2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学含解析

2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试

数学试卷

考生须知：

1.考生要认真填写考场号和座位序号.

2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40

分.

3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔

作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.

4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.

第一部分（选择题共60分）

一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

]知集合」}则

1.A={T°l={L2},AB=()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2}

2.复数i2=()

A.iB.-iC.1D.-1

3.函数〃尤）=x（f+i）的零点为（）

A.-1B.0C.1D.2

4,已知向量a=(O,l)]=(2,1),则a—〃=()

A.(0,-2)B.(2,0)C.(-2,0)D.（2,2）

5.不等式f>1的解集为（）

A.{可-B.1x|0<x<1}C.{止1〈尤<1}D.同％<-1或%>1}

6.在空间中，若两条直线。与b没有公共点，则〃与Z?()

A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是

异面直线

7.在同一坐标系中，函数y=/（x）与y=—/（x）的图象（）

A.关于原点对称B.关于X轴对称

c关于y轴对称D.关于直线y=%对称

8.已知。虫R,AR,则“a=b”是％2=万2,,的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠

送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为()

1111

A.—B.—C.—D.一

2346

fx,x<0

10.已知函数/■(%)=<1,若〃%0)=2,贝|]%=()

一,x>0

lx

11

A.4B.——C.2D.-2

22

11.在一ABC中，a=l,b=3,c=5,贝UZA=()

A.30°B.60°C.90°D.120°

12.下列函数中，存在最小值的是()

A./(x)=-x+lB.f(x)=x2-2xC./(x)=evD./(X)=1IIY

13.贸易投资合作是共建“一带一路''的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总

值比重(简称占比)的数据如下：

年份2013201420152016201720182019202020212022

占比(％)39.240.338.938639640.642.441.442.245.4

则这10年占比数据的中位数为（）

A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%

14.若tana=—1,则角々可以为（）

71兀3兀5兀

A.-B.—C.—D.—

4646

15.log62+log63=（）

A.0B.1C.2D.3

16.函数/（x）=9的定义域为（）

A.[-3,+8)B,[-2,+co)c.[2,+00)D.[4,+co)

17.如图，在正方体ABC。—A4GR中，P为的中点.若A5=l,则三棱锥A-ADP的体积为

18.(sinl5°+cosl50)2=()

13

A.：B.1C.-D.2

22

19.已知。之02之0,且a+b=l,则a—/?的取值范围是()

A.[—1,0]B.[0,1]C.[一1,1]D,[—2,2]

20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选

择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点()

A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生

C.最少有618名学生D.最少有617名学生

第二部分(非选择题共40分)

二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.

21.已知事函数/(乃=^的图象经过点(2,4),则。=.

22已知。曲为R,且a>6,则2—a3-b(填"/或“<”).

23.已知向量a,0,c,其中a=(1,0).命题p：若a1.bi=%：c，则匕=°，能说明p为假命题的一组6和c

的坐标为'=,c=.

24.已知的/(力=同片，给出下列三个结论:

①了(力的定义域为R；

②VxeR,/a)V/(O)；

③三左eR,使曲线y=/(x)与y=Ax恰有两个交点.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

25.己知函数〃%)=2cos2x.

(1)求“力的最小正周期；

JT

(2)求/(%)在区间0,-上的最大值和最小值.

26.阅读下面题目及其解答过程.

已知函数/(力=2,+2『

⑴证明："X)是偶函数；

(2)证明：7(％)在区间(0,+。)上单调递增.

解：⑴"％)的定义域为。:①.

因为对任意尤e。，都有—xwO,且/(—无)=2一*+2*=②,所以〃尤)是偶函数.

(2)③%[,x2e(0,+oo),且石<%2,

/(X1)-/(X2)=(2^+2^)-(2^+2-^)

=2国-2%2+------—

2%i2数

_2再

X,

=2-T-+--2--西--+-%--

因为0cxi<x2,

所以2』-2^④0,2均+巧-1®0,2均+巧>1.

所以/(%)-/(巧)<°，即/(石)</(x2).

所以“尤)在区间(0,+。)上单调递增.

以上题目的解答过程中，设置了①〜⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有

一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“2”）,

空格序号选项

①A.RB.(-^,0)U(0,+oo)

②A.-/(%)B"（X）

③A任取B.存在

④A.>B.<

⑤A>B.<

27.如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面A3CD是菱形，平面A3CD,E为的中点.

