九师联盟2024届高三年级下册2月开学考试数学试题及答案

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题蓑围：高*蓊围。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={了|0<工+1<2},_6={工|工<0或工>2},则403=

A.{z|—1<N<0}B.{H|2O<3}

C.{z|N<1或z>2>D.{z|zVO或2Vz〈3}

2.sin1650cos525°=

A；B.fC.-|D.一噂

3.已知单位向量a,b满足|a+b|=2|a—，则a,b夹角的余弦值为

A.j-B.C.—D.卷

5555

4.已知复数z满足（z—3i）（2—i）=5,贝!］|z|=

A.272B,275C.8D.20

5.若直线Z”=2N+4与抛物线C：y2=2ar（2>0）只有1个公共点，则C的焦点F到2的距离为

A.75B.275C.3^/5D.475

6.已知卜十六）”的展开式中，前三项的系数依次成等差数列,则展开式中二项式系数最大的项是

A.噜h/B.7袤C.萼/D.7/

oO

7.函数/（X）=2jcos（£—3z）的单调递减区间是

12^7C7T

穴2次下5兀।24兀［

A.或ez)B.aez)

83'12菁:12亍'变十石」

-__7T__匚2人兀7t_|2妹[aez)r7：।2kn1+^y]aez)

c|_12'3'12।3J

【高三2月开学考•数学第1页（共4页）］X

8.已知"x）是定义域为R的偶函数，且在（一8,0）上单调递减，a=/（In1.04）,6=/（l.04）,c=

fd”则

A.a<Zb<ZcB.a<cV6

C.c〈b〈aD.c<Za<Zb

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知数列｛Q〃｝满足。1=3,2a〃+i=3a〃一2,则

A.｛々一2）是等差数列

B.3“｝的前几项和为，［（我）—1^+272

C.｛4｝是单调递增数列

D.数列卜”+1+（看）”）的最小项为4

10.已知函数/（Z）=［守］一［引（zGR,其中团表示不大于z的最大整数），则

A.7（z）是奇函数

B.f（z）是周期函数

C./G）在［0,2）上单调递增

D.f（z）的值域为｛0,1｝

11.已知正四面体ABCD的棱长为4,点P是棱AC上的动点（不包括端点），过点P作平面。平行于

AD、BC,与棱AB、BD、CD交于Q,S,T,则

A.该正四面体可以放在半径为次的球内

B.该正四面体的外接球与以A点为球心,2为半径的球面所形成的交线的长度为警k

C.四边形PQST为矩形

D.四棱锥C-PQST体积的最大值为噜口

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点:洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，

洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳

游玩,且不去同一景点的概率为.

13.已知B,F?分别是双曲线C：£—£=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过点B且垂直工轴的直线与C

交于A,B两点，且tanNARB=¥5，若圆Q—2）2+y2=4与c的一条渐近线交于M,N两点,则

\MN\=.

14.若圆锥SO的母线长为3,则圆锥SO体积的最大值为.

【高三2月开学考•数学第2页（共4页）】X

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知在AABC中，角所对的边分别为a,6,c,c(cosB-cosC)=(c-6)cosC.

(1)若Ar2C,证明:ZVIBC是等腰三角形；

(2)若b=2c=4,求a的值.

16.(本小题满分15分)

2022年日本17岁男性的平均身高为170.8cm,同样的数据1994年是170.9cm,近30年日本的平均

身高不仅没有增长，反而降低了0.1cm.反观中国近30年，男性平均身高增长了约9cm.某课题组从

中国随机抽取了400名成年男性，记录他们的身高，将数据分成八组：[155,160),[160,165),…，

[190,195同时从日本随机抽取了200名成年男性,记录他们的身高,将数据分成五组：：160,165),

[165,170),…，[180,1851,整理得到如下频率分布直方图：

(1)由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的75%分位数；

(2)为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联,课题组调查样本中的600人得到如下列联表:

蛋白质摄入量

身高合计

丰富不丰富

低于175cm108

不低于175cm100

合计600

结合频率分布直方图补充上面的列联表，并依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断成年男性

身高与蛋白质摄入量之间是否有关联？

n(ad—6c)2

附:/=,"=a+Z>+c+<i.

(a十6)(c+d)(a+c)(b~\~d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【高三2月开学考•数学第3页(共4页/X

17.（本小题满分15分）

如图,正方体ABCD-A出SR的棱长为2,E,F分别为棱AB,CG的中点.

（1）请在正方体的表面完整作出过点E,F,Di的截面，并写出作图过程；（不用

证明）

（2）求点Bi到平面EFD,的距离.

