2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题（含答案解析）

2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集。={0,1,2,3,4,5},集合M={1,3,4},N={0,3,5},则M&N)=()

A.{0,5}B.{1,2,3,4)

C.{1,2,3,4,5}D.U

2.已知复数z满足(4+3i)z=-i,贝b的虚部为()

4444

A.-----B.—C.-----iD.——i

25252525

3.将函数〃x)=sin2x的图象向左平移。个单位后得到函数g(x)的图象，若函数

'=/(尤)+g(x)的最大值为。，则。的值不可能为()

A.1B.72-1

C.2D.72+1

4.在等比数列{4}中，若％为一确定的常数，记数列{4}的前"项积为却则下

列各数为常数的是()

A.r7B.r8C.TwD.Tu

4Y—1_

5.关于函数＞=丁=，xeN,N为自然数集，下列说法正确的是()

A.函数只有最大值没有最小值

B.函数只有最小值没有最大值

C.函数没有最大值也没有最小值

D.函数有最小值也有最大值

6.已知函数=,g(x)=sin^4x+^,则“曲线y=/(x)关于直线x="

对称”是“曲线y=g(x)关于直线户机对称”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.。为坐标原点，尸为抛物线C:/=8x的焦点，M为C上一点，若IMF|=6,则百。尸

的面积为()

A.B.20C.472D.8

8.为三个互异的正数，满足=21n->0,(^y=3"+1,则下列说法正确的是

()

A.c—a>2—bB.c—2<b—a

C.c+2va+Z?D.c+2<a+b

二、多选题

9.已知10个数据的第75百分位数是31,则下列说法正确的是（）

A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31

B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31

C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31

D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31

/、[2,xeQ

1。.函数W）="Q，则下列结论正确的是（）

A.。⑺>£>(3.14)B.。⑺的值域为[2,3]

C."(O(x))是偶函数D.VaGR,£>(x+a)=D(a-x)

11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。。2,轴截面ABC。

为等腰梯形，且满足CD=2AB=2AD=23C=4cm.下列说法正确的是（）

B.该圆台的表面积为1171cme

C.该圆台的体积为z/rcn?

D.该圆台有内切球，且半径为无cm

2

三、填空题

12.已知〃尤）=2a4T在点处的切线为直线x-2y+r=0,贝.

13.已知力耳国国,满足禺|=|及|=|明=1N,且K+FZ+FLO,则同一叫=N.

试卷第2页，共4页

22

14.已知双曲线C：鼻-斗=1（。>01>0）的左右焦点分别为耳，F2,过耳作x轴的垂

ab

线交C于点尸.。加，尸居于点M（其中。为坐标原点），且有质=3例，则C的离

心率为.

四、解答题

15.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是三角形面积为S,若。为AC边上

一点，满足AB_L3D,3£>=2,且/=-38s+"cosC.

3

⑴求角8；

（2）求匕2+二的1取值范围.

16.已知数列｛七｝的前”项和为S"M”>。，>V+2tz„=4S„-l.

⑴求｛q｝的通项公式；

s

（2）设么=—=的前〃项和为北，求T“.

anan+l

17.已知椭圆0。"=10>0）过臼和।仓半，点.用,B分别为椭圆的左、

右焦点，尸为椭圆上的点（P不在x轴上），过椭圆右焦点F2的直线/与椭圆交于A、B两

点.

（1）求椭圆的标准方程；

⑵求|他的范围.

18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电

动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电

池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化

和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节

能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指

明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品

生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产

的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数

据整理得到频率直方图（如图）：

频率/组距

(1)从质量指标值在［55,75)的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这

5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.

