江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题

江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知向量d=(1,2),/?=(-2,3),则a-b=

A.2B.4C.6D.8

2.设复数z满足z+1=(2+i)z，则|z|=

A.-B.-C.lD.V2

22

3.已知集合A={x|ln掇0},8={x\2x2}，则“xeA”是“xe3”的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

——2%元<0

4.已知%'，则不等式/(X)<2的解集是

log2(x+l),x..O

A.(-oo,2)B.(-OO,3)C.[0,3)D.(3,+oo)

5.在三棱锥A-BCD中,A5，平面BCD,AB=6,BC=BD=CD=2,E,F分别为AC,CD的中点，则下

列结论正确的是

A.AF,BE是异面直线,AFA.BEB.AF,BE是相交直线;AF1BE

C.AF,BE是异面直线,AP与BE不垂直D.AF,BE是相交直线,A尸与BE不垂直

71

6.已知2cos[2x+^Jcos[%-cos3x=—，贝！Isin

124

1177

A.-B.——c.一D.一一

2288

7.已知双曲线C:5—[=1(。〉0]〉0)的左、右焦点分别为耳，工，双曲线的右支上有一点A,AFX与双

ab

jr

曲线的左支交于B，线段AF,的中点为M，且满足BM±AF,，若ZFXAF2=§,则双曲线C的离心率为

A.73B.A/5C,A/6D.A/7

8.校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥P-ABC

的三个侧面沿AB,BC,AC展开得到面P}AB,P,BC,,使得平面PyAB,P2BC,P.AC均与平面ABC垂直,

再将球。放到上面使得小鸟,鸟三个点在球。的表面上，若奖杯的总高度为60,且A3=4,则球。的表面

积为

140万100万98132乃

A.--------B.--------C.——D.------

3993

二、选择题:本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查,

得到如下两个表格：

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性15520

女性81220

合计231740

甲校样本

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性7030100

女性4555100

合计11585200

乙校样本

则下列判断中正确的是

A.样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例

B.样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例

C.根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

D.根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

(参考公式及数据=+=

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

10.已知/(x)=x+acos尤(awO),则下列说法中正确的是

A./(x)在R上可能单调递减B.若/(%)在R上单调递增，则ae[-1,0)0(0,1]

是/(x)的一个对称中心D.7(x)所有的对称中心在同一条直线上

11.已知||=4,"为AB上一点，且满足AM=3MB.动点C满足|AC|=21CM|,。为线段BC上一点，

满足ICD|=|DM|,则下列说法中正确的是

J15

A.若CMJ_AB，则D为线段5C的中点B.当AC=3时，ABC的面积为-^―

4

C.点D到A,B距离之和的最大值为5D.ZMCB的正切值的最大值为g

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.在ABC中，角4,8,(7所对的边分别为。力,。,若051115=2反054,则tanA=.

13.一次知识竞赛中，共有A,5C,O,E5个题，参赛人每次从中抽出一个题回答(抽后不放回).已知参赛人甲A

311

题答对的概率为一,B题答对的概率为—,C,D,E题答对的概率均为一,则甲前3个题全答对的概率为

442

14.如图，有一张较大的矩形纸片ABCD,O,C>1分别为AB,CD的中点，点尸在。。上,|0P|=2.将矩形按图示

方式折叠,使直线(被折起的部分)P点，记AB上与P点重合的点为M,折痕为/.过点M再折一条与BC

平行的折痕m，并与折痕/交于点。，按上述方法多次折叠,Q点的轨迹形成曲线£.曲线E在。点处的切线

与AB交于点N,则，PQN的面积的最小值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足/=1，4=3,4“+?+2=kan+1.

⑴当左=2时，求

(2)若女=1•，设包=-2a”,求｛d｝的通项公式.

16.(15分)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位:。)服从正态分布N(1000,52).

