一点M(x0,y0)到左焦点F1(-c，0)和右焦点F2(c，0)的距离分别是|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0新知探究巩固练习

[0,12]

[5,21]课堂小结

标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率

a,b,c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)F1OF2xyM

椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0课堂小结

|MF2|＝a-ey0

|MF1|＝a+ey0

xF1F2yOM

3.1.2椭圆的简单几何性质（第三课时）第三章圆锥曲线的方程标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a,b,c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)复习引入1.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()复习练习B2.已知点P是椭圆 ＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为

.A复习练习15４.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹方程

。复习练习D

典型例题求椭圆的离心率的值(或范围)变式训练1：若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率.解:在△PF1F2中,∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,∴∠F1PF2=60°,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,巩固练习变式训练2：若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.典型例题典型例题(方法2)设A(0,b),B(a,0),F(-c,0),设△FAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A,B,F三点的坐标分别代入外接圆方程,典型例题反思感悟求椭圆离心率及取值范围的两种方法

(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.求离心率的范围时,应根据题意建立a,c的不等式,结合e∈(0,1)确定离心率的范围.1.（1）椭圆的左焦点是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e=

.(2)设M为椭圆上一点，为椭圆的焦点，如果，求椭圆的离心率。练习巩固2(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围.(2)如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P,则点P横坐标为c,连接PF1,PF2,则|PF1|=2c.因为△PF1F2为直角三角形,|F1F2|=2c,巩固练习3.如图，已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M,N.若过点F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为().巩固练习

6.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为

.巩固练习

课堂小结

标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a,b,c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)第四课时：直线与椭圆的位置关系3.1.2椭圆的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a,b,c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)复习引入F1OF2xyM

椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径。|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0

|MF2|＝a-ey0

|MF1|＝a+ey0

xF1F2yOM复习引入已知椭圆P为椭圆在第一象限内的点，它与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。复习练习复习练习题意：直线l:x+y-6=0到两定点的距离之和最小

能力练习典型例题

由△>0,得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.由△=0,得m1=25,m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.由△<0,得m<-25,或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.课本第114页练习第1题总结结论

例2.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.典型例题课本第114页练习第2题总结结论

解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造椭圆中的中点弦问题例题讲评点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差例题讲评

解法三：利用对称性两式相减，化简得直线方程例题讲评

设A(x,y),B(4-x,2-y)是位于椭圆上且关于点P(2,1)的对称点，则有

弦中点问题的三种处理方法(1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；(2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率.(3)利用对称性和中点坐标表示两端点坐标,代入方程相减.方法小结巩固练习２、弦长公式：设直线l与椭圆C相交于A(x1

，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝,其中k是直线的斜率１、判断直线与椭圆位置关系的方法：解方程组消去其中一元得一元二次型方程△<0相离△=0相切△>0相交３、处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”课堂小结

如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。oxyABM作业第五课时：有关椭圆的定值、最值问题3.1.2椭圆的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程一、定值定点问题典型例题

圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.方法总结(1)求椭圆C的方程；巩固练习（1）因为l为切线，所以Δ＝