18.（本小题满分17分）

已知椭圆C：冒十戈=l（a>6>0）的离心率为e,点A（l,e）在C上,C的长轴长为4e.

（1）求C的方程；

（2）已知原点为。，点P在C上,0P的中点为Q,过点Q的直线与C交于点M,N,且线段MN恰好被

点Q平分，判断。宓•痔一（0而•冰产是否为定值？若为定值,求出该定值;若不为定值，说

明理由.

19.（本小题满分17分）

已知函数/（工）="（21）+山水aGR）.

（1）若/"）在（0,+8）上单调递增，求a的取值范围；

（2）若/O）有2个极值点为（皿>12>0），求证:。（曷+忌）>28.

【高三2月开学考•数学第4页（共4页）】X

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.A因为A=｛i|0<z+lV2)=｛i|—1<尤<1>1=｛1|1<0或1>2｝,所以4口8=｛］|—IVzVO).故选A.

2.Csin165°cos525'=sin(180°—15°)cos(540°—15°)=sin15°(—cos15°)=—^-sin30°=—故选C.

3.B由|a+b|=2|a—"两边平方得l+2a•b+l=4(1—2。•b+1)，解得a•力=可，又a,b为单位向量，所以a,b夹角

的余弦值为引故选B.

4.B由Cz—3i)(2—i)=5,得2=,f_.+3i=+3i=2+i+3i=2+4i,所以|之|=V22+42=2^/5".故选B.

5.D联立，与C的方程并消去m得9一”+4力=0.因为/与C只有1个公共点，所以(一力)2—16力=0,结合2>0,解

得2=16,则F〈8,0)，所以F到/的距离d=注等三""=4故选D.

72-+(-1)2

6.C展开式中的第r+1项为r+1=Ck，(+)’=(:)'Chf,所以前三项系数依次为C；,《戏，依题意，

有C2++C=Q,即1++*也产=〃,整理，得"一9"+8=0,解得〃=1(舍去)或〃=8.由二项式系数的性质可

知，展开式中第5项的二项式系数最大，即Ts=(4)"◎4尹,=.故选C.

7.Df(rr)=COS(—3JC)=2COS(3^).由2&KW3N—于+2&K,4CZ,解得金++

&ez,所以/(z)的单调递减区间是［令+2记,于+得三］(4ez).故选D.

8.A因为/'〈N)是定义域为R的偶函数，且在(一8,0)上单调递减，所以/<丁)在〈0.+8)上单调递增；lnl.04Vlne

=1<1.04,即In1.04<l.04；令人工)=e，一(£+1),当z>0时,，Cr)=e上一1>0,则乂工)单调递增，所以h(0.04)=

e°-04-(0.04+l)=e°-M-l.04〉泯0)=0,即e°-04>l.04,所以e°-04>l.04>ln1.04.而/〈£)在<0,+匚。)上单调递增，

故有/<In1.04)</<1.04)<“e"。4)，即a<b<c.故选A.

9.BC由2a„+i=3a„—2,得2C4+1—2)=3(a„—2)，因为©—2=1片0,所以a?—2y^0,a3—2W0,…，a”一2片0,从而

皿二二母，所以｛/—2｝是首项为1,公比为得的等比数列，所以a„-2=lX(4厂’，即a“=(得)”’+2.所以羯

z7

an-NNN'Z'N

g2「1—(2)"［„

=(得)+2,所以<22+44+…+恁”='-------'-----=(~7-)-1］+2%,所以A错误，B正确；由a”=

「工

(得)+2,易知｛4｝是单调递增数列,C正确；当〃22时,恁+1+((■)>。3=(得)+2〉4,当??=1时,a2H~~^~=

告H■-^~+2=曾〉4,D错误.故选BC.

10.BD由题意，Dr21表示不大于z的最大整数，则Lr+12l=Dr：］+l,所以V］GR"Cz+3)=［旺尹］一［守］=

［守+1］—［a+1］=+―(［宏］+1)=［守卜［(卜/⑴，则函数/⑴是以3为周期的函数，当

【高三2月开学考•数学参考答案第1页(共6页)】X

北匚0,2)时,/(辽)=［三］一［年］=0—0=0；当工6匚2,3)时"(z)=［三］—［5］=1—0=1,则/(z)=

o,—e匚0,2),

又—是以3为周期的函数，则—的值域为{0,1},B和D均正确"(一l)=f(2)=l"(D=0,所

1,尤e匚2,3),

以/(—1)声一/(I),故/(1)不是奇函数,A错误；当比e匚0,2)时"(1)=0,故/(1)在匚0,2)上无单调性,C错误.故

选BD.

