人教版高中数学选修一1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（一）A基础练（解析版）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）-A基础练一、选择题1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则()A.x=6,y=15 B.x=3,y=152C.x=3,y=15 D.x=6,y=【答案】D【解析】由题意,有a∥b,则32=x4=y2.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则()A.l⊥α B.l∥αC.l∥α或l⊂αD.l⊥α或l⊂α【答案】C【解析】∵a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l⊂α.3.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l⊂α,m⊂β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2【答案】C【解析】对于C,有n1∥n2,则α∥β.故选C.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0).∵A1M=AN=2a3,∴Ma,2a3,a3,N2a3,2a3,a,5．（多选题）若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)【答案】ABC【解析】若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,根据选择项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选A,B,C.6．（多选题）（2020全国高二课时练习）在如图所示的坐标系中,为正方体,则下列结论中正确的是()A.直线的一个方向向量为(0,0,1);B.直线的一个方向向量为(0,1,1);C.平面的一个法向量为(0,1,0);D.平面的一个法向量为(1,1,1).【答案】ABC【解析】DD1∥AA1,=(0,0,1)，故A正确；BC1∥AD1,=(0,1,1),故B正确；直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0).故C正确；点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故D错.二、填空题7.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.

【答案】-3【解析】∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=xAB+yAC,AB=(1,0,-1),AC=(0,1,∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴2=x,m=8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,12,已知α【答案】15【解析】因为α∥β,所以u∥v.则x-1=1y=9．（2020广西壮族自治区高二月考）在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则_______，.

【答案】1；0【解析】，，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量=（﹣1，y，z），且为平面ABC的法向量，则⊥且⊥，即•=0，且•=0，即﹣1+y+0=0且1﹣y﹣2z=0，即.10.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),平面ABC的单位法向量为..【答案】15【解析】AB=(4,2,-2),AC=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有|n|2=1,n·AB=0,n·AC=0⇒x三、解答题11．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.【答案】见解析【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),又∵n为平面∴n·AC=0,令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).12.（2020银川一中高二期中）在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC