2023年高考数学一轮复习讲义（新高考1）：平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积

【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与投影向

量的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两

个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量的方法解决某些简单的

平面几何问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的夹角

已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作万l=a,OB=b,则N4O8=6>(0W6>WTT)

叫做向量a与占的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与方，它们的夹角为仇我们把数量⑷|〃cos。叫做向量a与》的数量积,

记作a-b.

3.平面向量数量积的几何意义

设a,b是两个非零向量，它们的夹角是仇e与匕是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,

过油的起点4和终点分别作无所在直线的垂线，垂足分别为Ai，Bi，得到乖1，我们

称上述变换为向量。向向量方投影，瓦房叫做向量a在向量任上的投影向量.记为MlcosOe.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba

(2)(4a)0=2(a0)=a(Ab).

(3)(a+b\c=ac+bc.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi,yi),万=。2,以)，〃与方的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积atb=\a\\b\cos0xi%2+yii2

模\u\=yja"a\a\=yjxl+yl

_ab八%112+y1丁2

夹角COSu一In>I

⑷网C°Syjxi+yiylx^+yi

a±b的充要条件ab=0/工2+y，2=0

a〃b的充要条件司也一X2\l=0

|a创＜|a||臼

|a•例与⑷|例的关系ki%2+yodW、(%i+yi)(^+y2)

(当且仅当a//b时等号成立)

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+by(a-b)=a2~b2；

(2)(a±b)2=(r±2ab-\-b2.

2.有关向量夹角的两个结论

已知向量a,b.

(1)若a与6的夹角为锐角，则a协＞0；若a有＞0,则a与占的夹角为锐角或0.

(2)若a与》的夹角为钝角，则“协＜0；若〃协＜0,则a与》的夹角为钝角或兀.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

71

(1)两个向量的夹角的范围是0,2.(X)

(2)若〃•於＞0,则〃和)的夹角为锐角.(X)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(V)

(4)3切•C=a0©.(X)

【教材改编题】

1.(多选)(2022.海南省临高二中模拟)设a",c是任意的非零向量，则下列结论正确的是()

A.0a=0

B.ab=bc,贝!JQ=C

C.a6=0=a_LZ＞

D.(a+by(a—b)=\a\1—\b\1

答案CD

2.已知向量a,方的夹角为60。，⑷=2,|例=1,则|°+2例=.

答案2小

3.已知向量a,Z＞满足31al=2|臼=6,且(a—2Z))_L(2a+»,则a,6夹角的余弦值为.

答案

解析设a,》的夹角为e,

依题意，(。一25)•(2〃+5)=0,

贝I2〃2—3〃力一2万2=0,

故2X4-3X2X3-COS。一2X32=0,

贝！］cos6=—1.

■探究核心题型

题型一平面向量数量积的基本运算

例1(1)(2021•北京)a=(2,l),b—(2,—1),c=(0,l),则(a+5>c=；ab—.

答案03

解析Va=(2,l),b=(2,-1),c=(0,l),

.*.«+&=(4,0),

.,.(a+Z»)-c=4X0+0Xl=0,

。0=2X2+1X(—1)=3.

(2)(2022・广州模拟)在平面四边形A3CD中，已知赢=虎，P为CD上一点，CP^3PD,|AB|

=4,|由)|=3,后与病的夹角为仇且cos9=§,则泰•丽=.

答案一2

解析如图所示，

D_P______C

"：AB=DC,

：.四边形ABCD为平行四边形,

；赤=3雨,

-►—>—>1—>—►

：.AP=AD+DP=^AB+AD,

―►―►―►3-►―►

PB=AB-AP=^AB~AD,

又丁|赢|=4,|病|=3,

2

cos

2

则ABAO=4X3X§=8,

：.AP-PB=(Ab+^A^-(^AB-AD^

^ABAD-A^+^AB2

i3

=1X8—9+042=—2.

【教师备选】

1.(2019・全国II)已知崩=(2,3),AC=(3,f),\BC\=1,则赢•说1等于()

A.-3B.-2C.2D.3

答案C

解析因为病=元一通=(1,f—3),

所以\BC\=^/12+(?-3)2=1,

解得r=3,

所以就=(1,0),

所以Q.正=2X1+3XO=2.