11.AC对于A,易算出该正四面体外接球的半径R=fx4=^，所以该正四面体可以放入半径

为政的球内，故A正确；

对于B,由A可知四面体外接球的半径R=痣，如图，在△AEO中，cosZ.EAO=

222222

AE+AO-EO2+(76)-(76)展cre-八…c』

---布方-Z7S-=---------------F------=/，所以SHINEAO=F-；在△EAO2中，石。2=

2AE-AO2X2XV666

EAsinNEA02=2X=易知两个球面的交线为圆，其周长为2冗><*^^=豆，^兀,故

B错误；

对于C,取BC的中点M,连接AM,DM.易证BC,平面ADM,所以BC，AD；又AD〃平面£,平面0口平面ABD=

QS,所以AD〃QS,同理AD〃PT,所以QS〃PT,同理PQ〃BC〃ST,所以四边形PQST为平行四边形;又NQST是

AD与BC所成的角，所以NQST=90°,于是四边形PQST为矩形，则C正确；

对于D,设AP=AAC(0<XCL),易证PQ〃BC,所以券=桀，毕=储可得QP=4人同理A

可得QS=4(1—；0.取AD中点N,连接MN,交平面PQST于点I.由上面的论证可知MN

_L平面PQST.因为平面PQST与AD,BC都平行，所以可得儡=荒=1一a,又易知MN

=2区所以2回1—4),即C到平面PQST的距离为2同1一入),所以VC-PQST=y-

4A-(4-4A)•2<(1-A)=^^(A3-2AJ4：A).4/。)=下一2*+1b/GU=3；l2—4义+1=(3/一1)。一1),因为/'GO

>0=0<Q<L/a)<()=4Q<l,所以/(^)^=屣卷)=焉，所以(n+g)山=畸&故D错误.故选AC.

12.微小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有5X5=25种可能，5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳

游玩，且不去同一景点的情况有3X2=6种，故所求概率P=微.

22

13.设Fi(—C,0),F2(C,0)(C=%/a+Z?)，解得|F2Al=号，tan/ABF2=1=^^=热=£?、，解得亍=

正，所以渐近线方程为y=±2z,由对称性,不妨取丁=21进行计算，弦长|MN|=2"^=2,4T=手.

14.2偌冗设底面半径为一，则圆锥的高h=SO=/9-r2，体积V=-^7zr2h=-^7ir2/『户J(9一y)/.令t=

，6(0,9),/(力=(9—力产，贝IJ/1)=-3产+1&=—3x(z—6),当xG(0,6)时,/'⑴单调递增，当啰(6,9)时,/(力单

【高三2月开学考-数学参考答案第2页(共6页)】X

调递减;所以当2=6,即r—A/6"时,V取最大值，此时h=J9—6=4^»V--^-Ttr2h=~~X6XA/3'-2^/3^兀

15.(1)证明：由cCcosB—cosC)=(c—6)cosC,及正弦定理，得

cosC(sinB—sinC)+sinC(cosB—cosC)—0,......................................................1分

即sinBcosC+cosBsinC=2sinCeosC,

即sin(B+C)=sin2c...............................................................................2分

因为A+C+B=7t,所以sin(7t—A)=sin2C,

即sinA=sin2C.....................................................................................3分

因为Ae(0,7r),2Ce(0,2Q,

所以A=2C或A+2C=兀

因为AW2c所以A+2c=兀,又A+C+B=7r,所以B=C.

故△ABC是等腰三角形..........................................................................6分

(2)解：因为6=4,c=2,即%,则

由(1)可得A=2G....................................................................................7分

因为sinA=sin2C,

所以sinA=2sinCeosC.

由正弦定理，得a=2ccosC.............................................................................9分

田务+&2—c2而*_a2+^>2—c2

因为cosC--荻一，所以a—92cvx—通一.

结合b=2c—4,解得<2—2^3^-.........................................................................13分

16.解：(1)由频率分布直方图可知5X<0.01+0.07+工+0.04+0.02)=1,解得z=0.06.....................2分

因为C0.01+0.07+0.O6)X5=O.7<0.75,(0.01+0.07+0.06+0.04)X5=0.9>0.75,

所以75%分位数位于［175,180)，设为，M,

则有0.7+Cm—175)X0.04=0.75,解得加=176.25(cm).

