2024年湖南省长沙市中考月数学试题(含答案)

2024年长沙市初中学业水平考试模拟试卷

数学（一）

注意事项：

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证

号、考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意

的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.数轴上表示数。的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数。为（）

A.2024B.-2024C.±2024D.不确定

2.为了减碳，提高充电效率，某科技公司研发了全液冷超充技术，电动汽车充电100度仅需10分钟，实现了

“一秒一公里”，预计2024年装车量达到800万辆.数据“800万”用科学记数法表示为（）

A.0.8xlO7B.8xl06C.80xl05D.8xl05

3.下列图形中，是中心对称图形的是（）

4.下列计算正确的是（）

/、22

11122/236

A.--------=---------B.一=一C.（m-n）=m-nD.ymnI=mn

mnm-n）m'

5.如图，将等腰直角三角形板和直尺摆放如下，直角顶点E正好落在直尺的边上.如果NABC=75。，那么

的大小为（）

6.如图，点A,B,C,D,片是：。上的五等分点，则的度数为（）

1

（第6题图）

A.32°B.34°C.36°D.38°

7.《九章算术》中记载有盈不足问题、今有共买金、人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金

价各几何？其大意是：今有人合伙买金，每人出钱400,会多出3400钱；每人出钱300,会多出100钱，问合

伙人数、金价各是多少？设合伙人数为尤人，金价为y钱，则可列方程为（）

Affix坐地铁

B组।坐公交

C3L步行

Dm：骑自行车

E组।箕他方式

ABCDE交通方式

（第7题图）

y+3400=400xy+3400=400x

y-100=300xy+100=300x

y—3400=400%y-3400=400%

y-100=300xy+100=300%

9.已知关于尤的一次函数y=3x+2,则该一次函数图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第二、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

10.如图，已知线段BC,按照如下步骤作图：

第一步：分别以点8,C为圆心、大于长为半径画弧；

2

第二步：过两弧的交点作直线/交8c于点。

第三步：以点。为圆心、8。长为半径画弧交直线/于点O；

第四步：以点。为圆心、OB长为半径画圆.

若（。的半径为3,点A是圆上的动点.当点A在8c所对的优弧上运动时，记△ABC面积的最大值为5,

当点A在2C所对的劣弧上运动时，记△ABC面积的最大值为S2,则斗+邑的值等于（）

（第10题图）

2

A.8A/2B.9A/2C.I0V2D.1172

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知函数y=J6a2无一19,则自变量x的取值范围是.

12.分解因式：（4a）2—8。+1=.

13.为营造“全民亚运，全民健身”的氛围，提升全民健身的热情，某校举行了“2023年亚运会知识”竞赛.随

机抽取部分学生成绩，统计如下表，则这一部分学生成绩（分）的中位数位于.（填或

“D”）组.

学生成绩（分）A组（60WXW70）B组（70CW80）C组（80W90）D组（90WE00）

学生人数（人）10203015

k

14.如图，已知等边的顶点8在x轴正半轴上，点A在第一象限，OB=6,反比例函数y=—（x>0）

X

的图象正好经过点A,则％的值为

（第14题图）

15.为接续推进全面脱贫与乡村振兴衔接，长沙某村以文化展板呈现了乡村振兴中的诗与远方.如图，该展板

为扇形结构，OA=3m,OD=lm,ZAOB=150°,则图中的阴影部分面积是m2.（结果保留万）

（第15题图）

16.如图，在矩形ABCD中,E为边AD上一点，连接BE,作点A关于BE对称的点F,连接BF,EF.若A3=12,

点尸到边8C,的距离之比为1:2,则8£=.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第

22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤）

/1\-1

17.计算：6cos45°+（^-2024）°+-.

i

18.先化简，再求值：+92尤（尤—1）+（%—+其中x=—

3

19.“桥”见湘江，品湖湘记忆.橘子洲大桥原名“长沙湘江大桥”(湘江一桥)，是目前中国规模最大的双曲

拱桥.在世界桥梁建筑史上留下浓墨重彩的一笔.课外实践活动中，学生小明用无人机来测量橘子洲大桥的主

桥长度.如图，无人机在桥的正上方400m高度的点A处，测得主桥西起点B的俯角为45。，在桥的正上方

400m高度的点。处测得主桥东起点C处的俯角为30°,AD的距离为170m.(注：点A,B,C,D在同一平

面内.结果精确到0.1m,V3-1.7)

(1)求橘子洲大桥主桥的长；

(2)延长至于点0.且。。=170(6-l)m.若无人机在点Q处进行测量，则该无人机与桥面的距

离是多少米？

20.“促进儿童心理健康，共同守护美好未来”.加强学生的心理健康教育上升为国家战略.国家卫生健康委举

行新闻发布会，介绍我国如何从制度、服务、宣传等层面，守护儿童心理健康.为促进学生健康成长，某校开

展了心理健康教育讲座.讲座前从该校七、八、九年级中随机抽取了部分学生，对学生关于心理健康知识的了

解情况进行了问卷调查，根据收集到的数据信息进行统计.绘制了如下两幅不完整的统计图表.