2.在边长为2的正三角形ABC中，M是2C的中点，。是线段AM的中点.①若砺=x函+

yBC,贝!］尤+y=；②裕布=.

答案3:1

解析①是3c的中点，

是AM的中点，

/.BD=^BA+^BM=^BA.+^BC,

113

--

X-y-4-4

25

②:△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，

：.AM1BC,且BM=1,

BDBM=\BD\\BM\cosZDBM=\BM\1=1.

思维升华计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义:a-b=\a\\b\cos〈。，b〉,

(2)利用坐标运算，若Q=(%I,%),b=(x2,yi),则a协=xiX2+yiy2.

(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

跟踪训练1(1)(2021・新高考全国II)已知向量a+b+c=O,|0=1,\b\=\c\=2,ab+bc+ca

答案V9

解析由已知可得(a+Z>+c)2

=a2+ft2+c2+2(ab+b-c+cd)

=9+2(〃8+>c+ca)=0,

9

因此〃0+>c+ca=-]

A1AAA

(2)(2020•北京)已知正方形ABC。的边长为2,点P满足AP=1(AB+AC),则|PD|=：

PBPD=.

答案V5-1

解析建立如图所示的平面直角坐标系，

——►1―►——►

'：AP=2(AB+AC),

；.尸为BC的中点.

二点P的坐标为(2,1),点。的坐标为(0,2),点3的坐标为(2,0),

；.|丽|=巾，访=(0,-1),丽=(—2,1),

：.PBPD=~1.

题型二平面向量数量积的应用

命题点1向量的模

例2已知向量“，％满足⑷=6,|臼=4,且a与入的夹角为60。，则|a+"=

\a-3b\=.

答案2寸历6小

解析因为|a|=6,|臼=4,a与6的夹角为60。，

所以a5=|a||臼cos〈a,b〉=6X4X]=12,

(。+b)2=〃2+2〃.)+82=36+24+16=76,

(。一38)2=。2-6。协+9)2=36—72+144

=108,

所以|a+臼=2[1^，I。-3"=65.

命题点2向量的夹角

例3(2020・全国HI)已知向量〃，万满足⑷=5,|例=6,。6=—6,则cos〈a,a+b)等于(

31「191719

A.35B・35C35D35

答案D

角翠析9：\a+b\1=(a+b)2=a2+2ab+b2

=25-12+36=49,

A\a+b\=7,

a(a+1)层+a仍

cos(a,a-\~b)

|〃||〃+例|a||a+例

25-619

=5X7=35'

命题点3向量的垂直

例4(2021•全国乙卷)已知向量。=(1,3),6=(3,4)，若(〃一M)_Lb,贝!U=

3

答案5

解析方法一〃一劝=(113九3—4%),

,:(a—Ab).Lb,：.(afb>b=0,

即(1一3九3一4吩(3,4)=0,

3

・・・3-94+12-164=0,解得4=亍

方法二由(a—M)_LZ>可知，(〃一劝)仍=0,即a仍一劝2=0,

n而,ab(1,3>(3,4)153

从而九一至一—再不~-25-5-

【教师备选】

1.已知非零向量。，力满足⑷=2|例，且(a—5)上"则。与万的夹角为()

A76CB73CCT27rDT57T

答案B

解析设a与b的夹角为a,

,：(a—b)Lb,

；・(a—b)b=。,

*.ab=b2,

/.|a|-|ft|cosa=|例2,又⑷=2忸I，

••cosa2，•ck£[0,兀],

2.已知ei，是两个单位向量，且|d十%|=3，则|d一《2|=.

答案1

解析由忸1+改|=小，两边平方，

得e彳+2ei・C2+£=3.又ei,。2是单位向量，

所以2eve2=l,

所以⑶-62|2=«彳一2纵・02+a=1,

所以⑶一02尸L

思维升华(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用及(4±方)2=|@2±2〃0+步|2,把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出

所求向量，再利用余弦定理等方法求解.

(2)求平面向量的夹角的方法

//•/>

①定义法：cos9=「而，求解时应求出〃仍，同，|例的值或找出这三个量之间的关系；

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

a_LZ>Oa)=0Q|。一"=|。+例(其中aWO,bW。).