故日本成年男性身高的75%分位数为176.25cm.......................................................6分

(2)由频率分布直方图知，样本中身高低于175cm的中国成年男性人数是(0.008+0.016+0.04+0.04)X5X400=

208(人)，

样本中身高低于175cm的日本成年男性人数是(0.01+0.07+0.06)X5X200=140(人)，

故样本中身高低于175cm的共有348人，可得下表：

蛋白质摄入量

身高合计

丰富不丰富

彳氐于175cm108240348

不低于175cm152100252

合计260340600

...................................................................................................10分

零假设Ho:成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由2X2列联表数据可得：

【高三2月开学考•数学参考答案第3页(共6页)】X

2_600X(108X100—240X152)2.q

X~348X252X340X260^51,04O>-r°-001—10.828,

依据a=0.001的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联......15分

17.解：（1）连接DiF并延长交DC延长线于点/,连接IE并延长交BC于点H,交DA延长线于点J,连接交AA】于

点G,

则截面DiGEHF即为所求.6分

取了=2,得平面DiEF的法向量为帆=（3,2,4）.12分

_|2X3+2X2+0X41_10同

设点场到平面EFDi的距离为4,则d=|m-

m/32+22+4229

故点Bi到平面EFDi的距离为"杂.

15分

18.解：⑴因为C的长轴长为4e,所以2a=4e,e=『

由e=\^=Ja不立得“=*，4加=4/一4,...................................................3分

把A（1.-1-）代入C的方程得3+左=1*即9十^^=1,...........................................5分

解得/=2,所以462=4〃2—“4=4,解得〃=],

所以。的方程为掾+9=1......................................................................7分

（2）法一：设PCxo9yo）,yi）,N（i2,北），

由题意可知，点Q既是O尸的中点，又是MN的中点，

仔0=41+%2

22'（久0=冗1+22,

所以彳即，...............................................................9分

。+\21丁0=丁1+2,

[2-2'

【高三2月开学考•数学参考答案第4页（共6页）】X

因为点P在C上，所以［&y+（/+北＞2=1,

整理得号+乂+号+y+乃22+2例於=1,

因为M,N在C上,所以号+底=1,当+状=1,处12+2?12=-1........................................................................12分

将©g+2口3/2=-1两边平方，得君名+4乂必=1-4乃乃）12，

又（宕+2乂）（reI+2必）=4,展开，得若后+4认立+2宕出+2忌认=4,

所以1—4力112?12+2君十+2忌十=4,

所以京V后乂一2乃定2例北二停,...................................................................15分

又。M2,ON2—COM•ON）之=（%彳~\~y\）（曷+必）一（/i12+M）2）之

=

=曷必+名yi—2定1x2y\y2~^-

---A---A---A---AQ

所以OM2•ON2—（OM・ON）。为定值1...............................................................................................................17分

法二（通性通法）:当MNL■轴且MN在y轴右侧时.显然F（V2,0），Q（专,0），必像,§）,N（乌

则流•ON2^（OM-ON）2=^-Xy-（Y—^）”=暂；...............................................9分

同理，当MNL•轴且MN在y轴左侧时，而不.曲一（原•加〉2=_1............................................................10分

当MN与工轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+m.

（y=kx-\-m,

由，得（2人2+1）/+4归7nx+21-2=0,

〔/+2y2=2,

则△=16/加2-4（2/+1）（21—2）＞0,化简，得2F+l＞m2................................................................................12分

设M（%i），N5,北），贝!I6+"2=2£,%，"1"2=黑+：・...........................................13分

设Q（io,）o），贝（Jio二球”彳，"°=kxo+加=2-1，

所以P（茨笔，喜万）'代入"'+2^=2,得（茨笔）+2（系、）=2?

化简，得4/=2必+1,适合/2+1>机2..................................................................................................15分

OM2•ON2—（OM•ON）2=（若-\-yl）（J；2+>2）一（支112+了12）2=病状+后行一2©%2»2

—（JT1y2—42丁1）2=[11（左]2+祖）—4（£乃+机）了=根2（乃一5）2=m2|2（^i+12）2—41112]

2r/—4km\22/一21

=ML（2F+I）-4X2F+TJ

_8加2（2公+1—加2）_8加2（4加一加2）__3_

—（2公+1）2—（W7—T,

综上，加2•加2一（曲.济）2为定值等............................................................17分

19.⑴解:法一:因为/（I）=a（?l）+lnz,

【高三2月开学考•数学参考答案第5页（共6页）】X

所以八z）=一,+!='|r（|?一（尤＞0），.....................................................2分

若Q&0,则在（0,+8）上单调递增；...............................................3分

若。＞0,令=袅一则g‘