（1）求证：上平面上4C；

（2）求证：。5//平面隹。.

%伪q4'

已知%=(%%,%,&))和数表其中％)若数表

28.A=a2b2c,d24q,4eN*(z=0,l,2,3.

b3c3d3,

A满足如下两个性质，则称数表A由4生成.

①任意，G{0,1,2}，4+1-4，/1一2«+1—q，4+i-4中有三个T，一个3；

②存在左e{l,2,3},使以，仇,/,队中恰有三个数相等.

,5666、

⑴判断数表A=4559是否由4=（6,7,7,3）生成；（结论无需证明）

、3848,

（2）是否存在数表A由4=（6,7,7,4）生成？说明理由；

（3）若存在数表A由4=（7,12,3,4）生成，写出4）所有可能的值.

2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试

数学试卷

考生须知：

1.考生要认真填写考场号和座位序号.

2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40

分.

3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作

答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.

4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.

第一部分（选择题共60分）

一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知集合'={—101}1={1，2},则AB=（）

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.

【详解】集合A={—1,0,1},5={1,2},根据集合交集的运算，可得Ac3={l}.

故选：A.

2.复数=（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据复数的运算得答案.

【详解】i2=-l.

故选：D.

3.函数〃%）=%（炉+1）的零点为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.

【详解】令/'（力=尤（/+1）=0,则x=0,

即函数八了）=%（必+1）的零点为0,

故选：B

4.已知向量a=（0,1）1=（2,1）,则。―匕=（)

A.（0,-2）B.（2,0）C.(-2,0)D.(2,2)

【答案】c

【解析】

【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.

【详解】a=（0,l）,Z?=（2,l）,

:.a-b—（-2,0）.

故选：C.

5.不等式炉>1的解集为（）

A.1x|-l<x<0}B.1%0<%<1}C.1x|-l<x<l}D.{小<-1或%>1}

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】由题意知，X?或x〉l,

所以原不等式的解集为{x|x<—1或x>1}.

故选：D

6.在空间中，若两条直线。与力没有公共点，则〃与/?()

A.相交B.平行C.是异面直线D,可能平行，也可能是异

面直线

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.

【详解】由题意知在空间中，两条直线。与力没有公共点，即。与匕不相交，

则。与b可能平行，也可能是异面直线,

故选：D

7.在同一坐标系中，函数y=/（x）与丁=一/（九）的图象（）

A.关于原点对称B.关于x轴对称

c.关于y轴对称D.关于直线y=%对称

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.

【详解】当x时，y=/（a）与y=—/（a）互为相反数，

即函数y=/（x）与丁=一/（九）图象关于x轴对称.

故选：B.

8.己知。挝R,"R,则“。=0”是“片=/”的（）

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据充分性和必要定义判断求解.

【详解】当时，/=/,

当/=/时，a=±b，

则“a=》”是"cr=b2”的充分而不必要条件.

故选：A.

9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠

送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）

1111

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.

【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.

【详解】/（x）=—x+1单调递减值域为R,无最小值，A选项错误；

=2%在（―8,1）单调递减，在（1,内）单调递增，当x=l取得最小值，B选项正确；

〃x）=e'单调递增，值域为（0,+8）,无最小值，C选项错误；

/（x）=lnx单调递增，值域为R,无最小值，D选项错误.

故选:B.

13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值

比重（简称占比）的数据如下：

年份2013201420152016201720182019202020212022

占比（％）39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4

则这10年占比数据的中位数为（）

A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%

【答案】B

【解析】

【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.

【详解】把这10年占比数据从小到大排列得

38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%,

40.3%+40.6%

中位数为=40.45%.

2

故选：B

14.若tana=—1,则角c可以为（）

JI兀3兀5兀

A.—B.—C.—D.

464~6

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据正切值求角即可.

【详解】tan<z=-l,

3兀

oc------1-kn^kGZ,观察选项可得角。可以为—.

44

故选：c.

15.log62+log63=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.

【详解】log62+log63=log6(2x3)=log66=1.

故选：B.

16.函数y(x)=办工-9的定义域为()

A.[-3,+s)B.[-2,-fw)C.D.[4,+CO)

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数/(%)的解析式有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数/■(%)=J3,—9有意义,则满足3工—930,即3*29=3?，解得x»2,

所以函数/(%)的定义域为[2,+8).

故选：C.

17.如图，在正方体ABC。—A4G2中，P为的中点.若A3=l，则三棱锥2—ADP的体积为

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.

【详解】因为。2,面AOP

所以53P=；XD01XSADp=jxlx|xlxl=1.

故选：D.

18.(sinl50+cosl50)2=()

i3

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.

3

【详解】(sin150+cos150)-9=sin215°+2sin15°cos150+cos215°=1+sin300=-,

故选：C

19.已知。之。力之0,且a+〃=l,则a—Z?的取值范围是()

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D,[-2,2]

【答案】C

【解析】

【分析】先通过条件求出。的范围，再消去力求范围即可.

【详解】由。+〃=1得〃=1—a,

所以1一。20,得OWaWl,

所以a—b=a—(1—a)=2a—1s[—1,1].

故选：C.

20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择

其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点()

A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生

C.最少有618名学生D.最少有617名学生

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.

【详解】1850-3=6162,

616+1=617,即研学人数最多的地点最少有617名学生，

1850-100-100=1650,即研学人数最多的地点最多有1650名学生.

故选：D

第二部分（非选择题共40分）

二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.

21.己知嘉函数/5）=/的图象经过点（2,4）,则。=.

【答案】2

【解析】

【分析】由塞函数所过的点可得2a=4,即可求a.

【详解】由题设，/（2）=2“=4,可得a=2.

故答案为：2

22.已知。曲力R,且则2—a3-b（填"/或.

【答案】<

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质即可求解.

【详解】由题意知，a>b,贝!|一。<一/7,

所以—a+2<—6+3,即2—a<3—>

故答案：<

23.已知向量a,0,c,其中a=（l,0）.命题p：若;.力=；」，则5=°，能说明p为假命题的一组6和c的

坐标为。=，c=.

【答案】①.（0,1）（答案不唯一）②.（0,2）（答案不唯一）

【解析】

【分析】直接根据=%=。；=0可得答案.

【详解】让a.6=a.c=0即可,

如b=（0,1）,°=（0,2）,此时b/c

故答案为：（0,1）,（0,2）（答案不唯一）.

24.已知的小）=心

给出下列三个结论:

①的定义域为R；

②VxeR"(x)W/(O)；

③mkeR,使曲线y=/(x)与丁=丘恰有两个交点.

其中所有正确结论的序号是—

【答案】①②

【解析】

【分析】①直接观察函数可得答案；②通过凶20求出了(%)的最值即可；③将问题转化为y与

k

y=g(x)=M』+l)的交点，、数即可.

【详解】对于①：由x+lw()恒成立得/(%)的定义域为区，①正确；

对于②：同20=乂+121二］乂+产1=/(°)’②正确；

1,

对于③：令।।।=履，变形得R+1)=—,

闵+1K

x2+x,x>Q工，eie

作出函数g(X)=+1)=<2的图象如下图：

-x'+x,x<0

1/

y=g(x)

根据图象可得g(x)在R上单调递增，

故丁=,与只有一,

y=g(x)、交点，即不存在keR,使曲线y=/(x)与y=Ax恰有两个交点，③错

k

误.

故答案为：①②.

三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

25.已知函数/(x)=2cos2x

（1）求的最小正周期；

（2）求/（%）在区间0,^上的最大值和最小值.

【答案】25.兀

26.最大值为2,最小值为-2

【解析】

T2兀

【分析】（1）结合公式T=［计算直接得出结果；

（2）由题意求得0«2兀＜兀，根据余弦函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

2兀2兀

由,=同=万=~

知函数"X）的最小正周期为兀；

【小问2详解】

7T

由0V%＜一,得0«2%＜兀，

2

令夕=2%,则0«夕＜兀，

函数y=cos夕在［0,兀］上单调递减，所以-1技2S01,

所以—2«/（%）＜2,

7T

即函数f（x）在［0,-］上的最大值为2,最小值为-2.

2

26.阅读下面题目及其解答过程.

已知函数/（尤）=2工+2;

⑴证明："％）是偶函数；

（2）证明："%）在区间（0,+8）上单调递增.

解：⑴〃司的定义域为。二①.

