人教版高中数学选修三8.3.1　分类变量与列联表　8.3.2　独立性检验 学案

第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验8.3.1分类变量与列联表8.3.2独立性检验课后篇巩固提升基础达标练1.(2020全国高三专题练习)下列说法错误的是()A.经验回归直线过(x,B.若两个随机变量的线性相关性越强,则样本相关系数的绝对值就越接近于1C.对分类变量X与Y,随机变量χ2越大,则推断X与Y有关联时犯错误的概率越大D.在经验回归方程y^=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量y^增加0.解析根据相关定义分析知A,B,D正确;对分类变量X与Y,随机变量χ2越大,则推断X与Y有关联时犯错误的概率越小,故C错误,故选C.答案C2.(2020江西高安中学高二期末)针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关联”进行了一次调查,其中女生人数是男生人数的12,男生追星的人数占男生人数的16,女生追星的人数占女生人数的23.零假设为H0:追星和性别无关联.若依据α=0.05的独立性检验认为追星和性别有关联,则男生的人数至少为参考数据及公式如下:α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828χ2=nA.12 B.11 C.10 D.18解析设男生人数为x,依题意可得如下2×2列联表:性别喜欢追星不喜欢追星合计男生x5xx女生xxx合计xx3x若依据α=0.05的独立性检验认为喜欢追星和性别有关联,则χ2≥3.841.由χ2=3x2(x236-5x218)因为x2,x6为整数,所以依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为喜欢追星和性别有关联,男生的人数至少为12答案A3.(2020山东高三期末)某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调查了50名男生和50名女生,每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到如下的列联表.零假设为H0:男、女生对该食堂的服务评价无差异.经计算χ2≈4.762,则可以推断出()性别满意不满意合计男302050女401050合计7030100附:α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为4B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意C.依据α=0.05的独立性检验认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D.依据α=0.01的独立性检验认为男、女生对该食堂服务的评价有差异解析对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3030+20=35,对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4040+10=45>因为χ2≈4.762>3.841=x0.05,所以依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误.故选C.答案C4.在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到数据如下表:性别吃零食不吃零食合计男273461女122941合计3963102根据上述数据分析,可得χ2约为.

解析χ2=102×(27×29答案2.3345.在独立性检验中,xα有两个临界值:3.841和6.635.当χ2>3.841时,依据α=0.05的独立性检验认为两个事件有关联;当χ2>6.635时,依据α=0.01的独立性检验认为两个事件有关联;当χ2≤3.841时,依据α=0.05的独立性检验认为两个事件无关联.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了2000人,零假设为H0:打鼾与患心脏病之间无关联.经计算χ2=20.87.根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病之间.(有关联、无关联).

解析因为χ2=20.87>6.635,所以依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为两者有关联.答案有关联6.有人发现了一个有趣的现象,中国人的邮箱里含有数字比较多,而外国人邮箱名称里含有数字比较少.为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系,小明收集了124个邮箱名称,其中中国人的64个,外国人的60个,中国人的邮箱中有43个含数字,外国人的邮箱中有27个含数字.(1)根据以上数据建立2×2列联表;(2)他发现在这组数据中,外国人邮箱里含数字的也不少,他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关联,你能依据α=0.025的独立性检验帮他判断一下吗?附:α0.150.100.050.0250.010xα2.0722.7063.8415.0246.635解(1)2×2的列联表如下:类型中国人外国人合计有数字432770无数字213354合计6460124(2)零假设为H0:国籍和邮箱名称里是否含有数字无关联.由表中数据得χ2=124×(43×33-27×21)270×依据α=0.025的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为国籍和邮箱名称里是否含有数字有关联.能力提升练1.某研究所为了检验某血清预防感冒的作用,把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较,零假设为H0:这种血清与预防感冒之间无关联.利用2×2列联表计算得χ2≈3.918.下列叙述中正确的是()A.依据α=0.05的独立性检验认为这种血清与预防感冒之间有关联B.若有人未使用该血清,则他一年中有95%的可能性得感冒C.这种血清预防感冒的有效率为95%D.这种血清预防感冒的有效率为5%解析因为χ2≈3.918>3.841=x0.05,所以依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为这种血清与预防感冒之间有关联.故选A.答案A2.(多选)(2020山东高三期末)针对时下的“抖音热”,某校团委对学生性别和喜欢抖音是否有关联进行了一次调查,其中被调查的男生、女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的45,女生喜欢抖音的人数占女生人数的35.零假设为H0:喜欢抖音和性别无关联.若依据α=0.05的独立性检验认为喜欢抖音和性别有关联,则调查人数中男生的人数可能为(附表:α0.0500.010xα3.8416.635附:χ2=nA.25 B.45 C.60 D.75解析设男生的人数为5n(n∈N*),根据题意列出2×2列联表如下:类型男生女生合计喜欢抖音4n3n7n不喜欢抖音n2n3n合计5n5n10n则χ2=10n因为依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为喜欢抖音和性别有关联,所以χ2≥3.841,即10n21≥3.841,解得n≥8.066因为n∈N*,所以调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选BC.答案BC3.某班主任对全班50名学生进行了一次调查,所得数据如下表:态度认为作业多认为作业不多合计喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523合计262450由表中数据计算得到χ2≈5.059,依据α=0.01的独立性检验认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多.(有关联、无关联)

