2024届安徽省淮北市十校联考最后数学试题含解析

2024届安徽省淮北市烈山区重点中学十校联考最后数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.在RSABC中，ZC=90°,如果sinA=—,那么sinB的值是（）

2

A.3B.-C.72D.—

22、2

2.一元二次方程x2-3x+l=0的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.以上答案都不对

3.A在下列交通标志中，是中心对称图形的是（A）

C.

如图，和是。的切线,点和“是切o点，是的直径，已知。，则的大小是()

4.PAPBOABAC0ONP=40/ACB

>P

A.60°B.65°C.70°D.75°

5.在RtAA3c中，ZC=90°,如,果AC=4,5c=3,那么NA的正切值为()

3434

A.-B.-C.—D.一

4355

6.下列计算正确的是()

A.a2+a2=a4B.a5»a2=a7C.(a2)3=a5D.2a2-a2=2

7.小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用

的时间相等.设小明打字速度为X个/分钟，则列方程正确的是（）

120180120180120180120180

A.--------------B.-----=--------C.--------------D.--------........

x+6xxx-6xx+6x-6x

8.一个六边形的六个内角都是120。（如图），连续四条边的长依次为1,3,3,2,则这个六边形的周长是（）

A.13B.14C.15D.16

9.利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的

图形是（）

A.

10.在下列二次函数中，其图象的对称轴为％=-2的是

2

A.y=(x+2)2B.j=2x2-2C.y=-2x--2D.j=2(x-2)

11.已知常数k<0,)

12.如图所示的几何体的俯视图是（)

A.C.D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分,共24分.）

13.如图甲，对于平面上不大于90。的NMON,我们给出如下定义：如果点P在NMON的内部，作PE±OM,PF±ON,

垂足分别为点E、F,那么称PE+PF的值为点P相对于NMON的“点角距离”，记为d（P,ZMON）.如图乙，在平

面直角坐标系xOy中，点P在坐标平面内，且点P的横坐标比纵坐标大2,对于NxOy,满足d（P,ZxOy）=10,

点P的坐标是

14.七边形的外角和等于

15.分解因式：ax2-a=.

16.如图，在AABC中，AB=AC,点D、E分别在边BC、A3上，且NADE=NB，如果。石：A£>=2:5,BD=3,

那么AC=

17.双察下列等式：=工1=也，匚工=走，…则第"个等式为___.(用含”的式子表示)

V242V393\4164

18.已知△ABC中，BC=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺.如

图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30。，沿着CB方向向大树行进10米到达点D,测得树AB顶端A的仰角

为45°,又测得树AB倾斜角Nl=75。.

(1)求AD的长.

(2)求树长AB.

20.(6分)如图1,口OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3,A(2,1),反比例函数y=8(x>0)的图象经过点

X

B.

(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；

(2)如图2,将线段OA延长交y=&(x>0)的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点，①求

x

直线BD的解析式；②求线段ED的长度.

21.(6分)在平面直角坐标系中，。为原点，点A(3,0),点B(0,4),把A绕点A顺时针旋转，得△

点5,。旋转后的对应点为5。O.

(1)如图1,当旋转角为90。时，求5n的长；

(2)如图2,当旋转角为120。时，求点。，的坐标；

(3)在(2)的条件下，边03上的一点尸旋转后的对应点为P,当OP+AP取得最小值时，求点P，的坐标.(直接

写出结果即可)

22.(8分)如图，在平行四边形ABC。中，/ADC的平分线与边相交于点E.

(1)求证5石+5。=00；

(2)若点E与点B重合，请直接写出四边形A3。是哪种特殊的平行四边形.

23.(8分)已知：如图，AMNQ中，MQ^NQ.

(1)请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与AMNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法;

Q

（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图，在四边形ABCD中，ZACB+ZCAD=180°,ZB=ZD.求证：CD=AB.

24.（10分）如图，BC是路边坡角为30。，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的

边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角NDAN和NDBN分别是37。和60。（图中的点A、B、C、D、M、N

均在同一平面内，CM〃AN）.求灯杆CD的高度；求AB的长度（结果精确到0.1米）.（参考数据：6=1.1.sin37°~060,

25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x-2与双曲线y2=±交于A、C两点，AB_LOA交x轴于点B,

x

且OA=AB.

（1）求双曲线的解析式；

（2）求点C的坐标，并直接写出yi〈y2时x的取值范围.

26.（12分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，NBAF的平分线交。O于点E,交。O的切线BC于

点C,过点E作EDLAF,交AF的延长线于点D.

D

①求生的值；②若点G为AE上一点，求

求证：DE是。O的切线；若DE=3,CE=2.