(1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995,1000］和

(1005,1010］内各一只的概率;(精确到0.001)

(2)根据统计学的知识，从服从正态分布N(〃,cr2)的总体中抽取容量为〃的样本,则这个样本的平均数服从正

(2A

态分布N——.某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为:1000,1007,1012,1013,1013(单

In)

位:。).你认为这时生产线生产正常吗?说明理由.(参考数据:若X~NS,。?),则

P(N-cr<X,,//+cr)«0.6826,-2a<X领Jw+2cr)«0.9544,-3a<X〃+3cr)«0.9974.)

17.(15分)已知椭圆C:，+£=1(。〉6〉0)经过点P为椭圆C的右顶点，。为坐标原点，

OPE的面积为也.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点。(-1,0)作直线/与椭圆C交于A,BA关于原点。的对称点为C,若18Al=||,求直线AB的斜率.

18.（17分）已知/（x）-ax-xa（x〉0,a〉0且awl）.

(1)当a=6时,求证:7(%)在(6,+8)上单调递增；

、看)一

(2)设a>e,已知Vxe—lna,+oo，有不等式/'(%)..0恒成立，求实数a的取值范围.

_2J

19.(17分)如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面,得到的几何体称之为“斜

截圆柱图一与图二是完全相同的“斜截圆柱'',AB是底面圆。的直径,AB=2BC=2，椭圆所在平面垂直于

平面A8CQ,且与底面所成二面角为45°,图一中，点P是椭圆上的动点，点尸在底面上的投影为点片,图二中，

椭圆上的点EQ=1,2,3,…，n)在底面上的投影分别为月,且月均在直径AB的同一侧.

DD

⑵①当为=6时，若图二中，点昂B，...，然将半圆均分成7等份，求（4片一2）•（反4—2）•（互耳―2）;

（ii）证明:然•巴耳+KCZ2E++F〃7F〃・E〃F〃+F〃B,BC<2TI.

2024年MAH第二次模拟测试

数学参考答案及评分意见

一、单项选择题:共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

题号12345678

答案BBABADDC

二、多项选择题:共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ADBCDACD

三、填空题:共3小题,每小题5分，共15分.

四、解答题:共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】（1）当左=2时,｛4｝为等差数列，

因为q=1,4=3,所以d=a2~=2,................................2分

10x9

所以do=1x10+^—x2=100......................................6分

5

⑵由已知'a*=5%+「％’

所以4+2—2。“+1=|an+l-an=^（4+1—2%）,即2+1=：2,..........................10分

且4=g—2%=1,所以也｝是以1为首项,;为公比的等比数列，

所以.....................................................13分

16.【解析】（1）〃=1000,。=5,生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在

（995,1000］和在（1005,1010］的概率分别为：

Pi=gp（〃-cr<XK〃+cr）B0.3413,......................................2分

p2=g[P(〃-2cr<X<〃+2cr)-P(〃—cr<X<//+cr)]~0.1359,..........................4分

因此所求概率为:p=2?也x0.093;..................................................................................7分

⑵生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N(1000,6，,........................................8分

记b=石，计算可得元=1009,.................................................................................................10分

这时1009>1000+3«,即无>〃+3b',

小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常.................................15分

17.【解析】(1)因为OPE的面积为且，

2

则有，xax@=3,解得。=2,..................................................................................2分

222

‘13

又因为E1,一在椭圆。上，则一+F=1,解得b=l,......................................................4分

(2J44b2

所以椭圆C的标准方程为亍+V=1；..................................................................................6分

⑵因为|BA|=||,。为AC的中点，所以Q4，OB，设A（xp必）,5（%,%），

无2+4丫2=4

设直线的方程％=加丁-1,并与椭圆的方程进行联立，可得7-,

x=my—1

消去尤得（加2+4）y2-2my-3=0,

L-2m-3八

则有X+%=^77,%%=，...................................................9分

m+4m+4

因为OA_LQB,则有。4­OB=0,则再々+%%=0，

即（加2+1）%%-加（％+%）+1=°，..................................................................................12分

/2-32mle

\m+1x----------mx----------1-1=0,

'7m+4m+4

]—4/22|

即2,=0,解得加=±-,..........................................................14分

m2+42

所以直线AB的斜率为±2........................................................................................................15分

18.【解析】⑴当a=e时,/(x)=eX—d,

贝U/'(x)=e，一exH=e(e'T—九e-i),.........................................................................................j分

令/'(x)〉0,贝Ue'T>尤,-I,两边取对数得x-l>(e-l)lnx.