某校学生心理健康知识了解情况统计表

分组类别分数

A组不了解20

B组了解少a

C组基本了解40

D组非常了解b

某校学生心理健康知识了解情况扇形图

根据图表中提供的信息，解答下列问题.

(I)直接写出答案：a=,b=,m=；

(2)。组扇形所对的圆心角的度数是多少？

(3)从。组的甲、乙、丙、丁4位同学中，随机抽取两位同学进行心理健康知识宣讲，请用列表法或画树状

图法求出丁同学未被抽中的概率.

21.如图，在△ABC中，ZABC=9Q°,AC=2BC,以AC为边作等边△AOC,E是AC的中点，连接

DE.

(1)求证：△ABC当WEC；

4

(2)连接3D若BC=1,求的长.

22.“双减”在行动，教有在提质.由长沙市教育局倾力打造的“名师云课堂”已于2023年9月9日正式上线.每

周六(除节假日外)上午九点，“名师云课堂”都会如约而至.据不完全统计，第一周收看人数为24200人，

第三周收看人数为29282人.假设每周收看人数的平均增长率相同.

(1)求第一周到第三周“名师云课堂”收看人数的平均增长率；

(2)按照(1)中平均增长率.试估计第四周有多少人收看“名师云课堂”.(结果保留整数)

23.如图，将.A3CD沿对折，得到，AFED,连接BE交于点。连接尸O.

(1)求证：BO=EO；

(2)若BC=2A3=8,ZC=60°,求A。的长及四边形APOB的面积.

24.如图，在△ABC中，ZA:ZACB:ZABC=1:1:2,以8C为直径作。交AC于点G.点。赴延

长线上一动点，连接。G交BC于点H.交:O于点E,连接BE,CE,连接。C交；。于点?

(1)求证：直线AD是：O的切线；

(2)设△CGW的面积为S],△CDH的面积为邑.若点。运动到$2=2£时.求sin/BDH的值;

(3)连接EF,当点。运动时，若上巴=竺，试求生的值.

CDnEF

25.我们不妨约定：在平面直角坐标系尤0y中，若点和点。(电也)满足：-匈+仅+%)~=。，

我们就说点尸和点。是该坐标平面内的一对“共赢点”.若函数%,%的图象上存在一对或一对以上“共赢

点”(其中点尸在％的图象上，点。在内的图象上)，我们就说函数/，为互为“共赢函数”•据约定，解答

下列问题：

2

(1)若一次函数%=依+2左，y2=kx-3k,且左H0.当自变量了=上时，函数％,为的图象上恰好是

一对“共赢点”，试求一次函数％,%的解析式・

5

mri

（2）已知反比例函数％=—,%=—，且试判断函数/，为是否互为“共赢函数”•若是，请求

xx

出“共赢点”的坐标；若不是，请说明理由.

（3）已知以X为自变量的二次函数x=12—27加+加2（m>0）,函数K与为互为“共赢函数”，且当自变量

X取任意实数时，函数%,%的图象上都存在“共赢点”•记函数％，内的图象分别交y轴于A，B两点，函

数%的图象交无轴于点C,经过A,B,C三点的圆与X轴的另一个交点为。，点P是X轴下方圆上的动点，

且点P不与点8,C,。重合，设外2_即2=/,S^PCD=s,令/=L当/取最大值时，试判断四边形

S

的形状，并说明理由.

2024年长沙市初中学业水平考试模拟试卷

数学（一）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

题号12345678910

答案ABDDCCABAB

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

19

11.x>—12.（4a-1）213.C

6

10

14.97315.—7116.6A/6

3

三、解答题（本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第

22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤）

17.解：原式=3拒-6x走+1+3=4.

2

18.解：原式=龙？+2x+1—2x~+2x+x~—1=4-x.

当x=-工时，原式=4x

4

19.解：（1）如图1,过点A作AGL3C于点G.过点。作DHL5c于点8.

在Rt^ABG中，ZB=ZEAB=45°,ZAGB=90°,

A（Z

：.BG=---------=400（m）.

tan45°

在Rtz\£>〃C中，ZC=ZFDC=30°,ZDHC=90°,

6

詈400百

(m).

