备战2024年高考数学一轮复习70、数列的极限

数列的极限知识点归纳：1．数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列以为极限。记作．注：a不一定是｛an｝中的项2．几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）3．极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(型），通过变形使得各式有极限；根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；4数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似,如果那么5．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做⑵典型例题讲解：一、数学极限的运算例1、求下列极限：①②；③解：①；②；③例2、等于A、0B、32C、D、27二、由极限求参数的值例3、已知,求实数a,b的值;解：=1，∴例4、设等比数列的公比，且，则解析：由题意知，故得三、数列极限的应用例5、已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1∴Sn＝（2）＝①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝例6、已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围解:（－qn）=,∴qn一定存在∴0＜|q|＜1或q=1当q=1时，－1=,∴a1=3当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q∴0＜|2a1－1|＜1∴0＜a1＜1且a1≠综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3例7、函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分（I）求及，的值，并归纳出的表达式（II）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值解：（I）由，得由及，得同理，归纳得（II）当时所以是首项为，公比为的等比数列所以的定义域为1，当时取得最小值学生练习1．下列极限正确的个数是①=0（α＞0）②qn=0③=－1④C=C（C为常数）A2 B3C4D都不正确解析:①③④正确答案:B2．［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于A0 B1 C2 D3解析:［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］=［n××××…×］==2答案:C3．下列四个命题中正确的是A若an2＝A2，则an＝AB若an＞0，an＝A，则A＞0C若an＝A，则an2＝A2D若（an－b）＝0，则an＝bn解析:排除法，取an＝（－１）n，排除A；取an＝，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．答案:C4．已知a、b、c是实常数，且=2,=3,则的值是A2B3CD6解析:由=2,得a=2b由=3,得b=3c,∴c=b∴=6∴===6答案:D5．若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则（a1+a2+…+an）等于ABCD解析:an=即an=∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴（a1+a2+…+an）=+=答案:C6．数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an）等于ABCD解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an∴原式=［++an］=（++an）∵an+an+1=,∴an+an+1=0∴an=0答案:C7．=__________解析:原式===0答案:08．=____________解析:原式==答案:9．在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=______________解析:由题意得－=（n≥2）∴{}是公差为的等差数列，=∴=+（n－1）·=n∴an=3n2∴===3答案:310．设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_____________解析:∵q=－,∴（a1+a3+a5+…+a2n－1）==∴a1=2答案:211．已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*）（1）求{bn}的通项公式；（2）求（+++…+）的值解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1n=2时，a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2要证bn=2n2,只需证an=2n2－n①当n=1时，a1=2×12－1=1成立②假设当n=k时，ak=2k2－k成立那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得ak+1=（ak－1）=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2（2）（++…+）=（++…+）=［++…+］=［1－+－+…+－］=［1+－－］=12．已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且=,求极限（++…+）的值解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,∴2d2－3d1=2又===,即d2=2d1,∴d1=2,d2=4∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2∴==（－）∴原式=（1－）=13．已知数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求解:Sn=+,当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得∴=p当p＜1时，0＜q＜p＜1,==114．已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an解:由an=,得2an+an－1=2an－1+an－2,∴{2an+an－1}是常数列∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2∴an－=－（an－1－）∴{an－}是公比为－,首项为－的等比数列∴an－=－×（－）n－1∴an=－×（－）n－1∴an=例题答案：例1、解：①；②；③例2、C例3、解：=1，∴例4、解析：由题意知，故得例5、解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1∴Sn＝（2）＝①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝例6、解:（－qn）=,∴qn一定存在∴0＜|q|＜1或q=1当q=1时，－1=,∴a1=3当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q∴0＜|2a1－1|＜1∴0＜a1＜1且a1≠综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3例7、解：（I）由，得由及，得同理，归纳得（II）当时所以是首项为，公比为的等比数列所以的定义域为1，当时取得最小值练习答案：1．解析:①③④正确答案:B2．解析:［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］=［n××××…×］==2答案:C3．解析:排除法，取an＝（－１）n，排除A；取an＝，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．答案:C4．解析:由=2,得a=2b，由=3,得b=3c,∴c=b，∴=6∴===6。答案:D5．解析:an=即an=∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴（a1+a2+…+an）=+=答案:C6．解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an∴原式=［++an］=（++an）∵an+an+1=,∴an+an+1=0∴an=0答案:C7．解析:原式===0答案:08．解析:原式==答案:9．解析:由题意得－=（n≥2），∴{}是公差为的等差数列，=∴=+（n－1）·=n，∴an=3n2，∴===3答案:310．解析:∵q=－,∴（a1+a3+a5+…+a2n－1）==∴a1=2，答案:211．解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1n=2时，a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2要证bn=2n2,只需证an=2n2－n①当n=1时，a1=2×12－1=1成立②假设当n=k时，ak=2k2－k成立那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得ak+1=（ak－1）=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2（2）（++…+）=（++…+）=［++…+］=［1－+－+…+－］=［1+－－］=12．解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,∴2d2－3d1=2又===,即d2=2d1,∴d1=2,d2=4∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=