A—1A—11

设g(x)=x_l_(e_l)lnx(x〉e)^ijg'(x)=l------->1--------=->0,

xee

所以g(x)在(e,+00)单调递增,........................................................4分

所以xe(e,+co)时g(x)>g(e)=0,即xe(e,+8)时,x-1>(e-1)Inx,

所以xe(e,+8)时e'T>/t,即/(X)〉o,..............................................................................6分

所以f(x)在(e,+8)上单调递增.

⑵法「/(x)>0=>ax>xa，两边取对数得:xlnaNalnx,

Inx,Ina

即Dn---<----8分

xa

Inx

设h(x)=——，则问题即为:当％2—Ina时,/z(x)</Z(Q)恒成立.

%2

2

e

只需时,*X)max<%(〃).

A(x)=l~lnx，令h'(x)=0得X=e,

X

当0vxve时,"(%)>0,/z(x)单调递增;当x>e时,"(九)<O,/z(x)单调递减.

222

eee

又因为a>e，则>—>e，所以x>^Ina时,/z(x)单调递减，

2

e七2、

所以％2—lnd^i/z(x)max=h一Ina<h(a),

212)

e2।2

所以—Ina2a,即InaN——,ci.....................................................................................12分

2e2

2i2

设0(x)=lnx--7y。，①，则(p\x)=-----

exe

当e<%<(■时,0(x)>0,°(x)单调递增;当x>~^时,0(%)<0,9(x)单调递减,

222

<e^e2e

所以O(x)max=0V=1口3—>lne-l=0,

12J2e2

22

当％=e时,0(e)=lne——--e=l——>0;%—+8时,(p{x)<0,

ee

(2>l

所以0(X)的图象与X轴有1个交点，设这个交点为^^>—e,

I2)

因为012)=0,所以再=e2；

所以当%>e时,0(x)>0<»e<x<e2,

2

即当a>e时,不等式lnti>--6Z<^>e<d!<e2,

所以当不等式/(%)20在％21-lntz(a>e)恒成立时,e<^<e2...................17分

法二:/(%)20O优2,两边取对数得:xlna>alnx,即史二《生9.............8分

xa

设/z(x)=g,“(X)=工1"，令/(x)=o得X=e,

XX

当％〉e时,“(％)<O,/z(x)单调递减..............10分

AA

又因为a>e,所以%之耳Ina2万,在(e,+8)单调递减，

InxIn/702\p2

由」<——，则〃Wx在±lna,+oo恒成立，即avJhiQ,.........................13分

xa22

上式等价于电92Ine2

15分

由/z(x)在(e,+8)单调递减，所以e<aWe2...................................17分

19.【解析】⑴如图，取CD中点M,过M作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点G,交BC延长线于

点〃，与P4交于点/,则。G=1,AG=2,过M作GH的垂线，交圆/于人K两点.过/作W,JK交

JK于点N,又由P/，圆M,IN为PN在圆M所在平面的射影，由三垂线定理知EV，JK,所以ZPNI为椭

圆面与圆M所在平面的夹角,也即椭圆面与底面所成角，

所以ZPNI=45°.则一PNI为等腰直角三角形,PI=IN.

设=8,如图作圆M所在平面的俯视图，则NGA〃=，，

由GH，JK,W，JK,所以GH//W,则有NA®W=NGA"=，，所以W=Mcos。=cos8,

27r27r3

所以pp-pp