AE

27.（12分）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻

炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试.现将项目选择情况及

训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图.

请你根据上面提供的信息回答下列问题：扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为度，该班共有学生______人，训练

后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是.老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学

生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

-1

•.•RtAABC中，ZC=90°,sinA=一，

2

/.cosA=-2A="一2

2

/.ZA+ZB=90°,

sinB=cosA=----.

2

故选A.

2^B

【解析】

首先确定a=Lb=-3,c=l,然后求出A=b?-4ac的值，进而作出判断.

【详解】

Va=l,b=-3,c=l,

.*.△=（-3）2-4xlxl=5>0,

...一元二次方程xZ3x+l=0两个不相等的实数根；

故选B.

【点睛】

此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（DA>0地程有两个不相等的实数根;（2）A=0O

方程有两个相等的实数；（3）AV0坊程没有实数根.

3、C

【解析】

解：A图形不是中心对称图形；

B不是中心对称图形；

C是中心对称图形，也是轴对称图形；

D是轴对称图形；不是中心对称图形

故选C

4、C

【解析】

试题分析:连接OB,根据PA、PB为切线可得：/OAP=NOBP=90。,根据四边形AOBP的内角和定理可得NAOB=140。，

VOC=OB,贝!JNC=NOBC,根据NAOB为△OBC的外角可得：ZACB=140°-r2=70°.

考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.

5、A

【解析】

根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】

5*田BC3

解：在RtAABC中,NC=9(T,AC=4,BC=3,...tanA=——=-

AC4

故选A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义内容是解题的关键.

6、B

【解析】

根据整式的加减乘除乘方运算法则逐一运算即可。

【详解】

A.。2+储=2。2,故A选项错误。

B.a5-a2=a7,故B选项正确。

3

C.(a2I=d,故C选项错误。

D.2储故D选项错误。

故答案选B.

【点睛】

本题考查整式加减乘除运算法则，只需熟记法则与公式即可。

7、C

【解析】

解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间

和小张打180个字所用的时间相等,

­皿汨120180

可列方程得一=-

xx+6

故选C.

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大.

8、C

【解析】

解:如图所示，分别作直线A5、CD.E歹的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I.

因为六边形ABCDEF的六个角都是120°,

所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.

所以AFI、一BGC、DHE、G印都是等边三角形.

所以AZ=AF=3,BG=BC=1.

：.GI=GH=AI+AB+BG=3+3+l=J,

DE=HE=HI-EF-FI=1-2-3=2,

CD=HG—CG—HD=7—1—2=4.

所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15；

故选C.

9、A

【解析】

根据：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着

某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.逐个按要求分析即可.

【详解】

选项A,是轴对称图形，不是中心对称图形，故可以选；

选项B,是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选；

选项C,不是轴对称图形，是中心对称图形，故不可以选；

选项D,是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选.

故选A

【点睛】

本题考核知识点：轴对称图形和中心对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和中心对称图形定义.

错因分析容易题.失分的原因是：没有掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.

10、A

【解析】

y=(x+2)2的对称轴为x=-2,A正确;

y=2x?-2的对称轴为x=0,B错误；

y=-2x2-2的对称轴为x=0,C错误；

y=2(x-2)2的对称轴为x=2,D错误.故选A.

1.

11、D

【解析】

当k<0,b>0时，直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，由此确定正确的选项.

【详解】

解：•.•当kVO,b>0时，直线与y轴交于正半轴，且y随X的增大而减小，

直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限.

故选D.

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质.关键是明确系数与图象的位置的联系.

12、D

【解析】

试题分析：根据俯视图的作法即可得出结论.

从上往下看该几何体的俯视图是D.故选D.

考点：简单几何体的三视图.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(6,4)或(-4,-6)

【解析】

设点P的横坐标为x,表示出纵坐标，然后列方程求出x,再求解即可.

【详解】

解：设点P的横坐标为x,则点P的纵坐标为x-2,由题意得，

当点P在第一象限时,x+x-2=10,

解得x=6,

/.x-2=4,

・・・P(6,4)；

当点P在第三象限时，-x-x+2=10,

解得x=-4,

.\x-2=-6,

：.P(-4,-6).

故答案为：(6,4)或(-4,-6).

【点睛】

本题主要考查了点的坐标，读懂题目信息，理解“点角距离”的定义并列出方程是解题的关键.

14、360°

【解析】

根据多边形的外角和等于360度即可求解.

【详解】

解：七边形的外角和等于360。.

故答案为360°

【点睛】

本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360。.

15、a(x+l)(x-l)

【解析】

先提公因式，再套用平方差公式.