解析零假设为H0:喜欢玩电脑游戏与认为作业多无关联.由题意可得χ2=50×(18×15-9×8)226×24×27×23≈5.059<6.635=x0答案无关联4.(2019湖北高二期末)某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷,得到了如下的列联表:性别同意限定区域停车不同意限定区域停车合计男20525女101525合计302050则依据α=的独立性检验认为同意限定区域停车与家长的性别有关联.

附:χ2=n(ad-bcα0.0500.0050.001xα3.8417.87910.828解析零假设为H0:同意限定区域停车与家长的性别无关联.因为χ2=50×(20×15-5×10)225×所以依据α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为同意限定区域停车与家长的性别有关联.答案0.0055.随着生活水平的提高,人们患肝病的越来越多.为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关联,现对30名中年人进行了问卷调查,得到的数据如下列联表:类别常饮酒不常饮酒合计患肝病2不患肝病18合计30已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肝病患者的概率为415(1)请将上面的列联表补充完整,依据α=0.005的独立性检验能否认为患肝病与常饮酒有关联?说明你的理由.(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据:α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)设患肝病中常饮酒的人有x人,则x+230=415补充完整的列联表如下:类别常饮酒不常饮酒合计患肝病628不患肝病41822合计102030零假设为H0:患肝病与经常饮酒无关联.由已知数据可求得χ2=30×(6×18-2×4)210×依据α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患肝病与经常饮酒有关联.(2)设常饮酒且患肝病的男性为A,B,C,D,女性为E,F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种.其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF,共8种.故抽出一男一女的概率是P=8156.(2020山东高三期末)书籍是文化的重要载体,读书是承继文化的重要方式.某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图,将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.(1)求n,p的值;(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验能否认为“读书之星”与性别有关联?性别非读书之星读书之星合计男女1055合计(3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中随机抽取3名学生,每次抽取1名,已知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X,求X的分布列和均值E(X).附:χ2=n(ad-bcα0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)因为(0.005+p+0.018+0.020+0.022+0.025)×10=1,所以p=0.01.所以n=100.1(2)因为n=100,所以“读书之星”有100×0.25=25(人).从而2×2列联表如下所示:性别非读书之星读书之星合计男301545女451055合计7525100零假设为H0:“读书之星”与性别无关联.将2×2列联表中的数据代入公式计算得χ2=100×(30×10-15×45)245×依据α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为“读书之星”与性别无关联.(3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14由题意可知X~B3,14.所以P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C32142×1-1P(X=3)=C3所以X的分布列为X0123P272791E(X)=3×14素养培优练(2020山东新泰第二中学高三模拟)某工厂为了提高生产效率,对生产设备进行了技术改造,为了对比技术改造前后的效果,采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位:天)数据,整理如下:改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36(1)完成下面的列联表,依据α=0.01的独立性检验,能否据此判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异?时间超过30不超过30合计改造前改造后合计(2)工厂的生产设备需要进行维护,工厂对生产设备的维护费用包括正常维护费和保障维护费两种.对生产设备设定维护周期为T天,即从开工运行到第kT天(k∈N*)进行维护.生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期,每个维护周期相互独立.在一个维护周期内,若生产设备能连续运行,则只产生一次正常维护费,而不会产生保障维护费;若生产设备不能连续运行,则除产生一次正常维护费外,还会产生保障维护费.经测算,正常维护费为0.5万元/次;保障维护费第一次为0.2万元/周期,此后每增加一次保障维护费增加0.2万元.现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案:T=30,k=1,2,3,4.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率,求一个生产周期内维护费用的分布列及均值.附:χ2=nα0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)零假设为H0:技术改造前后的连续正常运行时间无差异.由题意可得列联表如下:时间超过30不超过30合计改造前51520改造后15520合计202040根据列联表中的数据,经计算得到χ2=40×(5×5-15×15)2依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.(2)由题知,生产周期内有4个维护周期,一个维护周期为30天.在一个维护周期内,生产线需保障维护的概率为P=14设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ,可知ξ~B4,14.一个生产周期内的正