跟踪训练2(1)已知单位向量a,b满足ab=O,若向量。=市〃+也"贝ljsin〈〃,c〉等于()

A正R正c亚D正

/A..3D.3.9i_x.9

答案B

解析方法一设a=(l,0),ft=(0,l),

贝Ic=(巾，地)，

,、ec巾

..cosc)一|a||c|一3'

Asin(a,c)=坐

方法二a-c=0(巾a+地方)

=巾(12+地a.b=巾,

|c|=7a+pb)2=q7a2+2济+=y/7+2=3,

.,、0c巾巾

..cos(a,c)—⑷|c|—1X3—3，

sin(a,c)

3-

(2)(多选)(2021・新高考全国I)已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cosp,—sin£),

P3(cos(a+£),sin(a+份)，4(1,0),贝!J()

A.|丽|=|旗|

B.丽=|袍|

C.QAOP3=OPlOP2

D.OAOPI=OP2-OP3

答案AC

解析由题意可知，

|OpI=^/cos2a+sin2a=1,

|OBI=^/cos2^+(—sin^)2=1,

所以|OB|=Q尸2l，故A正确;

TT

取a=4,则

取片竽,

则/J坐坐

则|而|W|葩故B错误；

因为O4OP3=cos（a+.）,

OP「OP2=cosotcosyS—sinotsin』=cos（a+A）,

所以方1丽=丽•尾，故C正确；

因为。4。尸i=cosa,

O尸2,OP3=COSWCOS(Q+£)—sin£sin(a+£)

=cos(a+2夕)，

取a=/。舌,

贝向.函著,旗.旗=cos*邛,

所以温.宿W配.晶，故D错误.

题型三平面向量的实际应用

例5（多选）（2022•东莞模拟）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图

所示）.假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为尸1，尸2,若朗|=尸2|,且尸1与

尸2的夹角为仇则以下结论正确的是（）

A.0i|的最小值为,G|

B.夕的范围为［0,兀］

C.当2时，|尸1尸当IGI

D.当e="时,|M|=|G|

答案ACD

解析由题意知，FI+F2+G=0,

可得FI+F2=-G,两边同时平方得

222

|G|=|FI|+|F2|+2|FI||F2|COS6

=2|FI|2+2|FI|2COS仇

所以|尸1|2=2（］［10soy

当6=0时，|肌|皿=；|。；

当6=飘，|Fi|=J|G；

9Jr

当6=了时，吗|=|G|,故A,C,D正确；

当。=兀时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以。6［0,兀），故B错误.

【教师备选】

若平面上的三个力Fi，F2,尸3作用于一点，且处于平衡状态，已知周=1N,眄|=逅普N,

肌与尸2的夹角为45。，求：

⑴尸3的大小；

⑵歹3与肌夹角的大小.

解（1）：三个力平衡，

；.跖+-0,

22

•,.|F3|=|FI+F2|=^|FI|+2FI-F2+|F2|

H2X1义驾正cos45叶（逅再

=、4+2小=1+小.

（2）方法一设用与西的夹角为0,

贝IjIf2|=3FI『+|F3|2+2|FI陋31cos仇

即也？虫=、T+q+小y+2x1X(1+V5)cos0,

解得cose=—g,

V6>e[0,7i],

.A5兀

••e=H

方法二设歹3与Fl的夹角为。，

由余弦定理得

小…一（写）正

=

侬叱。）=-2X1X（1+V§）—2，

\'0e[0,7i],.,.0—^-,

思维升华用向量方法解决实际问题的步骤

跟踪训练3（2022•沈阳二中模拟）渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A

出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|川=10km/h,水流速度的大小为|加

=6km/h.设vi与V2的夹角为120°,北岸的点N在码头A的正北方向，那么该游船航行到

北岸的位置应（）

北

+东

A.在A'东侧B.在A'西侧

C.恰好与A'重合D.无法确定

答案A

解析建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意可得也=（-5,5，§）,也=（6,0）,

所以也+也=（1,5小），

说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A'东侧.

拓展视野

极化恒等式

极化恒等式：设Q,力为两个平面向量，则有恒等式〃仍=:[（。+））2—（G—5）2].

如图所示.

（1）在平行四边形ABOC中，AB=a,AC=b,贝IQ协=/（|病『一|庆平）.

（2）在△ABC中，AB=a,AC=b,AM为中线，则Q协=|西2一；|病匕

例1在△A5C中，〃是3C的中点，AM=3,BC=10,则赢•启=.