【详解】

ax2~a=a(x2-l)=a(x+l)(x—1)

故答案为：«(%+1)(%-1)

【点睛】

掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.

15

16、—

2

【解析】

根据=ZEAD=ZDAB,得出利用相似三角形的性质解答即可.

【详解】

VZADE=ZB,ZEAD=ZDAB,

二，

DEBD32

•*.---=----,即an----=一,

ADABAB5

'：AB=AC,

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解.

17、I117^

\n+1(n+1)2n+1

【解析】

探究规律后，写出第"个等式即可求解.

【详解】

11

4-16-V

11

则第n个等式为

n+1(n+1)2n+1

11

故答案为:

n+1(n+1)2n+1

【点睛】

本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键.

16

18、——

3

【解析】

设AC=x，则AJ3=2x,根据面积公式得SAABC=2XJl—COS?C，由余弦定理求得cosC代入化简

25694

，由三角形三边关系求得§<X<4，由二次函数的性质求得SAABC取得最大值.

~9--16

【详解】

设AC=x,贝!JA5=2x,根据面积公式得:c=-AC-BCsinC=2xsinC=2xJi—cos2c•由余弦定理可

ZB16—3x2

得：cosrC=-------,

8x

••ABC=2X—COS2C=2X1—―—

,l8%

2x+x>44

由三角形三边关系有（c，解得彳<%<4,

x+4>2x3

故当x=速时，:<X<4取得最大值1，

333

故答案为：—.

3

【点睛】

本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，考查了二次函数的性质，考查了计算能力,当涉及最值问题时,

可考虑用函数的单调性和定义域等问题,属于中档题.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）5指+5后；（2）1072.

【解析】

试题分析：（1）过点A作AE_LCB于点E,设AE=x,分别表示出CE、DE,再由CD=10,可得方程，解出x的值，

在RtAADE中可求出AD；

（2）过点B作BFJ_AC于点F,设BF=y,分别表示出CF、AF,解出y的值后，在RtAABF中可求出AB的长度.

试题解析：（1）如图，过A作A〃_LC5于〃，设CH=y/3x,DH=x.

'：CH—DH=CD,：.73x—x=10,；.x=5(6+l).

VZADH=45°,：.AD^&x=576+542.

(2)如图，过8作8M_LAO于M.

VZ1=75O,ZADB^45°,：.ZDAB^3Q0.

设'.AB=2m,AM=6m,DM=m.

AD=AM+DM,5^6+5^2=^3m+m.**./«=5^2'-,-AB=2m=lQy[2.

o_

20、(1)B(2,4),反比例函数的关系式为丫=—；(2)①直线BD的解析式为y=-x+6；②ED=20

x

【解析】

试题分析：(1)过点A作AP，x轴于点P,由平行四边形的性质可得BP=4,可得B(2,4),把点B坐标代入反比例

函数解析式中即可；

(2)①先求出直线OA的解析式，和反比例函数解析式联立，解方程组得到点D的坐标，再由待定系数法求得直线

BD的解析式；②先求得点E的坐标，过点D分别作x轴的垂线，垂足为G(4,0),由沟谷定理即可求得ED长度.

试题解析：(1)过点A作APLx轴于点P,

则AP=1,OP=2,

又；AB=OC=3,

•1B(2,4).,

•.•反比例函数y=&(x>0)的图象经过的B,

X

,k

•*4=一,

2

/.k=8.

Q

工反比例函数的关系式为y=-；

x

(2)①由点A(2,1)可得直线OA的解析式为y='x.

2

1

y=­x

2石=4X2=-2

解方程组:得

Oj=2%=-4

y二一

IX

•.•点D在第一象限,

，D(4,2).

由B(2,4),点D(4,2)可得直线BD的解析式为y=-x+6；

②把y=0代入y=-x+6,解得x=6,

/.E(6,0),

过点D分别作x轴的垂线，垂足分别为G,则G(4,0),

由勾股定理可得：ED=7(6-4)2+(0-2)2=272.

点睛：本题考查一次函数、反比例函数、平行四边形等几何知识，综合性较强，要求学生有较强的分析问题和解决问

题的能力.

21、⑴50；(2)O'(-,空);(3)P'(―,述).

2255

【解析】

(1)先求出A反利用旋转判断出AAB用是等腰直角三角形，即可得出结论；

(2)先判断出NHAO，=60。，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH,OH,即可得出结论；

(3)先确定出直线OC的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.