(2)经估计知这组样本的平均数为x=61.方差为『=241.检验标准中=5x>,

2=5x”曳,其中［司表示不大于x的最大整数，｛x｝表示不小于x的最小

整数，s值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%

落在［4伪］内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；

若有95%落在［%,4］内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造

成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？

19.如图，AD//BC,S.AD=2BC,ADLCD,EG//AD^.EG=AD,CD］IFG旦CD=

2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

⑴若M为CP的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面COE；

(2)求平面E8C和平面8b所夹角的正弦值；

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据集合并补运算即可求得.

【详解】17={0,1,2,3,4,5},N={0,3,5},所以电N={L2,4},

所以M（6N）={1,2,3,4},

故选：B.

2.A

【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.

-i-i(4-3i)34.

【详解】因为（4+3i）z=—i,所以"4=(4+3i)("3i)=-------------1

+3i2525

4

所以z的虚部为-不■.

故选：A.

3.D

【分析】根据图象的平移变换得到g（X）=sin（2x+20）,然后根据和差公式和辅助角公式整

理得至Uy=/（x）+g（力=J2+2cos20sin（2x+a）,最后根据三角函数的性质求a的范围即

可.

【详解】由题意得g（x）=sin（2x+20）,

则3=/(x)+g(x)=sin2x+sin(2x+20)

=sin2x+cos2(psin2x+sin2(pcos2x

=(1+cos2(p)sin2x+sin20cos2x

=J(1+COS2O)2+sin22(psin(2x+a)

sin2(p

=j2+2cos2(psin(2x+a),tancr=

1+cos2(p

因为COS20£[-4,1],所以J2+2COS20£[0,2],所以a«0,2].

故选：D.

4.D

【分析】根据已知条件判断出〃6为确定常数，再由此确定正确答案.

答案第1页，共11页

【详解】设等比数列｛风｝的公比为4,

依题意，为确定常数，即。6为确定常数.

4=44。6a7=。：不符合题意；

'1g^Zg=（%%『不符合题意；

7；。=（。5%）5不符合题意；

Tn=ava2须%=成为确定常数，符合题意.

故选：D

5.D

【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”,

即可求出函数的最小值与最大值.

5

X1

2

由反比例函数的性质得：

y在［3,+8）上单调递减，止匕时y>2,

y在18,Q）上单调递减，止匕时y<2,

又因为xdN,N为自然数集,

所以Vmin在［-S,l'j上取到，X=2时,为!!=-7,

同理Ymax在g+s］上取到,了=3时,Vmax=11，

所以当xeN,N为自然数集时，函数有最小值也有最大值.

故选：D.

6.A

【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.

【详解】令根-A=%兀（尢©Z）,得％=三+4兀（KeZ）,

所以曲线y=〃x）关于直线片展+匕兀代eZ）对称.

令4根+£=］+右兀©Z）,得根=A+eZ）,

答案第2页，共11页

所以曲线y=g（x）关于直线彳4+卓的"）对称.

因为｛m|/«=、■+%兀（匕eZ）｝｛m\m=^+^^-（k2eZ）｝

所以“曲线y=〃X）关于直线X=，"对称”是“曲线y=g（x）关于直线X=m对称”的充分不必要

条件.

故选：A.

7.C

【分析】首先根据焦半径公式求点"的坐标，再代入面积公式，即可求解.

【详解】设点〃（叼九），网2,0）,所以|MF|=%+2=6,得毛=4,%=±4夜，

所以△MOP的面积S=：|O/冈%|=:x2x4友=4忘.

故选：C

8.A

【分析】对于c-a=21n（>0可构造函数/（x）=x-21nx,利用导函数可求出其单调性，利

用数形结合可得0<a<2<c,对于（、丽）"=3"+1,可在同一坐标系下画出函数y=（JQ/及

y=3'+l的图象，可得0<a<b<2,再由不等式性质可知A正确.

【详解】由c-a=21n*>0得c-21nc=a-21na且c>。，

a

2

构造函数/（x）=x-21nx,所以f=

易得〃x）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，其函数图象如下图所示：

易知函数、=（碗尸及、=3，+1交于点（2,10）,作出函数丁=（如尸及、=3，+1的图象如下

图所示：

答案第3页，共11页

由图知0<a<b<2

所以0<a<Z?<2<c,即a<6,2<c,由此可得。+2</+c,BPc-a>2-b.

