人教版高中数学选修三第七章测评 学案

第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020山东枣庄第三中学高二月考)已知随机变量X~B8,12,则E(3X-1)=A.11 B.12 C.18 D.36解析∵随机变量X~B8,12,∴E(X)=8×12=4,∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-故选A.答案A2.(2020黑龙江鹤岗一中高二期末)已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表,则其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4解析依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故选D.答案D3.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是()A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35解析设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(答案C4.(2019广东高考模拟)从某班6名学生(其中男生4人、女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ,则均值E(ξ)=()A.45 B.1C.75 D.解析依题意,ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=C4P(ξ=1)=C42C21C63=故E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1.答案B5.(2020湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为(A.827 B.2C.881 D.解析由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=C3故选B.答案B6.(2020宁夏石嘴山第三中学高二期中)设随机变量X的概率分布为P(X=i)=13,i=1,2,3,则D(X)等于(A.13 B.2C.1 D.2解析∵P(X=i)=13,i=∴E(X)=1×13+2×13+3×1∴D(X)=(1-2)2×13+(2-2)2×13+(3-2)2×故选B.答案B7.(2019黑龙江高三期中)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(A.12B.C5C.C5D.C解析依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=C5答案B8.(2020四川高三月考)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不影响,记小明4次游戏得分之和为X,则X的均值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析进行“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选择手势的所有可能情况为(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),则小明得1分的概率为34,得0分的概率为1进行4次游戏,小明得分之和X的可能结果为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C4P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4故E(X)=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4×故选C.答案C二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则()A.P(X>4)=0.2 B.P(X>0)=0.6C.P(0<X<2)=0.3 D.P(0<X<4)=0.4解析∵P(X<4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0<X<4)=P(X<4)-P(X<0)=0.6,P(X>0)=1-P(X<0)=0.8,∴P(0<X<2)=12P(0<X<4)=0.3答案AC10.(2019山东高三月考)某市有A,B,C,D四个景点,一名游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为23,游览B,C和D的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,下列结论正确的是(A.该游客至多游览一个景点的概率为1B.P(X=2)=3C.P(X=4)=1D.E(X)=13解析随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=1-P(X=1)=23P(X=2)=23×C31×12×(1-12)2+1P(X=3)=23×C32×122×1-12+P(X=4)=23故E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+设A=“该游客至多游览一个景点”,则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=14.故选ABD答案ABD11.(2020江苏高二月考)下列说法中,正确的是()A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=2B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ≤0)=12D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大解析对于选项A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=13,故选项A错误易知选项B正确;对于选项C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0<ξ<1)=12-p,所以P(-1<ξ<0)=12-p,故选项C对于选项D,因为X~B(10,0.8),所以当X=k(k=0,1,…,10)时,P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k,所以当1≤k≤10时,P(X=k)P(X=k-1)=C10k×0.8k×0.210-kC10k-1×0.8k-1×0.210-k+1=4(故选BCD.答案BCD12.(2020山东高考真题)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2pA.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,…,n),则H(X)随着nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)解析对于A,若n=1,则p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正确.对于B,若n=2,则p2=1-p1,所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],当p1=14时,H(X)=-14·log214+34·当p1=34时,H(X)=-34·log234+14·两者相等,所以B错误.对于C,若pi=1n(i=1,2,…,n),H(X)=-1n·log21n·n=-log21n=log2n则H(X)随着n的增大而增大,所以C正确.对于D,若n=2m,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).则H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=12m=p1·log21p1+p2·log21p2+…+p2m-1·log21p2m-H(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log21p1+p因为pi>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+p2m所以pi·log21pi>pi·log2所以H(X)>H(Y),所以D错误.故选AC.答案AC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019山东高二期末)按照国家标准规定,500g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布X~N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510g以上袋数大约为.

解析因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以卖出的奶粉质量在510g以上袋数大约为400×0.025答案1014.(2020山东青岛高二月考)抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数ξ的均值是.

解析在一次试验中,成功的概率为1-23×23=59.依题意,ξ~B8,59,答案4015.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=.

解析由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,则D(X)=4×12故D(2X-3)=4D(X)=4.答案416.(2020浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=;E(ξ)=.

解析依题意,ξ的取值可能为0,1,2,则P(ξ=0)=14P(ξ=1)=24×13+24×13×故E(ξ)=0×13+1×13+2×13答案13四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020河南高二期中)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.(1)求男生甲被选中的概率;(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.解(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,从6名成员中挑选2人,所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,不妨设男生甲为A,女生乙为b,设事件M=“男生甲被选中”,N=“女生乙被选中”,S=“被选中的两人为一男一女”.(1)事件M所包含的可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),共5种,故P(M)=515(2)事件MN包含的可能的结果为(A,b),则P(MN)=115,又P(M)=1故P(N|M)=P((3)事件S包含的可能的结果为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种,事件SN包含的可能的结果为(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4种,则P(S)=815,P(SN)=4故P(N|S)=P(18.(12分)(2020浙江高二期末)一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.(1)求随机变量X的分布列;(2)求随机变量X的均值.解(1)依题意,随机变量X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=310P(X=3)=310×510×P(X=4)=310×210×P(X=5)=510×210×P(X=6)=210故随机变量X的分布列为X23456P933711(2)由(1)可知,E(X)=2×9100+3×310+4×37100+5×15+19.(12分)某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,则P(A)=C4故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为815(2)依题意,随机变量ξ的取值可能为2,3,4,则P(ξ=2)=C4P(ξ=3)=C4P(ξ=4)=C2故随机变量ξ的分布列为ξ234P281E(ξ)=2×25+3×815+4×20.(12分)(2020黑龙江哈尔滨第六中学校高三一模)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,则P(A)=23故甲获得这次比赛胜利的概率为1627(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,则P(X=2)=13P(X=3)=23P(X=4)=C32×23故X的分布列为X234P144E(X)=2×19+3×49+4×21.(12分)(2020江苏高三三模)某娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.(1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及均值E(X);(2)求恰好成功打开4扇门的概率.解(1)由题意可知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=16,P(X=2)=5P(X=3)=56×45×14=16,P故随机变量X的分布列为X1234P1111E(X)=1×16+2×16+3×16+4×1(2)每扇门被打开的概率为P=1-56设“恰好成功打开4扇门”为事件A,则P(A)=C522.(12分)(2020吉林东北师大附中高三模拟)一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生