【详解】

解：(1)VA(3,0),B(0,4),：.OA=3,OB=4,：.AB=5,由旋转知，BA=B'A,ZBAB'=90°,是等腰直

角三角形，；.BB'=eAB=5也;

(2)如图2,过点。，作O'EJ_x轴于由旋转知，O'A=OA=3,ZOAO'=120°,：.ZHAO'=6Q°,：.ZHO'A=30°,

：.AH^-AO'=-,玉8，.,.OH^OA+AH^-,：.O'(2,1^1)；

22v2222

(3)由旋转知，AP=AP',：.O'P+AP'=O'P+AP.如图3,作A关于y轴的对称点C,连接O'C交y轴于P,

AO'P+AP=O'P+CP=O'C,此时，O'P+AP的值最4、.

•.•点c与点A关于y轴对称，...C(-3,0).

•.•0(2,生8),.•.直线℃的解析式为尸立x+£l,令丫=0,.R=2叵，r.P(0,38),：.O'P'=OP=^-,

2255555

作P7)_L07/于Z>.

[3r-9

VZB,O,A=ZBOA=90°,NAO'H=30。，，NDP'O'=30。，：.O,D=-O,P,=^—,P'D=百0'。=一，:・DH=0'H-

21010

O'D=^~,O'H+P'D^—,：.P'

5555

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出直角三

角形是解答本题的关键.

22、(1)见解析；(2)菱形.

【解析】

(1)根据角平分线的性质可得NADE=NCDE,再由平行线的性质可得AB〃CD,易得AD=AE,从而可证得结论；

(2)若点E与点B重合,可证得AD=AB,根据邻边相等的平行四边形是菱形即可作出判断.

【详解】

(1)；DE平分NADC,

:.ZADE=ZCDE.

V四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,AD=BC,AB=CD.

VZAED=ZCDE.

/.ZADE=ZAED.

/.AD=AE.

；.BC=AE.

VAB=AE+EB.

/.BE+BC=CD.

⑵菱形，理由如下：

由(1)可知，AD=AE,

•.•点E与B重合，

；.AD=AB.

,/四边形ABCD是平行四边形

平行四边形ABCD为菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握各知识是解题的关键.

23、(1)作图见解析；(2)证明书见解析.

【解析】

(1)以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F,则△MNF

为所画三角形.

(2)延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.证明△EAC^^BCA,得：ZB=ZE,AB=CE,根据等量代换可以求

得答案.

【详解】

解：(1)如图1,以N为圆心，以MQ为半径画圆弧；以M为圆心，以NQ为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所

求.

(2)如图，延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.

,/ZACB+ZCAD=180°,ZDACDAC+ZEAC=180°,:.ZBACBCA=ZEAC.

在AEAC和ABAC中，AE=CE,AC=CA,ZEAC=ZBCN,

.,.△AECEAC^ABCA(SAS)./.ZB=ZE,AB=CE.

VZB=ZD,/.ZD=ZE./.CD^E,.*.CD=AB.

考点：1.尺规作图；2.全等三角形的判定和性质.

24、(1)10米；(2)11.4米

【解析】

(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可；

(2)在RtABCH中，求出BH、CH,在RtAADH中求出AH即可解决问题.

【详解】

(1)如图，延长DC交AN于H,

VZDBH=60°,ZDHB=90°,

ZBDH=30°,

,/ZCBH=30°,

/.ZCBD=ZBDC=30°,

/.BC=CD=10（米）；

（2）在Rt2kBCH中，CH=；BC=5,BH=5V3=8.65,

.,.DH=15,

PH15

在RtAADH中，AH==20,

tan37°075

,*.AB=AH-BH=20-8.65=11.4（米）.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

4

25、(1)%=—；(1)C(-1,-4),x的取值范围是x<-1或0<xVL

x

【解析】

【分析】(1)作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=lx-1,可得A的坐标，从而得双

曲线的解析式；

(1)联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论.

【详解】（1）,••点A在直线yi=lx-l上,

.,.设A（x,lx-1）,

过A作AC_LOB于C,

VAB1OA,且OA=AB,

.,.OC=BC,

1

.•.AC=-OB=OC,

2

/.x=lx-1,

x=l,

AA(1,1),

4

x

y=2x-2r0

x=2X2=-1

(1)V4，解得：c

y=一1%=2%=—4

Lx

AC(-1,-4),

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察

图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大.

2

26、(1)证明见解析(2)①一②3

3

【解析】

(1)作辅助线，连接OE.根据切线的判定定理，只需证DE1.OE即可；

(2)①连接BE.根据BC、DE两切线的性质证明AADEs^BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相

等求得△ABEs^AFD,所以—=---=—；

AEDE3

②连接OF,交AD于H,由①得NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝!]△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边形AOEF

是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM±OE于M,则GM=-EG,OG+^EG=GF+GM,根据两点之间线段最

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短，当F、G、M三点共线，OG+^EG=GF+G