备战2024年高考数学一轮复习46、抛物线

抛物线知识点归纳1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的．2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段。②焦准距：。③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。④顶点平分焦点到准线的垂线段：。⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线。所有这样的圆过定点。是公切线。3、抛物线标准方程的四种形式：，，，，4抛物线的图像和性质：标准方程图形性质范围准线方程焦点对称顶点离心率焦半径5、抛物线的焦点弦为，则，一、抛物线的定义及标准方程例1、动点到直线的距离减去它到点的距离之差等于2，则点的轨迹是。例2、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4=0上例3、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求抛物线的方程。二、抛物线的性质例4、双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为。例5、抛物线上的点到抛物线焦点的距离为3，则。例6、一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为，则。三、焦点弦问题例7、已知是抛物线的焦点弦，为抛物线焦点，，求证（1）（2）（为直线与轴的夹角）（3）（4）为定值例8、设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。例9、A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程四、综合问题例10、已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N（1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=4，求△MPQ的面积例11、已知抛物线与直线相交于A、B两点,①求证;;②当的面积等于时,求的值例12、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标练习1、抛物线的焦点坐标为()ABCD2、已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是()ABCD3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于()A10B8C6D44、抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线上,则其方程为()A或B或C或D不确定5、过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条D无数条6、抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是()ABCD7、直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则()A4B2CD8、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则()ABCD9、在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为AB1C2D410、设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A（a，0）B（0，a）C（0，）D随a符号而定11、以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为___________12、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________（要求填写合适条件的序号）13、抛物线的焦点弦AB,求的值14、已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)①求抛物线方程;②求面积的最大值答案：1、答案:A解析:从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线2、答案:C解析:把转化为M到准线的距离,然后求的最小值3、答案:B解析:4、答案:C解析:解直线与两轴交点坐标,进而求5、答案:C解析:相切与相交均能产生一个公共点6、答案:D解析:可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短7、答案:A解析:所截线段长恰为通径8、答案:C解析:因为A、F、B三点共线所以9、答案：C解析：抛物线的准线方程为x=－，由抛物线的定义知4+=5，解得P=210、答案：C解析：化为标准方程11、解：中心为（0，0），左准线为x=－，所求抛物线方程