答案T6

解析如图所示，由极化恒等式，易得嘉.启=Qr—远2=32—52=—16.

A

BMC

例2已知A8为圆/+产=1的一条直径，点尸为直线x—y+2=0上任意一点，则丽•丽的

最小值是.

答案1

解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x—y+2=0时，丽•丽有最小值，

即

丽.沌=9一曲=（的2-12=1.

例3已知a,8是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a—c>S—c）=0,则|c|的

最大值是（）

A.1B.2C.y[2D.当

答案C

解析如图所示，

设亦，丽

记。4=a,OB=b,OC—c,

M为AB的中点，

由极化恒等式有

(a-c)(*-c)=C4CB

=函—摩=0,

丽?1

4-21

可知MC是有固定起点，固定模长的动向量.

点C的轨迹是以A2为直径的圆，且点O也在此圆上,

所以|c|的最大值为圆的直径长，即为41

课时精练

应基础保分练

1.(2020•全国H)已知单位向量a,方的夹角为60。，则在下列向量中，与》垂直的是()

A.a~\-2bB.2a+Z>C.a—2bD.2a—b

答案D

解析由题意得|a|=|四=1,

设a,b的夹角为8=60。，

故a0=|a||Z||cos

对A项，(a+2b)b=ab+2b2

=舁2=|*0;

对B项，(2a+byb=2ab+b2

—2X^+1—2^0；

对C项，(a—2b)b=ab~2b2

13

=]-2=-产0；

对D项，(2a-切力=2a仍一方2=2X/—1=0.

2.(2022・石家庄模拟)已知向量a=(2,—2),Z>=(2,1),b//c,ac=4,则|c|等于()

A.2小B.4

C.5陋D.4^2

答案A

解析因为6〃c,

所以°=肪=(22A)(AGR),

又〃-c=4/l—22=2/1=4,

所以2=2,c—(4,2),|c|22—2yj-5.

3.(2022・沈阳模拟)若两个非零向量a,b满足|a+旬=|a—臼=2|a|,则a~b与b的夹角为()

7T兀2兀5兀

A6B-3CTDT

答案D

解析\a+b\=\a-b\=2\a\9等号左右同时平方，

得|a+例2=|°—例2=4⑷2,即|°F+向2+2a/=|a|2+-|2—2很+=4|a|2,

所以ab=0且|例2=3⑷2,

所以|a一例=加］工F

=、|才十|臼2—2a0=半向，

所以cos<a-b,b)=号镭

_-\b?__V3

―温112,

3|。卜|。|

5兀

因为(a—b,b}£[0,兀],所以{a—b,b)=%~.

4.已知〃=(—2/)，b=(k,-3),c=(l,2),若(〃一25)J_c,则与方共线的单位向量为()

A竽泻或(-乎啕

答案A

解析由题意得25=(—2—2%,7),

V(a-2b).Le,

(a—2b)-c=0,

即(一2—2£7>(1,2)=0,—2—2左+14=0,

解得k=6,

：.b=(6,-3),

2土涓h士竽书

5.(多选)(2022・盐城模拟)下列关于向量a,b,c的运算，一定成立的有()

A.(a+byc=ac+bc

B.(ab)c-a(bc)

C.aSW|aH臼

D.|a一例W|a|+|臼

答案ACD

解析根据数量积的分配律可知A正确；

选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；

根据数量积的定义，可知a5=|a||Z)|cos〈a,b'W|a"Z>|,故C正确；

|a一肝=|呼+回2—2(/仍=同2+|臼2一2间闷cos〈a,b>\a^+\b^+2\a\\b\=(|a|+\b\)2,

故|a一臼W|a|+|，|,故D正确.

6.(多选)已知向量a=(2,l),5=(1,-1),c=(机一2,-ri),其中m,"均为正数,且(。一5)〃c,

则下列说法正确的是()

A.a与占的夹角为钝角

B.向量a在》上的投影向量为半b

C.2m+n=4

D.7WW的最大值为2

答案CD

解析对于A,向量a=(2,l),b—(l,-1),

则a-Z»=2-l=l>0,

又a,5不共线，

所以a,6的夹角为锐角，故A错误；

对于B,向量a在匕上的投影向量为

~\b\'W=2b,B错误；

对于C,“一方=(1,2),若(a—力〃c,

则一”=2(m一2),变形可得2根+〃=4,C正确；

对于D,由2相+"=4,且"z,”均为正数，

得加〃=3(2加①)二r""">=2,当且仅当m=1,”=2时，等号成立，即加〃的最大值为2,

D正确.