因为对任意xe。，都有—xwO,且/（—x）=2r+2x=②,所以"％）是偶函数.

（2）③\,x2e（0,+oo）,且芭＜%2，

/&)-/(七)=(21+2.哲)-(2*+2-

=21-M22+-1----1

2画2巧

=2X1—2%+-———

2再+巧

因为0<%<%2,

所以2'_2为④0,2』+巧-1⑤0,2』+"2>1.

所以/(%)—/(%2)<°，即/(石)</(%2)・

所以“X）在区间（0,+"）上单调递增.

以上题目的解答过程中，设置了①〜⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一

个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“8”）,

空格序号选项

①A.RB.(-8,0)U(0,+GO)

②A.-f(x)B-f(x)

③A.任取B.存在

④A.>B.<

⑤A.>B.<

【答案】ABABA

【解析】

【分析】根据了（%）的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定

义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.

【详解】①由于〃1）=2'+2一”的定义域为R,故A正确；

②由于〃—力=2-*+2、=/3,故B正确；

③根据函数单调性定义可知任取%,%€（°，+8），故A正确；

④因为0＜玉＜々，所以2为＜2当，故2为一2也＜0，故B正确;

⑤因为0＜西＜为2，故%+工2〉0,故2%+巧〉1,二-1〉0,故A正确.

27.如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面ABCD是菱形，刈，平面ABCD,E为的中点.

（1）求证：80/平面PAC；

（2）求证：P3//平面AEC.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质可得结合线面垂直判定定理即可证明；

（2）设AC与8。交于点。，连接OE,则OE//P5,结合线面平行的判定定理即可证明.

小问1详解】

因为上4_L平面ABC。，BDu平面ABCD，所以5DLP4，

又平面A3CD为菱形，所以5。，AC,

又PAAC=A,PA.AC?平面R4C,

所以8D1平面PAC；

【小问2详解】

E为尸。的中点，设AC与8。交于点。，连接。石，

则OE//P5,又OEu平面AEC,PBz平面AEC,

所以P5//平面AEC.

&bxq&'

28.己知%=（%Z?o，Co4）和数表A=«2瓦c2d2,其中4，白9，4€>1*（7=0,1,2,3）.若数表人

、%b3c3

满足如下两个性质，则称数表A由4生成.

①任意ie{0,1,2}，4+I一%%—%q+i—I%—4中有三个-1，一个3；

②存在左G{1,2,3}，使久也,中恰有三个数相等.

,5666、

（1）判断数表4=4559是否由4=（6,7,7,3）生成；（结论无需证明）

、3848,

（2）是否存在数表A由4=（6,7,7,4）生成？说明理由；

（3）若存在数表A由4=（7,12,3,4）生成，写出盘所有可能的值.

【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析

（3）3,7,11.

【解析】

【分析】（1）根据数表A满足的两个性质进行检验，即可得结论；

（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A,由性质①推出对任意的&e{1,2,3},以，4，/,“中均有2

个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；

（3）判断出或的所有可能的值为3,7,11,一方面说明乂取这些值时可以由4=（7,12,3,4）生成数表

A,另一方面，分类证明乂的取值只能为3,7,11,由此可得/所有可能的值.

【小问1详解】

,5666、

数表A=4559是由4=（6,7,7,3）生成；

、3848,

检验性质①：

当，=0时，5-6=-1,6-7=-1,6-7=-1,6-3=3,共三个—1,一个3；

当'=］时，4-5=-1,5-6=-1,5-6=-1,9-6=3,共三个-1,一个3；

当，=2时，3—4=—1,8—5=3,4—5=—1,8—9=—1,共三个一1,一个3；

任意iG{0,L2}，4+]—4，%——q，4+1—4中有三个T,一个3；

检验性质②：

当％=1时，q=5,4=6，G=6,4=6,恰有3个数相等.

【小问2详解】

不存在数表A由4=（6,7,7,4）生成，理由如下：

若存在这样的数表A,由性质①任意ie{0,l,2}，4+i-@也]一九%-q，4+i-4中有三个-1,一个3,

则勾+1-卬=3或-1,总有ai+l与为的奇偶性相反，

类似的，bM与伪的奇偶性相反，c;+1与q的奇偶性相反，dm与4的奇偶性相反;

因为4=6,%=7,/=7,4；=4