3

由图易知四边形AGHD为矩形，.•.GH=AD=170(m),

BC=BG+GH+HC=400+170+40073X1250(m).

答：橘子洲大桥主桥BC的长约为1250m；

(2)如图2,过点。作QN_LBC于点N,交于点

在RtZXQOM中，ZQDM=ZFDC=3Q°,ZQMD=9Q°,

10

(2)D组扇形所对的圆心角的度数为360°x=36°；

20+30+40+10

(3)画树状图如下：

开始

由图可知，一共有12种等可能的结果，丁同学未被抽中的结果一共有6种,

•••丁同学未被抽中的概率为P=—=~.

122

21.(1)证明：:△ACD是等边三角形，£是AC的中点，

：.ZDEC=9Q°,AC=DC,AE=EC.

*.*AC=2BC,BC=EC.

BC=EC,

在Rt^ABC和RtZ\£)EC中，《：.△ABC&D£C(HL)；

AC=DC,J

(2)解：如图,连接BD

在Rt^ABC中，BC=1,：.AC=2BC=2.

7

由勾股定理，得AB=4^-BC2=瓜

：△ADC是等边三角形，AAD=AC=2,ZDAC=6Q°.

在△ABC中，ZABC=90°,AC=2BC,

：.ABAC=30°,ZBAD=ABAC+ADAC=90°,

△ABD是直角三角形，

ABD=y/AB2+AD2=«周+22=77.

22.解：(1)设第一周到第三周“名师云课堂”收看人数的平均增长率为x.

则24200(1+九『=29282,

解得玉=0.1=10%,x2=-2.1(舍).

答：第一周到第三周“名师云课堂”收看人数的平均增长率为10%；

(2)29282x(1+10%)«32210(人).

答：估计第四周有32210人收看“名师云课堂”.

23.(1)证明：如图，连接交于点G.

•.•将A5CD沿对折，得到

8尸，AZ)于点G,BG=FG,AD//BC//FE,

由平行线分线段成比例定理得，—=1,：.BO=EO；

EOFG

(2)解：由(1)得，若3C=2AB=8,ZC=60°,BFLAO,

则AB=AF=4,FE=BC=8,

：.ZBAO=ZFAO=ZC=60°,ZAGB=ZAGF=9Q°,

:.AG=AB-cos60°=2.

由(1)得，GO是ZXBE尸的中位线，

：.GO=-FE=4,：.AO=AG+GO=2+4=6,

2

■：BG=ABsin60°=2G，BF=2BG=473,

-1•SWMAFOB=^AOBF=^X6X46=1273.

24.(1)证明：在△ABC中，ZA;ZACB;ZABC=1:1;2,

8

又•.•ZA+ZACB+ZABC=180。，：.ZA=ZACB=18Q°x-=45°,ZABC=180°x-=90°,

44

ABLCB.是的直径，...直线A。是、。的切线；

(2)解：如图1,连接OG.

由(1)得ZACB=45°,AZBOG=90°,

：.ZOCG=ZOGC=45°,ZGOB=ZCBD=90°,J.OG//BD.

又ZOHG=ZBHD,：.^OGHs^BDH.

•：ACGH和△CDH在GH和DH上的高相等，

,Sj_GH_1.OHGHOG_1

,,sjDHF'"BH~DH~BD~1'

设OH-a,则BH-2。，OB=OG-3a,:.BD=2OG—6a,

DH=y/B^+BD2=2410a,：.sinZBDH=—==巫；

DH~2710a-10

(3)解：如图2,连接EF,BG,BF.

：BC是直径，ZBGC=ZBEC=NB/C=90°ZBCG=45°,

AZCBG=ZBCG=45°,GB=CG.

由(2)得NCBD=90。，AZEBD+ZCBE=90°.又；NECB+NCBE=90。,

RHFAD

：.ZEBD=ZECB=ZBGD.VZEDB=ZBDG,：./\DBE^Z\DGB,：.—=——.①

GBDG

•.•点C,£E,G四点共圆，.•./£>££■=NDGC.

FF

,:ZEDF=NCDG,：.^DEF^Z\DCG,：.——

CGDG

①+②得，些=些...3=巴，..设cB=mk,CD=nk.(k>

EFDFCDn'

由勾股定理，得BD=7CD2-CB2=左1,_02

,：ZDFB=ZDBC=90°,ZBDF=ZCDB,：.ADBF^ADCB,

DFDBDB2Mi,一BEDBny/n2-m2

----=-----,DF=------=--------------，=-----=—-----5―

DBDCDCnEFDFn2-m"

9

222

25.解：（1）当自交量X=左时，yx=k