7.(2021•全国甲卷)已知向量a=(3,l),》=(1,0),c=a+劭.若a_Lc,贝！I左=.

答案—¥

解析c=(3,l)+(£O)=(3+匕1),a-c=3(3+/)+lX1=10+3左=0,得上=一号.

8.(2020・全国I)设a,6为单位向量，且|a+臼=1,则|。一臼=.

答案小

解析将|〃+例=1两边平方，得/+2a.5+》2=1.

V«2=&2=1,

1+2a•1+1=1,即2al——1.

/.\a—b\=yj(a—b)2=yja2—2ab+b2

=\1—(―1)+1=小

9.(2022•长沙模拟)在△ABC中，BC的中点为。，设向量诵=a,AC^b.

(1)用a,)表示向量Zb；

(2)若向量a,8满足|a|=3,\b\=2,〈a,b)=60°,求赢的值.

―►1―►—►

解WAD=^AB+AQ

所以Ab=5+5.

(2)赢显=44+为

=\a1+\a-b

=^X32+^X3X2Xcos60°=6,

所以Q.Q)=6.

10.(2022•湛江模拟)已知向量机=(/sinx,cosx_1),n=(cosx,cosx+1),若y(x)=/w・〃.

⑴求函数兀1)的单调递增区间；

(2)在Rt/kA5C中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,若NA=90。，汽。=0,c=，5,CD

为N5CA的角平分线，石为CQ的中点，求8E的长.

解(l)fix)=m-n

=，§sinx-cosx+cos2x—1

=^sin2x+|cos2x-1

=sin(2x+1)-1.

令2x+*2H—2E+]/£Z),

则X£kn—y左兀+%(%£Z).

所以函数人x)的单调递增区间为

兀71

kit—y左兀+不(左£Z).

(2)/(C)=sin(2C+袭)-3=°，

sin(2C+^)=3，又Ce(0,舒，

所以0=宇

在△AC。中，CD=半,

在△8CE中，

BE=yl2?+宵^—2X2X专乂号=普■.

能提升练

11.（2022・黄冈质检）圆内接四边形ABC。中，AD=2,CO=4,3。是圆的直径,则A5由）等

于（）

A.12B.-12

C.20D.-20

答案B

解析如图所示，由题知NBAD=NBCO=90。，AD=2,CD=4,

：.AXJBD^(Ab+DC)Bb

^AD-BD+DCBD

=|AZ)||Bb|cosZBDA~\DC\\BD\cosZBDC

=|ib|2一|5b|2=4-16=_12.

（——、―一

12.在△ABC中，已知丝■+笺.正=0,且则△42。为（）

Wl|AC|J|AB|\AC\

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.三边均不相等的三角形

答案A

ATIATf.

解析"，2分别为与42,AC方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向AB!AC

\AB\|AC|港|\AC\

所在的直线为NA4C的平分线.

，一一、

..、［AB.AC一

因为二？十二7BC^O,

MAB|\AC\J

所以NA4C的平分线垂直于BC,

所以AB=AC.

・cos/BAC

\AB\|AC|

=T

所以cos/54c=3，ZBAC=60°.

所以△ABC为等边三角形.

13.（2022.潍坊模拟）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳

上的拉力分别是Fi，F2,且b1，尸2与水平夹角均为45。，|FI|=|F2|=10V2N,则物体的重

力大小为N.

45°X/45。

答案20

解析如图所示，：|"=眄|=10也N,

.,.|FI+F2|=10V2XV2=20N,

二物体的重力大小为20N.

14.（2021・天津）在边长为1的等边三角形45c中，。为线段8C上的动点，且交

于点E,£）F〃AB且交AC于点凡贝1」|2施+方的值为；（励+讲）•函的最小值为

宏案1—

口木120

解析设BE=x,尤G（0,£|,

:△ABC为边长为1的等边三角形，DE±AB,

；.NBDE=30。,BD=2x,DE=/x,