故选：A

【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数

单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.

9.AB

【分析】由百分位数的概念可判断.

【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31,由10x0.75=7.5,可知把这10个数据从

小到大排列后，第8个数为31,

可知，选项A,B正确，C,D错误.

故选：AB.

10.AC

【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.

【详解】D⑺=3,。（3.14）=2,。（乃>0（3.14）,A正确；

。（尤）=［；'*：，则°（x）的值域为{2,3},B错误；

xeQ时，”Q,D（D（x））=D（2）=2,O（O（r））=£»（2）=2,所以=。（。（一力）,

xeQ时，-xeQ,。（。（无））=。⑶=2,D（D（-x））=D（3）^2,D（D（x））=D（D（-x））,

所以O（O（x））为偶函数，C正确；

x=75时，取a=l-收，此时。（彳+4）=以1）=2,。（<?-尤）=。（1-20）=3,贝！|

D（x+a）^D（a-x）,D错误.

故选：AC

答案第4页，共11页

11.AB

【分析】求出圆台的高。。2可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B,C；由内切圆

的性质以及切线长定理易知轴截面ABC。不存在内切圆可判断D.

【详解】对于A,由CD=2AB=2M)=23C=4cm,可得高00?=-［苛J=6,

则圆台轴截面A8CD的面积为gx(2+4)x后=3®n?,故A正确；

对于B,圆台的侧面积为S恻=7r-(l+2)x2=67i(cm2),

又S上=7ixF=?r(cm2),S下=兀-22=4;r(cm2),

所以S表=6兀+兀+4兀=11兀(加2),故B正确；

对于C,圆台的体积为1/=：无•6x(l+4+2)=孚无(加3),故C错误；

对于D,若圆台存在内切球，则必有轴截面ABC。存在内切圆，

由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误，

故选：AB.

12.—/-0.5

2

【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.

【详解】因为/(x)=2a五一:，所以''(")=宕+］，

因为Ax)在点。，/⑴)处的切线为直线x-2y+r=0,

所以广⑴=。+1=1，解得。=-；.

故答案为：

13.6

【分析】将FI+E+F3=o变形后平方得到相应结论，然后将国-F2|平方即可计算对应的值.

【详解】由耳+FZ+F3=0,可得耳+F2=-F3,所以(-F3)2=(B+F2)2,化简可得

F；=F：+F；+2F「£,

因为国|=区|=闯=1,所以24.旦=-1,

答案第5页，共11页

2

所以国-Fz|=7（F,-F2）=血2-2耳区+瑁=V1-C-D+1=G-

故答案为G

【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成

求解，还可以利用图示法去求解.

14瓜+6

【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于。，久。的齐次式后可得离心率.

【详解】如图，易得尸(-C,生)，鸟(c,0),PF2=(2C,--),设M(x,y),

aa

__.h2

MF2=(c-x,-y),由PF2=3MB得(2C,一一)=3(c-x,-y),

1

2c=3(c-x)%—301b21b2

,b2，解得<即航»OM=6,，）,

---二—3yb33。33。

、a

又OMLPF,,.•.。知.尸乙=202一与=0,e=£,^=c2-标代入得2e?-(e?-1>=0,因

33/a

为e>1故解得e="+0,

故答案为：G6

【分析】(1)结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan8=-6,进而求

解即可；

12

(2)在中由正弦定理可得----,在RtZXABQ中，可得40="^—,进而得到

sinCsinA

答案第6页，共11页

-^-+^-=sinA+sinC,结合三角恒等变化公式化简可得亲+夫=sin[c+1],进而结

合正弦函数的图象及性质求解即可.

【详解】（1）a2=-^S+abcosC,

3

/.a2=-^-absinC+abcosC,艮P〃=-^-bsinC+bcosC，

33

由正弦定理得，sinA=-sinBsinC+sinBcosC，

G3

sin（B+C）=-3sinBsinC+sinBcosC，

G

cosBsinC=-3sinBsinC»

sinCW0,/.tanB=-y[3，

由0<3<兀，得8=可.

2兀

(2)由(1)知，B=,

JTTT

因为所以/ABO=—,ZDBC=~,

26

DCBD

在△BCD中，由正弦定理得

sinZDBCsinC

nn2sin—1

即。c=-6=_L

sinCsinC

在RtZXABQ中，AD=----=-----

sinAsinA

2121

---1---=-----1-----=sinA+sinC

ADCD21

sinAsinC

27171

ZABC=—,/.A+C=-,

33

21..r-,.|兀•y—,•兀一兀•—•—•|一兀

----1=sinA+sinC/=sin——C+sinC=sm—cosC-cos—sinC+sinC=sinC+—

ADCD）33I3

rr7T712兀,/.sinfC+^-j

0<C<-,.-.C+-eG

335』’

21

所以而+而的取值范围为

答案第7页，共11页

B

【分析】(1)先用5+i)替换原式中的“，然后两式作差，结合。”与s”的关系，即可得到{%}

为等差数列，从而得到其通项.

s

(2)由(1)的结论，求得S“及。用，代入勿=—化简，得到的式子，裂项相消即可.

anan+\

【详解】(1)Q%2+2%=4S「1,

a

n+i+2。用=4S〃+]-1，

两式作差得:(q+1+。。(为+1-%-2)=0,

Q为>0「.an+i-an=2f

「•{q}成等差数列，

又当九=1时，(％—I)?=0,

所以4=1

即an=l+(〃-l)x2=2〃—1

(2)由(1)知％=2M一1,

则S,=n2，

22

n211

即21+

a„a„+l⑵I)(2"+l)4

」+工11

48\2n-l2〃+1

1—+L1

故+」

3352〃一12〃+1

n1nnn2+n

=—i—=—+

4848〃+44〃+2

答案第8页，共11页

3+Q

(2)[3,4]

【分析】（1）将点（1,|）,（夜,4）代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程；

（2）分类讨论直线斜率是否为0,从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与

弦长公式得到关于优的关系式，再分析即可得解；

【详解】（1）由题意可知，将点（6）,（0,日）代入椭圆方程，

,9

±+A=i

/h2

得］，解得/=4方=3,

O

〔/b2

22

所以椭圆的标准方程为工+二=1.

43

（2）由（1）知耳（—1,0）,7^（1,0）,

当直线/的斜率为0时，|AB|=2a=4,

当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为*=切+1,4(石,另)，3(々,%)，

[x2y2.

联立<43，消去工,得(3加+4)丁+6my-9=0,

x=my+1

7——9

易得△=(67〃)一+36(3m2+4)>0,贝U%+%=—~7，％%=02，，

3m+43m+4

所以网=j(/_/+(%_X)2=+1(%+必『-4%%

⑵£+12="--

3m2+43m2+4

4,।

因为，"22o,所以3M?+424,所以。〈而有41,所以3<|AB|<4,

综上，3<|AB|<4,即的范围是［3,4］.

答案第9页，共11页

18.⑴彳；

(2)详见解析;

【分析】(1)根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；

(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可

得出结论.

【详解】(1)由题意可知誉㈣■=$!=：,

465.75)U.Z2

所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：尸=理==1=|；

(2)因为S?=241，知S16,

皿,［61-16］..7u「61+161__

贝Uq=5xj——-——j=45,4=5x——-——=75,

该抽样数据落在［45,75］内的频率约为0.16+0.3+0.2=66%>65%,

巾,［61-2x1617匚F61+2x161

又％=5xJ------->:30,b2=5x-----